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五道数学压轴试题解析



五道数学压轴试题解析
由于浙江省高考试题命题组成员大部分有一定的连续性,从个体来看,每一个成员的 对数学的认识、熟练的知识范围、擅长的能力爱好范畴总是一定的(有限止的) ,因此对近 年的高考综合试题特征的研究有一定的必要,有助于对高考复习重点的把握. 高考命题强调以能力立意, 以数学知识为载体, 从问题入手, 把握数学学科的整体意义, 从学科整体的高度和思维价值的高度考

虑问题, 加强对知识的综合性和应用性的考查, 在知 识网络的交汇处设计试题. 而中学数学内容可以整合为数与形的两条线, 其中数是以函数概 念来串联代数、三角和解析几何知识;可以把方程视为函数值为零,不等式可以看成两个函 数值的大小比较,数列、三角函数则是特殊的一类函数.所以高考试题中涉及函数的考题面 大量广, 一旦被编制为解答题就是中高档试题了. 综观近三年浙江省有关函数综合题的考查, 重在考查对函数知识理解的准确性、深刻性,重在考查与方程、不等式、数列、解析几何等 相关知识的相互联系, 要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能 力,体现了以函数为载体,多种能力同时考查的命题思想. 以下的解答力图从学生的实际思维、知识、方法思想等情况出发,来求得压轴题的应试 策略与方法. 例1. (2009 年浙江理22)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2 ,
3 2 2

g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,其中 k ? R .
(I) 设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q( x) ? ?

? g ( x), x ? 0, 是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非 ? f ( x), x ? 0.

零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) ?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由. 解: 法一、 p( x) ? x ? (k ? 1) x ? (k ? 5) x ? 1 ,p? ? x ? ? 3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) , (I) 因
3 2

2

因 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调, 且无重根, p? ? x ? ? 0 由 ... 所以 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有实数解, 得 k (2 x ? 1) ? ?(3x ? 2 x ? 5),
2

?k ? ?

(3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? ,记 2x ?1 4? 2x ?1 3 ?

9 h(t ) ? t ? , 则 h ? t ? 在 ?1,3? 上单调递减,在 ?3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ?t ? ??6,10? ,于 t

1

是 ? 2 x ? 1? ?

9 ? ? 6,10 ? ,得 k ? ? ?5, ?2? ,而当 t ? 3 ,即 x ? 1 得 k ? ?2 时,有 2x ?1

p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ?5, ?2? .
法二、因 P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? (k ?1) x2 ? (k ? 5) ?1 ,

p? ? x ? ? 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ,
因 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调, 所以 ....
y y

p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有实数解,且
无重根;则 y ? p?(x) 图象与 x 轴的 交点有下列的 5 种情况 (图如右边) : 图(1)的充要条件是
y 3 O y=p(x) 图?1 ? x 3 O y=p(x) 图?2? x

? p ?(0) ? k ? 5 ? 0 ? p ?(3) ? 7k ? 26 ? 0 ? ? 即 2(k ? 1) ? ?3 ?0 ? ? 6 ? ?? ? 4(k 2 ? 5k ? 14) ? 0 ?
? 26 ? k ? ?2 ; 7

y

3 O 图?3 ? x y=p(x) O 图?4?

3 x y=p(x)

y 图?5 ? 3 O y=p(x) x

图(2)与图(3)合并的结论是

p ?(0) ? p ?(3) ? 0 ,即
?5? k ? ? 26 ; 7

图(4)的充要条件是 ?

? p ?(0) ? k ? 5 ? 0 26 ,即 k ? ? ; 7 ? p ?(3) ? 7k ? 26 ? 0 ? p ?(0) ? k ? 5 ? 0 ,即 k 不存在. ? p ?(3) ? 7k ? 26 ? 0

图(5)的充要条件是 ?

所以, k ? ? ?5, ?2? . (II) (数形结合解题)实际上 q ?( x) ? ?
2 ? 2 ?3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5, x ? 0

?2 k 2 x ? k , x ? 0 ?

