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2015高职单招数学重点公式



数学公式大全
一、 解不等式
1、一元一次不等式
b ? x? ? ? a ax ? b ?? ax ? b ? ? ?x ? b ? a ? (a ? 0) (a ? 0)

2.一元二次不等式:
(a ? 0, x1 , x2是对应一元二次方程的 两根)
判别式 一元二 次不等 式的解 集 △﹥0 △=0<

br />?b } 2a

△﹤0

ax2 ? bx ? c ? 0

{x | x ? x1或x ? x2 } { x | x ? {x | x1 ? x ? x2 }

R

ax2 ? bx ? c ? 0

?

?

3、绝对值不等式:( c > 0 )
⑴ | ax ? b |? c

? ? c ? ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c ? ? c ? ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c

⑵ | ax ? b |? c ⑶ | ax ? b |? c ⑷ | ax ? b |? c

二、函数部分
1、 几种常见函数的定义域
⑴整式形式: ?
f ( x) ? ax ? b ? 一元一次函数: 定义域为 R。 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ?一元二次函数:
g ( x)

⑵分式形式: F ( x) ? f ( x) 要求分母 g ( x) ? 0 不为零 ⑶二次根式形式: F ( x) ?

f ( x) 要求被开方数 f ( x) ? 0

⑷指数函数: y ? a x (a ? 0且a ? 1) ,定义域为 R
1

⑸对数函数: y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,定义域为(0,+∞) ⑹三角函数:
? ?正弦函数:y ? sin x的定义域为R ? ?余弦函数:y ? cos x的定义域为R ? ? ?正切函数:y ? tan x的定义域为 {| x | x ? k? ? , k ? Z } 2 ?

⑺几种形式综合在一起的,求定义域即在求满足条件的各式解集的交集。

2、常见函数求值域
⑴一次函数 f ( x) ? ax ? b :值域为 R ⑵一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) :
? 4ac ? b 2 当 a ? 0 时,值域为 { y | y ? } ? ? 4a ? 4ac ? b 2 ?当a ? 0时,值域为 {y | y ? } ? 4a ?

⑷指数函数: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域为(0,+∞) ⑸对数函数: y ? l o g a x(a ? 0且a ? 1) ,值域为 R ⑹三角函数:
: ?sin x的 值 域 为 [?1, 1] ?正 弦 函 数 y ? : ?cox s的 值 域 为 [?1, 1] ?余 弦 函 数 y ?正 切 函 数 y : ?tan x的 值 域 为 R ?

? (x ? ? ) 的值域为[-A,A] 函数 y ? A s i n

3、函数的性质
⑴奇偶性 ①?
?奇函数:f (? x) ? ? f ( x),图像关于原点对称 ?偶函数 : f (? x) ? f ( x),图像关于y轴对称

②判断或证明奇偶函数的步骤: 第一步:求函数的定义域,判断是否关于原点对称 第二步:如果定义域不关于原点对称,则为非奇非偶函数;如果对称, 则求 f (? x) 第三步:若 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数为奇函数 若 f (? x) ? f ( x) ,则函数为偶函数
2

⑵单调性 ①判断或证明函数为单调增、减函数的步骤: 第一步:在给定区间(如果没给定,一定要先求函数的定义域)内任 取 x1 、 x2 且 x1 < x2 。 第二步:做差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 变形整理;
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,为减函数 第三步: ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,为增函数

②几种常见函数形式的单调区间:

一次函数 f ( x) ? ax ? b :

? ?)上单调递增 ?当a ? 0时,在(- ?, ? ? ?) 上 单 调 递 减 ?当a ? 0时,在(- ?,
二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) :
2

-b -b ? )上单调递减 , 在( ,??)上单调递增; ?当a ? 0时,在(- ?, 2a 2a ? -b -b ? 当a ? 0时,在(- ?, )上单调递增 , 在( ,??)上单调递减。 2a 2a ?

指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) ?
对数函数

?a ? 1,在(??,??)上单调递增 ? ?)上单调递减 ?0 ? a ? 1,在(- ?,

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ?
⑶周期性(主要针对三角函数)

?a ? 1,在(0,??)上单调递增 0, ? ?)上单调递减 ?0 ? a ? 1,在(

y ? sin x的最小正周期为 2? ?正弦函数: ? ① ?余弦函数: y ? cos x的最小正周期为 2? ?正切函数: y ? t an x的最小正周期为 ? ?
②函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的最小正周期 T ?

