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2017届高考数学大一轮总复习 18 任意角和弧度制及任意角的三角函数 理



计时双基练十八

任意角和弧度制及任意角的三角函数
A 组 基础必做

1.已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, A. 3 C. 3 3

? ?

3? ?,则 tan α =( 2? B.± 3 D.± 3 3

)

解析 因为 P?x, 答案 B

? ?

1 3? ?在单位圆上,∴x=±2。∴tan α =± 3。 2?

2.给出下列四个命题: ①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是 第一象限角。 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 解析 ) B.2 个 D.4 个

由象限角易知①,②正确;因 475°=360°+115°,所以③正确;因-315°

=-360°+45°,所以④正确。 答案 D 3.(2016?济南模拟)已知 sin θ -cos θ >1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限
2

)

B.第二象限 D.第四象限

解析 由已知得(sin θ -cos θ ) >1,即 1-2sin θ cos θ >1,sin θ cos θ <0,又 sin θ >cos θ ,所以 sin θ >0>cos θ ,所以角 θ 的终边在第二象限。 答案 B
? ? π π ? 4.集合?α ?kπ + ≤α ≤kπ + ,k∈Z 4 2 ? ? ? ? ? ?中的角的终边所在的范围(阴影部分)是 ? ?

(

)

π π π 解析 当 k=2n 时, 2nπ + ≤α ≤2nπ + ; 当 k=2n+1 时, 2nπ +π + ≤α ≤2nπ 4 2 4

1

π +π + (n∈Z)。 2 答案 C

5.若 α 是第三象限角,则 y=

?sin α ? ?cos α ? ? ? 2? 2? ? ? ? ?
sin α 2 + cos α 2

的值为(

)

A.0 C.-2

B.2 D.2 或-2

α 解析 由于 α 是第三象限角,所以 是第二或第四象限角, 2 α α sin -cos 2 2 α 当 是第二象限角时,y= + =1-1=0; 2 α α sin cos 2 2 α -sin cos 2 α 当 是第四象限角时,y= + 2 α sin cos 2 答案 A 6.(2016?宜春模拟)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边 过点 P?sin A.- C. 1 2 α 2 =-1+1=0。 α 2

? ?

π π π ,cos ? ,则 sin2α - =( 8 8? 12 ? 3 2

) 1 B.- 2 D. 3 2

π cos 8 π 3 解析 tan α = =cot ,所以 α = π , π 8 8 sin 8 π? 2 3 ? sin?2α - ?=sin π = 。 12? 3 2 ? 答案 D 7.如图所示,已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB 为 120°,半径长为 6,则阴影部分的面积 是________。

2

120 2 2 解析 ∵120°= π = π ,∴扇形的弧长 l=6? π =4π ,∴S 180 3 3

扇形 OAB

1 = ?4π ?6 2

1 1 =12π ,S△OAB= ?OA?OB?sin 120°= ?6?6?sin 120°=9 3,∴S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB 2 2 =12π -9 3。 答案 12π -9 3 8.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取 值范围是________。
? ?3a-9≤0, 解析 ∵cos α ≤0,sin α >0,∴? ?a+2>0, ?

即-2<a≤3。

答案 (-2,3] 9.已知角 θ 的终边上有一点(a,a),a∈R 且 a≠0,则 sin θ 的值是________。 2 ? ? 2 ,a>0, a =? 2|a| 2 ? ?- 2 ,a<0

解析 由已知得 r= a +a = 2|a|,则 sin θ = =

2

2

a r



所以 sin θ 的值是 答案 2 2 或- 2 2

2 2 或- 。 2 2

10.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ +cos θ 的值。 解 ∵θ 的终边过点 P(x,-1)(x≠0),

1 ∴tan θ =- 。又 tan θ =-x,

x

∴x =1,即 x=±1。 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = 。 2 2

2

因此 sin θ +cos θ =0; 当 x=-1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ =- , 2 2

因此 sin θ +cos θ =- 2。 故 sin θ +cos θ 的值为 0 或- 2。 11.已知扇形 AOB 的周长为 8。 (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小;

3

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB。 解 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α ,
?r=3, ? ? ?l=2 ?r=1, ? ? ?l=6,

2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 lr=3, ? ?2

解得?

或?

l 2 l ∴α = = 或 α = =6。 r 3 r
(2)∵2r+l=8, 1 1 1?l+2r?2 1 ?8?2 l ∴S 扇= lr= l?2r≤ ? = ?? ? =4,当且仅当 2r=l,即 α = =2 时,扇形 ? 2 4 4? 2 ? 4 ?2? r 面积取得最大值 4。 ∴r=2, ∴弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1。 B 组 培优演练 3π → 1.在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转 后 2 → 得向量OQ,则点 Q 的坐标是( A.(8,-6) C.(-6,8) 解析 |OP|=10,且设∠xOP=θ , 6 3 4 ∴cos θ = = ,sin θ = 。 10 5 5 3π ? → ? 设OQ=(x,y),则 x=10cos?θ + ?=10sin θ =8。 2 ? ? ) B.(-8,-6) D.(-6,-8)

? y=10sin?θ + ?
答案 A

3π ? =-10cos θ =-6。 2 ? ?

2.(2016?南昌模拟)已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π ]内, α 的取值范围是( A.? C.? ) B.? D.?

?π ,3π ?∪?π ,5π ? ? 4 ? 4 ? ?2 ? ? ? ?π ,3π ?∪?5π ,3π ? ? 4 ? 2 ? ?2 ? ? 4 ?

?π ,π ?∪?π ,5π ? ? ? 4 ? ?4 2? ? ? ?π ,π ?∪?3π ,π ? ? ? ? ?4 2? ? 4 ?

解析

?π π ? 由已知得 sin α - cos α >0 , tan α >0 ,故在 [0,2π ] 内 α ∈ ? , ? ∪ ?4 2?

?π ,5π ?。 ? 4 ? ? ?
4

答案 B 3.一扇形的圆心角为 120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________。 解析 设扇形半径为 R,内切圆半径为 r。

? 2 3? 则(R-r)sin 60°=r,即 R=?1+ ?r。 3 ? ?
1 1 2π π 2 7+4 3 2 2 2 又 S 扇= |α |R = ? ?R = R = πr, 2 2 3 3 9 ∴

S扇 7+4 3 。 2= πr 9

答案 (7+4 3)∶9 4.已知 sin α <0,tan α >0。 (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 (3)试判断 tan 解 α α α sin cos 的符号。 2 2 2

(1)由 sin α <0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α >0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? ?α ? ?

??2k+1?π <α <2kπ +3π ,k∈Z ? 2 ?
3π , 2

? ? ?。 ? ?

(2)由(2k+1)π <α <2kπ +

π α 3π α 得 kπ + < <kπ + ,k∈Z,故 终边在第二、四象限。 2 2 4 2 α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 所以 tan 当 α α α sin cos 取正号; 2 2 2

α α α α 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 α α α sin cos 也取正号。 2 2 2 α α α sin cos 取正号。 2 2 2

所以 tan

因此,tan

5



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