,由于

f ?( x) ? 3x 2 ? 2(k 2 ? k ? 1) x ? 5 是二次函数且对称轴为 x ?

k 2 ? k ?1 , 3

g ?( x) ? 2k 2 x ? k 是一次函数且 k 2 ? 0 ,由题意 k ? 0 , q ?(x) 有以下三种情况图象(简
2 2 图) ,每一个图象的 y 轴的左边是 f ?( x) ? 3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5 的示意图, y 轴的右边

2

的直线是 g ?( x) ? 2k 2 x ? k 的示意图而曲线是左边的图象的延伸.

y

y

y

图A O x

图B O x

图C O x

图 A 表明 k ? k ? 1 ? 0 且 f ?(0) ? g ?(0) ,但不合题意,也无解;
2

图 B 表明 k ? k ? 1 ? 0 且 f ?(0) ? g ?(0) ,符合题意但无解;
2 2 图 C 表明 k ? k ? 1 ? 0 且 f ?(0) ? g ?(0) ,符合题意,得 k ? 5 .

所以, k ? 5 满足题意. 注:上面的方法走的路有点长,但实在、具体。 例2. (2010 理 22 题 14 分)已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) ? ( x ? a) 2 ( x ? b)e x ,

b ? R , x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点.
(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x ) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得

x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成等差数列?若存
在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由. 分析:第(I)小题的求导既是解决本题的基础又是一个难点部分,当年很多考生在此就已 经错了,后面的工作就白白浪费时间了. (Ⅰ)解: f ?( x) ? e ( x ? a)[x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a] ,令
x 2

g ( x) ? x2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ,则 ? ? (3 ? a ? b) 2 ? 4(2b ? ab ? a) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? 0 ;
于是,假设 x1 , x2 是 g ( x) ? 0 的两个实跟,且 x1 ? x 2 ,此时

f ?( x) ? e x ( x ? a)(x ? x1 )(x ? x2 )
(1) 当 x1=a 或 x2=a 时,则 x=a 不是 f(x)的极值点,此时不合题意.

3

(2) 当 x1 ? a 且 x2 ? a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1 ? a ? x2 , 即 g ( x) ? 0 ,即 a 2 ? (3 ? a ? b)a ? 2b ? ab ? a ? 0 ,解得 b ? ? a . 所以 b 的取值范围是(-∞,-a) . (II)解:由(I)可知, x1 ?

1 [( a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ] , 2

1 x 2 ? [( a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ] 且 x1 ? a ? x2 ; 2
假设存在 b 及 x4 满足题意,则 (1)当 x2 ? a ? a ? x1 时,就有 x4 ? 2 x2 ? a 或 x4 ? 2 x1 ? a ,于是有

2a ? x1 ? x2 ? a ? b ? 3 ,即 b ? ? a ? 3
此时 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ?

(a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6

2 或 x4 ? 2 x1 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1) ? 8 ? a ? a ? 2 6

(2)当 x2 ? a ? a ? x1 时,则 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 a ? x1 ? 2( x2 ? a) , ①若 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) ,则 x 4 ?

a ? x2 ;于是 2

3(a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 2 ,即 ( a ? b ? 1) ? 8 ? ?3( a ? b ? 3) , 3a ? 2 x1 ? x2 ? 2
解得 a ? b ? 1 ?

?9 ? 13 ,此时, 2

x4 ?

a ? x 2 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ?b ? 3 ? a ? = 4 2 2 a ? x1 ,于是 2

②若 a ? x1 ? 2( x2 ? a) ,则 x 4 ?

3a ? 2 x2 ? x1 ?
解得 a ? b ? 1 ?

3(a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 2 ,即 (a ? b ? 1) ? 8 ? 3(a ? b ? 3) , 2

? 9 ? 13 ;此时, 2

x4 ?

a ? x 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2
4

综上所述,存在 b 满足题意, 当 b ? ? a ? 3 时, x4 ? a ? 2 6

b ? ?a ?

7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? 2 2 7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? 2 2

b ? ?a ?

例3. (2011 年理 22 题 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? a) 2 ln x, a ? R (I)若 x ? e为y ? f (x) 的极值点,求实数 a ; (II)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ? (0,3e] ,恒有 f ( x) ? 4e 2 成立,注: e 为 自然对数的底数. (I)解:求导得 f '( x) ? 2( x ? a) ln x ?

( x ? a) 2 a ? ( x ? a)(2ln x ? 1 ? ). x x

a e 解得 a ? e或a ? 3e 经检验,符合题意,所以 a ? e或a ? 3e.

