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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-3:1.3.1二项式定理



§1.3.1 二项式定理
教学目标:
知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的 结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项

公式的掌握及运用 授课类型:新授课 课时安排:3 课时 内容分析:
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二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基 础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定 理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生 正确情感、态度和世界观的培养和形成. 二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特 殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点. 二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用 组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法. 在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动 的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以 使他们能在再创造的氛围中学习.

教学过程: 一、复习引入:
⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2ab ? C2 b ;
2 2 2 0 2 1 2 2

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

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⑶ (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式,
4

即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b , 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1 种, 即 C4 种,a 的系数是 C4 ;
1 1 2 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数
3 2 2

4

3

2 2

3

4

0

4

0

是 C4 ,恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种,b 的系 数是 C4 ,
4

2

3

3

3

4

4

-1-

0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .

二、讲解新课:
0 n 1 n r n ?r r n n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b)n 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n b ,?, a n?r br ,?, bn ,
⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,??, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n
n?r n

n

r br 的系数是 Cn ,??,

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n r n ?r r n n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,⑶它有 n ? 1
r 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数, r n?r r r n ?r r ⑷ Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b . 1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

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三、讲解范例: 1 4 例 1.展开 (1 ? ) . x 4 6 4 1 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解一: (1 ? ) ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( ) ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x x x x x x 1 4 1 4 1 4 4 4 1 3 1 2 3 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? 解二: (1 ? ) ? ( ) ( x ? 1) ? ( ) ? ? ? x x x 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x
例 2.展开 (2 x ?

1 6 ) . x

-2-

解: (2 x ?

1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x

?

1 1 2 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C6 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? 1] x3 60 12 1 ? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 . x x x
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例 3.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项

解: ( x ? a)12 的展开式中共 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9 .

例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.
2 解: (1) T2?1 ? C6 (2a)4 (3b)2 ? 2160a4b2 , 2 (2) T2?1 ? C6 (3b)4 (2a)2 ? 4860b4a2 .

点评: (2a ? 3b)6 , (3b ? 2a)6 的展开后结果相同,但展开式中的第 r 项不相同

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例 5. (1)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式常数项; x 3 9 ) 的展开式的中间两项 x
r

(2)求 ( ?

x 3

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解:∵ Tr ?1 ? C9 ( ) ∴(1)当 9 ? (2) ( ?

x 3

9? r

(

3 9? r 3 r ) ? C9r ? 32r ?9 x 2 , x

3 6 r ? 0, r ? 6 时展开式是常数项,即常数项为 T7 ? C9 ? 33 ? 2268 ; 2

x 3

3 9 ) 的展开式共 10 项,它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项, x
x
9 ?12

T5 ? C ? 3
4 9

8?9

15 9? 42 5 10?9 ? 3 , T6 ? C9 ? 3 x 2 ? 378 x3 x

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例 6. (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数;
7

-3-

3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

1 x

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3 解: (1 ? 2 x)7 的展开式的第四项是 T3?1 ? C7 (2x)3 ? 280x3 ,

∴ (1 ? 2 x)7 的展开式的第四项的系数是 280 . (2)∵ ( x ? ) 的展开式的通项是 Tr ?1 ? C9 x
r

1 9 x ∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,
3

9? r

1 (? ) r ? (?1) r C9r x 9? 2 r , x

3 3 ∴ x 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , x 的二项式系数 C9 ? 84 .
3

例 7.求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数

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分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式 定理展开,然后再用一次二项式定理, ,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项 式定理展开
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解: (法一) ( x 2 ? 3x ? 4) 4 ? [(x 2 ? 3x) ? 4]4
0 1 2 3 4 ? C4 ( x2 ? 3x)4 ? C4 ( x2 ? 3x)3 ? 4 ?C4 ( x2 ? 3x)2 ? 42 ?C4 ( x2 ? 3x) ? 43 ? C4 ? 44 ,

显然,上式中只有第四项中含 x 的项,
3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C4 ? 3 ? 43 ? ?768

(法二) : ( x ? 3x ? 4) ? [(x ? 1)(x ? 4)] ? ( x ? 1) ( x ? 4)
2 4 4 4

4

0 4 1 3 2 2 3 4 0 4 1 3 2 2 3 4 ? (C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 ) (C4 x ? C4 x ? 4 ? C4 x ? 42 ? C4 x ? 43 ? C4 ? 44 ) 3 4 3 3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C 4 4 ? C4 4 ? ?768 .

