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一道三角函数竞赛题题简解


一道三角函数竞赛题简解
湖北武钢实验学校 范有根 问题:在△ABC 中, BC= a , AC= b ,AB= c,且 2 b = a + c ,求 tan1/2∠BAC ·tan1/2∠ACB 的值。 简解:如图,在 BC 上取 BE=AB= c ,取 CD=AC= b ,连接 AD、AE,取△ABC 得内心 I,则 I 为△ADE 的外心, 连接 AI、BI、CI、DI、EI,作 IH⊥BC,则 DH=CH=1/2DE,DE=BE+CD+BC= b ? c ? a 。 令 1/2∠BAC=α ,1/2∠ACB=β , p ? ∵tanα = tan∠IDH =

a?b?c ,则∠IDH=∠IAC =1/2∠BAC=α ,∠ICH =1/2∠ACB=β , 2

IH IH , tanβ = tan∠ICH = , DH CH

IH IH IH 2 ∴tanα ·tanβ = · = DH CH DH ? CH
∵IH=2S/ a ? b ? c =S/ p ,S= ∵DH=1/2DE=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,∴IH2= ( p ? a)( p ? b)( p ? c) / p

b?c?a b?a?c ? p ? a ,CH= CD-DH= ? p?c, 2 2 3 1 ∴tanα tanβ = ( p ? b) / p ,又 a ? c ? 2b , a ? b ? c ? 3b , p ? b , p ? b ? b , 2 2
∴t anα tanβ = ( p ? b) / p =1/3

A

F

I G

B

D

H

E

C

A A A sin 2sin ?cos A 2 ? 2 2 ? sin A , 附参考答案一、首先, tan ? A 2 cos A 1 ? cos A 2 cos 2 2 2
设三条边长度为 c=b-x,b,a=b+x, 根据余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? (b-4x)/(2b-2x), 2bc
sinA= 1 ? cos2 A =

则 cosA+1=(3b-6x)/(2b-2x),

(3b ? 6 x)(b ? 2 x) 2b ? 2 x

tan

A (b ? 2 x) C (b ? 2 x) ,同理得 tan ? ? 2 (3b ? 6 x) 2 (3b ? 6 x) A C (b ? 2 x) (b ? 2 x) 1 ?tan ? ? ? 2 2 (3b ? 6 x) (3b ? 6 x) 3

两个相乘得 tan

附参考答案二、延长 CA 到 D 使 AD=AB,连接 BD,

D

A E

F B C

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