因为 x ? e是f ( x) 的极值点,所以 f '(e) ? (e ? a )(3 ? ) ? 0,

(II)这里用参数与变量分离方法来解决,不用命题者的思路.
2 2 2 对于函数 y ? f (x) ,若对任意的 x ? (0,3e] ,恒有 f ( x) ? 4e 即 ( x ? a) ln x ? 4e 成

立.若要进行参变分离,则需要在两边同时除于 ln x ,而 ln x ? (??, ln 3e] ,于是还需要分 类讨论. 当 0 ? x ? 1 时,结论显然成立,得 a ? R ;

4e 2 当 1 ? x ? 3e 时, ln x ? 0 ,上面的问题等价于 ( x ? a) ? ,即 ln x
2

x?

2e ln x

?a? x?

2e ln x

.令 m( x) ? x ?

2e ln x

、 n( x ) ? x ?

2e ln x

;则问题就等价于

[m( x)]max ? a ? [n( x)]min .
容易知道 m(x) 在 (1,3e] 上单调递增,故 [m( x)]max ? m(3e) ? 3e ?

2e ln(3e)



而 n?( x) ? 1 ?

e x ln x ln x

在 (1,3e] 单调递增,且 n?(e) ? 0 ,故 n(x) 在 (1, e] 上递减,

在 (e,3e] 上单调递增,故 [n( x)]min ? n(e) ? 3e ;
5

于是,综上就有 a 的取值范围是 3e ?

2e ? a ? 3e. ln(3e)

注:我一拿到该题,第一反应是这样的思路,也应该是考生的第一思路;它的方法应 该属于“参数与变量分离”的方法,而这里的分离不算容易,应该算难于分离了,出现了

x?

2e ln x

、x?

2e ln x

这样的函数,一般学生是有点担心做不出了。而参考答案却是很抽

象的,我反对把抽象的方法教给学生,把抽象的方法教给学生只有害处。 例4. (今年样卷压轴题)设函数 f ( x) ? ln x ?

a 1 在 ( 0, ) 内有极值. x ?1 e

(I) 求实数 a 的取值范围;II) 0 ? x1 ? 1 , 2 ? 1 , ( 若 求证:f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ? x 注: e 是自然对数的底数. 解: (I)函数 f ( x) ? ln x ?

1 . e

a 的定义域是 (0,1) ? (1,??) ; x ?1

f ?( x) ?

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ,当 x ? (0, ) 时,有 x( x ? 1) 2 ? 0 ,所以,由上式分子是 2 e x( x ? 1)

2 二次函数, 题意就转化为 g ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ) 有解且符合极值点要求,

1 e

1 ,由 ? ? ? ? a ? 2 且 ?? ? 1 可得 ? ? e ; e 1 1 a?2 1 ? 1 ? 0 ,得 a ? e ? ? 2 . 因此,只要 g (0) ? 1 ? 0 , g ( ) ? 2 ? e e e e
令 g ( x) ? ( x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,不妨设 0 ? ? ? (II)由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? ? ;由 f ?( x) ? 00 得 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? ? ;所 以得 f (x) 在 (0, ? ) 内递增,在 (? ,1) 内递减,在 (1, ? ) 内递减,在 (? ,??) 递增. 由 0 ? x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f (? ) ? ln ? ?

a ,由 x2 ? 1 得 ? ?1

f ( x 2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ?

a , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? ) ? f (? ) , ? ? ? ? a ? 2 且 由 ? ?1 1
, ? ? e , 2n ? ? ? ? 由 又 l

?? ? 1 得 f ( ? ) ? f (? ) ? 2 ln ? ? ? ?
所以, 2 ln ? ? ? ?

1

?

?

在 ? ? e 是递增的,

1

?

? 2 ln e ? e ?

1 1 1 ? 2 ? e ? .即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? e ? . e e e
y y

注:①在(I)中很少 学生会使用两根式方法设 定的,为满足

y

1

1 e

1

1 e
x

1

1 e
x

6

x O

O

O

图1

图2

图3

1 g ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ) 有解且符合极值点要求,得到如右的三个图,图 e 1 1 就能推得 a ? e ? ? 2 ,图 2 和图 3 均无解. e
②本题解题关键是能得到条件 ? ? e . ③对第(II)题的题意的理解很关键,理解透了就很简单,后面不成问题. 例 5. (2012 年理科第 22 题 14 分)已知 a ? 0, b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x ) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ; (Ⅱ)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x∈ ?0,1? 恒成立,求 a ? b 的取值范围.
2 分析: (Ⅰ) 由于 f ?( x) ? 12 a( x ?