例 8.已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?
m

n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展开

式中含 x 项的系数最小值
2

2

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分析:展开式中含 x 项的系数是关于 m, n 的关系式,由展开式中含 x 项的系数为 36 ,可 得 2m ? 4n ? 36 ,从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解 解: ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项为
m n
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1 1 1 1 Cm ? 2x ? Cn ? 4x ? (2Cm ? 4Cn )x

∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 ,
1 1

-4-

?1 ? 2 x ?

m

? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 2 的项的系数为
n

2 2 2 2 2 ? Cn 4 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n , t ? Cm

∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n , ∴ t ? 2(18 ? 2n)2 ? 2(18 ? 2n) ? 8n2 ? 8n ? 16n ? 148n ? 612
2

? 16(n 2 ?

37 153 37 * n? ) ,∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N , 4 4 8

2 ∴ n ? 5 时, t 即 x 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8 .

例 9.已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
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(1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项 解:由题意: 2Cn ?
1

1 1 2 ? 1 ? Cn ? ( ) 2 ,即 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,∴ n ? 8(n ? 1舍去) 2 2

∴ Tr ?1 ? C8

r

? ?
x

8? r

? (?

16 ?3 r r r r ? ? 0 ? r ? 8? 1 r r 8? r C8 r 4 2 4 ? ( ? ) ? C x ? x ? ? 1 ? x ) ? ? 8 ? ? r 2 2 24 x ?r ?Z ?

1

①若 Tr ?1 是常数项,则

16 ? 3r ? 0 ,即 16 ? 3r ? 0 , 4 16 ? 3r 为整数, 4

∵ r ? Z ,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若 Tr ?1 是有理项,当且仅当

∴ 0 ? r ? 8, r ? Z ,∴ r ? 0, 4,8 ,
4 即 展开式中有三项有理项,分别是: T1 ? x , T5 ?

35 1 ?2 x , T9 ? x 8 256

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例 10.求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 .
0 1 6 解: 0.9986 ? (1 ? 0.002)6 ? C6 ? C6 (?0.002)1 ? ?? C6 (?0.002)6 , 2 展开式中第三项为 C6 0.0022 ? 0.00006 ,小于 0.001 ,以后各项的绝对值更小,可忽略

6

不计, ∴ 0.998 ? (1 ? 0.002) ? C6 ? C6 (?0.002) ? 0.998 ,
6 6 0 1 1

一般地当 a 较小时 (1 ? a) ? 1 ? na
n

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四、课堂练习:
1.求 ? 2a ? 3b ? 的展开式的第 3 项.
6

-5-

2.求 ? 3b ? 2a ? 的展开式的第 3 项.
6

3.写出 (3 x ? 4.求 x ? 2 x
3

1 2 x
7

3

) n 的展开式的第 r+1 项.

?

?

的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数.

5.用二项式定理展开: (1) (a ? 3 b )5 ; (2) (

x 2 5 ? ) . 2 x
1 ? 1 2 4 1

6.化简: (1) (1 ? x ) 5 ? (1 ? x ) 5 ; (2) (2x 2 ? 3x 7. x ? x lg x

) ? (2x 2 ? 3x 2 ) 4

?

1

?

? 展开式中的第 3 项为10 ,求 x .
5
6

1? ? 8.求 ? x ? ? 展开式的中间项 x? ?

2n

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2 答案:1. T2?1 ? C6 (2a)6?2 (3b)2 ? 2160a4b2 2 2. T2?1 ? C6 (3b)6?2 (2a)2 ? 4860a2b4

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r 3 3. Tr ?1 ? Cn ( x ) n ? r (?

n ?2 r ? 1? r 3 r ) ? ? C x ? ? n 23 x ? 2?

