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高中数学知识点总结之排列组合概率论篇



(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m . n
A m ? n?n ? 1??n ? 2????n ? m ? 1? ? n
规定:0! ? 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,

叫做从 n 个不

n! ?m ? n? ?n ? m?!

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m . n

Cm ? n

A m n?n ? 1????n ? m ? 1? n! n ? ? m m! m!?n ? m?! Am

规定:C 0 ? 1 n
(4)组合数性质:

C m ? C n?m ,C m ? C m?1 ? C m?1,C0 ? C1 ? ?? ? C n ? 2 n n n n n n n n n
50. 解排列与组合问题的规律是: 例 3 . 6 人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 2 第一步,把甲乙排列(捆绑): 有A2=2种捆法 5 第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队: 有A5=120种排法

?共有2 ?120=240种排法
例 2 . 7 人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 5 第 1 步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 2 第 2 步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔) 有A6 =30种插入法

?共有120 ? 30=3600种排法
例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法? 5 将 5 个人依次站成一排,有 A5 种站法 甲站在乙的右侧的机会跟乙站在甲的右侧 的机会一样大 所以 如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

5 A5 /2

? C2 2? ? P1 ? 24 ? ? C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
1

∴m ? C2 ·4 2 61 ? 4 3 3
∴P3 ? C 2 ·4 2 ·6 ? 4 3 44 3 ? 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)

∴n ? A ,m ? C A A
5 10 2 4 2 5

3 6

2 C 2 A 5 A 3 10 4 6 ∴P4 ? ? 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总 体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分 层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的 期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差?x max ? x min ?;
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 ? 小长方形的面积 ? 组距×
样本方差:S 2 ?
51. 二项式定理

频率 组距

样本平均值:x ?

1 x 1 ? x 2 ? ?? ? x n n

?

?

1 ?x1 ? x?2 ? ?x 2 ? x?2 ? ?? ? ?x n ? x?2 n

?

?

(a ? b) n ? C0 a n ? C1 a n?1b ? C2 a n?2 b 2 ? ? ? C r a n?r b r ? ? ? C n b n n n n n n 二项展开式的通项公式:Tr ?1 ? C r a n?r b r ( r ? 0,1??n) n C r 为二项式系数(区别于该项的系数) n
性质:

(1)对称性:C rn ? C n ? r r ? 0,1, 2 ,??,n n

?

?

(2)系数和:C0 ? C1 ? ? ? C n ? 2 n n n n C1 ? C3 ? C5 ? ? ? C0 ? C2 ? C4 ? ? ? 2 n?1 n n n n n n
(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

又如:?1 ? 2x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ?x ? R?,则 (用数字作答)

?a 0 ? a1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
2

(令x ? 0,得:a 0 ? 1 令x ? 1,得:a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1
∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 )
1.(2010 江西理)6. A.-1 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反。采用赋值
8 法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C8 20 (?1)8 ? 1 即为所求,答案为 0.
4

?

?

? 2 ? x ? 展开式中不含 x 项的系数的和为( ..
8
4



B.0

C.1

D.2

2.(2010 全国卷 1 理)(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【答案】C

二、填空题

a ( x ? )9 x 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ? 1.(2010 全国卷 2 理)(14)若
【解析】展开式中 x 的系数是
3



3 C9 (?a)3 ? ?84a3 ? ?84,?a ? 1 .

(2 ?
3.(2010 四川理)(13)
3 C6 23 (?

1 6 ) 3 x 的展开式中的第四项是

.

解析:T4=

3

1 3 160 ) ?? x x
2

4 1.(2009 浙江卷理)在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
5

1 x

)

A. ?10 C. ?5 答案 解析 B

B. 10 D. 5

对于 Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

1 r (? )r ? ? ? 1? C5r x10? 3r ,对于 10 ? 3r ? 4,? r ? 2 ,则 x 4 的项的系数是 x

2 C5 (?1)2 ? 10

3

6.(2009 四川卷理) (2 x ? 解析 由 题 知 (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

1 6 r ) 的 通 项 为 Tr ?1 ? (?1) r C6 26?2r x 6?2r , 令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 , 故 常 数 项 为 2x

3 (?1) 3 C 6 ? ?20。

3 数学期望:
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一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P 则称 x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?
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为 ξ 的数学期望,简称期望.