b ), 结合两个问题都在变量 x∈ ?0,1? 情形下进行的, 6a

对于 b 分四种情形下把两个问题进行一次性解决. 当b ? 0时 此时,恒有 f ?( x) ? 12 a ( x ?
2

b ) ? 0 , f (x) 在 x ? [0,1] 上递增;因此 6a

(i)函数 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? 3a ? b ?| 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f (0) ? 3a ? b ? 2a ? 0 . 当 0 ? b ? 2a 时, 0 ?

b 3 , ? 6a 3 b b b b ) ? 12a( x ? )(x ? ) , f (x) 在 x ? [0, ] 上递 6a 6a 6a 6a

此时, f ?( x) ? 12a( x ?
2

减,在 x ? [

b ,1] 上递增;因此 6a

(i)函数 f ( x ) 的最大值为 max{f (0), f (1)} ? 3a ? b ?| 2a ? b | ?a ;

(ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f (

b 4 b 324a 4 ? 6ab3 ) ? 3a ? b ? 2a ? b ? ? 0. 6a 3 6a 9a

当 2a ? b ? 6a 时,

3 b ? ? 1, 3 6a
7

2 此时, f ?( x) ? 12a( x ?

b b b b ) ? 12a( x ? )(x ? ) , f (x) 在 x ? [0, ] 上递 6a 6a 6a 6a

减,在 x ? [

b ,1] 上递增;因此 6a

(i)函数 f ( x ) 的最大值为 max{f (0), f (1)} ? b ? a ?| 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f (

b 4 b ) ? b ? a ? 2b ? 2a ? b 6a 3 6a

? 2a[6 ?

b b 3 b 3 ? 1 ? 4( ) ] ,令 t ? ? ( ,1] ,则上式就是 6a 6a 6a 3

h(t ) ? 2a(?4t 3 ? 6t 2 ? 1) ,则 h?(t ) ? 2a(?12t 2 ? 12t ) ? ?24ta(t ? 1) ? 0 ,所以 h(t ) 在区
间t ?(

3 4 3 3) ? 0 . ,1] 递增,即 h(t ) ? h( ) ? 2a(1 ? 3 9 3

b ? 1 时,因为 x ? [0,1] 6a b 2 ) ? 0 , f (x) 在 x ? [0,1] 上递减;因此 所以恒有 f ?( x) ? 12 a( x ? 6a
当 b ? 6a 时,即 (i)函数 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? b ? a ?| 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f (1) ? b ? a ? 2a ? 0 . 综上,所要证明的结论恒成立. (Ⅱ)由(i)知,当 x ? [0,1] , f max ?| 2a ? b | ?a ,所以 | 2a ? b | ?a ? 1 ;又由(ii) 知恒有 f ( x) ? ?(| 2a ? b | ?a) ? ?1 . 所以, ? 1 ? f ( x) ? 1对于 x ? [0,1] 恒成立的充要条件是 ?

?| 2a ? b | ?a ? 1 ,即 ?a ? 0

?2 a ? b ? 0 ?2 a ? b ? 0 ? ? ?3a ? b ? 1 或 ?b ? a ? 1 ,由图形用线性规划方法可以求得 ? 1 ? a ? b ? 3 . ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?
点评: (1)本试题考查的知识点有绝对值、导数、函数的单调性、最值、线性规划等;考查 的数学技能比较多,主要有分类讨论、分析比较、转换化归等,是下手容易走出难的特点; 其实,近 4 年来浙江的最后压轴题都不是很难的,就是繁,做起来要走的路很长,有时间的

8

情况下一般考一类的考生还是能得大多的分数的;那为什么得分率很低呢?主要是三大原 因:考试答题到这里已经没有时间了,文字表达有一定的问题(考生理解有困难,如今年的 江西理 21 题、北京理最后一题,一般人看后都要吓晕了) ,心理害怕因素(考前就已经对最 后一道试题如何处理进行了定位) . (2)第 II 题是不等式恒成立问题,考查的还是平时用的主要方法——最值方法,但得出结 论“ ? 1 ? f ( x) ? 1对于 x ? [0,1] 恒成立的充要条件”是需要强实的数学工夫,非一般同学 能看出来的; 今年的浙江文科试题也很相似. (文第 21 题 15 分)已知 a∈R,函数 f ( x) ? 4 x 3 ? 2ax ? a . (I)求 f(x)的单调区间 (II)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0. 答案: (I)f(x)的单调递增区间为 (??,? (II)略.

a a a a ] 和 [ ,??) ,单调递减区间为 [? ,? ]; 6 6 6 6

9



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