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20090320高二数学(3.2.2 复数代数形式的乘除运算)



3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

问题提出

1.设复数z1=a+bi,z2=c+di,则 z1+z2,z1-z2分别等于什么? z1+z2=(a+c)+(b+d)i.

z 1 - z 2 = (a - c )+ (b - d )i 2.

设z1,z2为复数,则|z1-z2|的几何 意义是什么? 复数z1,z2对应复平面内的点之间的 距离.

uuur uuur 3.设向量 , 分别表示复数 z , OZ OZ 1 1 2 uuur uuur uuur uuur z2,则向量 OZ 1 + OZ 2 , OZ 1 - OZ 2 表示的 复数分别是什么? z 1+z 2和z 1-z 2
4.加、减、乘、除是实数的基本四 则运算,前面研究了复数的加、减运算 法则,接下来研究复数的乘、除运算法 则,也就成为历史的必然.

探究(一):复数的乘法法则

思考1:设a,b,c,d∈R,则 (a+b)(c+d)怎样展开? (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 思考2:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 其中a,b,c,d∈R,则 z1z2=(a+bi)(c+di),按照上述运算 法则将其展开,z1z2等于什么? z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

思考3:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i就是复数的乘法法则,并且两 个复数的乘积还是一个复数,那么 (a+bi)2等于什么?

(a+bi)2=a2-b2+2abi. 思考4:复数的乘法是否满足交换律、结 合律和对加法的分配律? z 1· z 2=z 2· z1, (z1· z 2) · z 3=z 1· (z2· z 3) ,
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

思考5:对于复数z1,z2,|z1· z 2| 与 |z1|· |z2|相等吗?
|z1· z2|=|z1|· |z2|

探究(一):复数的除法法则

1 + 思考1:对于分式 2+
运算?
分母有理化.

2 ,一般怎样 3

思考2:在实数中, 2 + 3与 2 - 3 互称为有理化因式,在复数中,a+bi与 a-bi互称为共轭复数,一般地,共轭复 数的定义是什么? 实部相等,虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数.

思考3:复数z的共轭复数记作 z,虚部不 为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数, 那么z与 z 在复平面内所对应的点的位置 关系如何?z ×z 等于什么? y Z

关于实轴对称

| z | =| z | z 思考4:若 z = z ,则复数z具有什么特
征?反之成立吗?

z ?z

2

2

O

x

z = z 畚z

R

思考5:若复数z1=z2· z,则称复数z为复 数z1除以z2所得的商,即z=z1÷z2. 一般地,设复数z1=a+bi,z2=c+di (c+di≠0),如何求z1÷z2?
a + bi (a + bi )(c - di ) ac + bd bc - ad = = 2 + 2 i 2 2 c + di (c + di )(c - di ) c + d c +d

(a + bi ) ? (c 思考6:

ac + bd bc - ad di ) = 2 + 2 i 2 2 c +d c +d

就是复数的除法法则,并且两个复数相 除(除数不为0),所得的商还是一个复

a + bi 数,那么如何计算 ? b - ai

z1 | z1 | 思考7:怎样理解 | |= ? z2 | z2 |

a + bi i (- ai + b) = = i b - ai b - ai

理论迁移

例1 设z=(1+2i)÷(3-4i)×(1+i)2 求z .

4 2 z= - + i 5 5

3 + mi 例2 设复数 z = ,若z为纯虚 3 + 3i
数,求实数m的值.

m=-3

小结作业

1.复数的乘法法则类似于两个多项式 相乘,展开后要把i2换成-1,并将实部 与虚部分别合并.若求几个复数的连乘积, 则可利用交换律和结合律每次两两相乘. 2.复数的除法法则类似于两个根式的 除法运算,一般先将除法运算式写成分 式,再将分子分母同乘以分母的共轭复 数,使分母化为实数,分子按乘法法则 运算.

3.对复数的乘法、除法运算要求掌握 它们的算法,不要求记忆运算公式,对 复数式的运算结果,一般要化为代数式.

作业:

P111练习:1,2,3.



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