6 期望的一个性质:
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E (a? ? b) ? aE? ? b
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7 方差:
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D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +?.衡量数据波动大小的量 方差越大数
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据波动越大
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8 标准差: D ? 的算术平方根
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D?

叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? .

9 方差的性质:
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D(a? ? b) ? a 2 D? ; D? ? E(? 2 ) ? ( E? )2

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19.(湖南理 18)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 2 3 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后 检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期型。 解(I) P (“当天商品不进货”) ? P (“当天商品销售量为 0 件”) ? P (“当天商品销售量为 1 件”)

?

1 5 3 ? ? . 20 20 10

(Ⅱ)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P( X ? 2) ? P (“当天商品销售量为 1 件”)

?

5 1 ? ; 20 4

P( X ? 3) ? P (“当天商品销售量为 0 件”) ? P (“当天商品销售量为 2 件”) ? P (“当天商品

?
销售量为 3 件”) 故 X 的分布列为

1 9 5 3 ? ? ? . 20 20 20 4

4

X
P

2

3

1 4

3 4

EX ? 2 ?
X

的数学期望为

1 3 11 ? 3? ? . 4 4 4

23.(广东理 17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x 1 169 2 178 3 166 4 175 5 180

y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的 优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列极其均值(即 数学期望)。

98 ? 7,5 ? 7 ? 35 解:(1) 14 ,即乙厂生产的产品数量为 35 件。
2 , (2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 5

35 ?
故乙厂生产有大约

2 ? 14 5 (件)优等品,

(3) ? 的取值为 0,1,2。

P(? ? 0) ?

C32 C1 ? C1 3 C2 3 1 ? , P(? ? 1) ? 3 2 2 ? , P(? ? 2) ? 32 ? 2 5 C5 10 C5 C5 10

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 10

6 10

1 10

?的均值为E? ? 0 ?


3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5

21.(北京理 17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确 认,在图中以 X 表示。

5

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。

s2 ?
(注:方差

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

2 ? ? ? xn ? x ? ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… xn 的平均数) ?

?

?

解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

1 35 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16 方差为
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8, 9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学

2 1 ? . 植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 16 8 P (Y ? 18) ?
同理可得

1 1 1 1 ; P (Y ? 19 ) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17× ( Y=17 ) +18× ( Y=18 ) +19× ( Y=19 ) +20× ( Y=20 ) +21× ( Y=21 ) P P P P P

1 1 1 1 1 =17×8 +18× 4 +19× 4 +20× 4 +21×8
=19 24.(辽宁理 19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行 田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲, 另外 n 小块地种植品种乙.假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分 布列和数学期望; 解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

6

P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ?

1 1 ? , 4 C8 70
1 3 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

2 2 C4 C4 18 P ( X ? 2) ? ? , 35 C84

P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ?

3 1 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70

30.(天津理 16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个 白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白 球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 解:本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等 基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13 分. (I)(i)解:设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件

Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? 2? . C52 C3 5

(ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则

B ? A2 ? A3 ,又
P ( B ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 1 1 7 ? ? . 2 5 10

P( A2 )?

2 1 1 1 C32 C2 C2 C2 C2 1 ? 2? ? ? , C52 C 3 C 52 C 32 2

且 A2,A3 互斥,所以

(II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 2 49 P( X ? 2) ? ( ) ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
7

所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100

21 50

49 100

E( X ) ? 0 ?
X 的数学期望

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

31.(重庆理 17)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且 申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式
2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 人申请 A 片区房源的概率为 3

2 C4 ? 22 种,从而恰有 2

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验.

1 P ( A) ? . 3 从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 2 8 2 1 P4 (2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? . 3 3 27 公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A3 4 P(? ? 3) ? ? (或P(? ? 3) ? 4 ? ). 9 9 34 3

综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

8



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