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【步步高】2014届高考数学一轮复习 习题课数列求和备考练习 苏教版



习题课

数列求和

一、基础过关 1 1 1 1 1.数列 , , ,…, ,…的前 n 项和为________. 2·5 5·8 8·11 ? 3n-1? ·? 3n+2? a1+a2+a3+…+an 2.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n 项之

n

/>和是________. 3.设数列 1,(1+2),(1+2+4),…,(1+2+2 +…+2
2

n-1

)的前 m 项和为 2 036,则 m 的

值为________. 1+3+5+…+? 2x-1? * 4.若 =132 (x∈N ),则 x=________. 1 1 1 1 + + +…+ 1·2 2·3 3·4 x? x+1? 5.已知数列{an}前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)
n-1

(4n-3),则 S15+S22-

S31 的值是________.
6.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 7.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 * (2)令 bn= 2 (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn. 二、能力提升 9.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那么

an=________.
1 10.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 1? ? 11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ?,则 an=________.

?

n?

12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2 (1)求数列{an}的通项公式;

2n-1

.

(2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 三、探究与拓展 13.等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的 任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

-1-

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1) ln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n 1 1. 2. n(n+5) 3.10 4.11 5.-76 6.1 473 6n+4 2 7.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 因为 a3=7,a5+a7=26, ? ?a1+2d=7, 所以? ? ?2a1+10d=26, 解得?
?a1=3, ? ? ?d=2.
n

所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n? n-1? 2 Sn=3n+ ×2=n +2n. 2 所以,an=2n+1,

Sn=n2+2n.
(2)由(1)知 an=2n+1, 1 1 所以 bn= 2 = an-1 ? 2n+1? 2-1 1 1 = · 4 n? n+1? 1 ? 1 ?1 = ·? - ?, 4 ?n n+1? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= ·(1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = ·(1- )= , 4 n+1 4? n+1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= 4?

n . n+1?

8.(1)证明 ∵an+1=2an+1, an+1+1 ? 2an+1? +1 2an+2 2? an+1? ∴ = = = =2, an+1 an+1 an+1 an+1 ∴数列{an}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+1=2. (2)解 由(1)知{an+1}为等比数列, ∴an+1=(a1+1)·2 ∴an=2 -1. ∴Sn=a1+a2+…+an =(2 -1)+(2 -1)+(2 -1)+…+(2 -1)=(2 +2 +…+2 )-n n 2? 1-2 ? n+1 = -n=2 -n-2. 1-2 9.2 -1
n
1 2 3

n-1

=2 ,

n

n

n

1

2

n

n=1 ?1, ? 10.?1 ?4?n-2 ?3·?3? , n≥2 ? ? ?
-2-

11.2+ln n 12.解 (1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(2 +2
2n-3 2n-1

+…+2)+2=2

2(n+1)-1

.
2n-1

而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=2 (2)由 bn=nan=n·2
3 2 3 2n-1

.


5 7 2n+1

Sn=1·2+2·2 +3·2 +…+n·22n-1,①
5

从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 ①-②得(1-2 )Sn=2+2 +2 +…+2 1 2n+1 即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9 13.解 (1)当 a1=3 时,不合题意;
2 3 5 2n-1

.② ,

-n·2

2n+1

当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意; 因此 a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比 q=3. 故 an=2·3 =2·3 =2·3 =2·3
n-1 n-1 n-1 n-1

.
n n n n n-1

(2)因为 bn=an+(-1) ln an +(-1) ln(2·3 )
n

+(-1) [ln 2+(n-1)ln 3] +(-1) (ln 2-ln 3)+(-1) nln 3,
n-1

所以 Sn=2(1+3+…+3 +(-1) n]ln 3
n

)+[-1+1-1+…+(-1) ](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…

n

所以当 n 为偶数时, n 1-3 n n n Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1; 1-3 2 2 当 n 为奇数时, n 1-3 n-1 n-1 n Sn=2× -(ln 2-ln 3)+( -n)ln 3=3 - ln 3-ln 2-1. 1-3 2 2 综上所述,Sn=

?3 +nln 3-1,n为偶数, ? 2 ? n-1 ?3 - 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数. ?
n n

-3-



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