1

r

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3 3 3 4.展开式的第 4 项的二项式系数 C7 ? 35 ,第 4 项的系数 C7 2 ? 280

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5. (1) (a ? 3 b )5 ? a5 ? 5a 4 3 b ? 10a3 3 b2 ? 10a 2b ? 5ab 3 b ? b 3 b2 ; (2) (

x 2 5 1 2 5 x x x ? ) ? x x ? x x ? 5 x ? 20 ? 40 2 ? 32 3 . 2 32 8 x x x x

6. (1) (1 ? x )5 ? (1 ? x )5 ? 2 ? 20x ? 10x2 ; (2) (2 x 2 ? 3x 2 ) ? (2 x 2 ? 3x 2 ) ? 192 x ?
4 4 1 ? 1 1 ? 1

432 x

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7.

?x ? x ? 展开式中的第 3 项为 C x
lg x 5

2 3?2lg x 5

? 106 ? x3?2lg x ? 105
5 10 ? x ? 10, x ? 2 1000

? 2lg2 x ? 3lg x ? 5 ? 0 ? lg x ? 1, lg x ? ?

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8. ? x ?

? ?

1? n n ? 展开式的中间项为 (?1) C2n x?

2n

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-6-

五、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公 式的特点
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六、课后作业: P36 习题 1.3A 组 1. 2. 3.4 七、板书设计(略)
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八、教学反思: n (a+b) = n 这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 中 Cr n (r=0,1,2,??,n)叫做 ,

,其 叫做二项展开式的

通项,它是展开式的第 项,展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 培养归纳猜想,抽象概括,演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推 理有机结合起来,是培养学生数学探究能力的极好载体,教学过程中,要让学生充分体验到 归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 二项式定理是指 (a ? b)
n n ?1 n?2 2 n?r r ? a n ? C1 b ? C2 b ? ? ? Cr b ?? na na na

n 这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3?等等展开式 ? Cn nb

的一般形式,在初等数学中它各章节的联系似乎不太多,而在高等数学中它是许多重要公式 的共同基础, 根据二项式定理的展开, 才求得 y=xn 的导数公式 y′=nxn 1, 同时 lim (1 ?


n ??

1 n ) =e n

≈2.718281?也正是由二项式定理的展开规律所确定, 而 e 在高等数学中的地位更是举足轻重, iθ 概率中的正态分布,复变函数中的欧拉公式 e =cosθ +isinθ ,微分方程中二阶变系数方程及 高阶常系数方程的解由 e 的指数形式来表达.且直接由 e 的定义建立的 y=lnx 的导数公式 y=

1 与 x

积分公式

? x =dxlnx+c 是分析学中用的最多的公式之一.而由 y=x 的各阶导数为基础建立的泰
n

1









f(x)=f(x0)+

f ?( x0 ) 1!

(x



x0)2+

?

f n ( x0 ) n!

(x



f ( n ?1) [ x0 ? ? ? ( x ? x0 )] x0) + ( x ? x0 ) n ?1 (θ ∈(0,1))以及由此建立的幂级数理论,更是广泛 (n ? 1)!
n

深入到高等数学的各个分支中. 怎样使二项式定理的教学生动有趣 正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少,所以教材上教法就显得呆板,单 调, 课本上先给出一个(a+b)4 用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式, 再用 数学归纳法证明,因为证明写得很长,上课时的板书几乎占了整个黑板,所以课必然上得累 赘,学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看,记也感到吃力,又怎能发挥主体作 用? 怎样才能使得在这节课上学生获得主动?采用课前预习;自学辅导;还是学生讨论,或
-7-

读,议、讲,练,或目标教学,还是设置发现情境?看来这些办法遇到真正困难时都会无能 为力,因为这些方法都无法改变算式的冗长,证法的呆板,课堂上的新情境与学生的认知结 构中的图式不协调的事实. 而 MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与 数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁,心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于 [ ] 主各体之间的相互作用” 1 只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时 候,才能完成认识的主动建构,也就是学生获得真正的理解. [ ] MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教,学,研互相促进的规律” 2 在教学 中追求简易,重视直观,并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣,学生学得生动主动,充 分发挥其课堂上的主体作用.

-8-



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