2?

?

(? ? 0 )

三、指数部分与对数部分常用公式
1、指数部分:
⑴有理指数幂的运算法则: ①a
3
r

? a s ? a r ?s

② (a

r

) s ? a r ?s
r r r

③ (a ? b) ? a ? b
m m n ① an ? a

⑵分数指数幂与根式形式的互化:

② a

?

m n

?

1
n

am

(m、n ? N *,且n ? 1)

⑶一些其它结论:
①a
0

?1
n

② (n a ) ? a ③
n

? a,当n为奇数 an ? ? ?| a | ,当n为偶数

2、对数部分:
⑴ loga a ? 1 ⑵ loga 1 ? 0 ⑶对数恒等式: a
loga N

?N

⑷l o g a (M ? N ) ? l o g a M ?l o g a N ⑸ log a (

M ) ? log a M ? log a N ; N
p

⑹ loga M

? p loga M
logc b (好的同学了解即可) logc a

*⑺换底公式: loga b ?

四、三角部分公式
1、弧度与角度
⑴换算公式:180 0 = ? 10=

?
180

rad

4

1rad=

1800

?

? 57 0 18 '

=57.30

0

⑵弧长、圆心角与半径之间关系式: | ? |? 2、角 ? 终边经过点 P ( x, y ) , r ?

l (在这里 ? 为弧度, l 为弧长, R 为半径) R

x 2 ? y 2 ,则

y r x cos ? ? r y tan ? ? x sin ??
2、 三角函数在各象限的正负情况:

三角函数值的符号
sin ?

cos?

tan ?

+ -

+ -

- -

+ +

- +

+ -

口诀:一全,二正弦,三切,四余弦。 4、同角函数基本关系式:

平方关系
sin 2 ? ? cos2 ? =1 sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ?
5、简化公式:

倒数关系
tan ? · cot ? =1 tan ? =

商数关系 sin ? tan ? ? cos ?

1 cot ?

? sin(?? ) ? ? sin ? ? ① ? cos(?? ) ? cos? ?tan(?? ) ? ? tan? ?

? sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ? ② ? cos(2? ? ? ) ? cos? ?tan(2? ? ? ) ? ? tan? ?

? sin(? ? ? ) ? sin ? ? ③ ?cos(? ? ? ) ? ? cos? ? t an( ? ? ? ) ? ? t an? ?

? sin(? ? ? ) ? ? sin ? ? ④ ?cos(? ? ? ) ? ? cos? ? t an( ? ? ? ) ? t an? ?

5

?sin( 2 ? ? ) ? cos? ? sin(2k? ? ? ) ? sin ? ? ? ? ⑤ ?cos(2k? ? ? ) ? cos? (k? ? )⑥ ? ?cos( ? ? ) ? sin ? 2 ? t an(2k? ? ? ) ? t an? ? ? ? ? t an( ? ? ) ? cot? ? 2 ?
口诀; ? 为锐角,函数名不变,符号看象限。 (6、两角和与差的正弦、余弦、正切: ⑴两角和与差的正弦:

?

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
⑵两角和与差的余弦:

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ?

⑶两角和与差的正切:
tan( ? ? ?) ?
tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

7、二倍角公式:
⑴二倍角的正弦: sin 2? ⑵二倍角的余弦: cos 2?

? 2 sin ? cos ?
? cos2 ? ? sin 2 ?

= 1 ? 2 sin 2 ? = 2 cos2 ? ? 1
⑶二倍角的正切: tan 2? ?
2 2 2

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

a2 ? c2 ? b2 b ? a ? c ? 2ac cos B ; cos B ? 2ac
a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC ; cosC ? ) (好的同学才 2ac
2 2 2

要理解,不在考纲里面)
6

五、几何部分
1、 向量
? ? ? ? 三角形法则:AB ? BC ? AC ① 加法: ? ? ? ? 平行四边形法则: A B ? A D ? A C ?

⑴几何形式的运算:

? ? ? ② 减法:三角形法则 AB ? AC ? CB
? ? ? ? | ?a |?| ? | ? | a | ?当? ? 0, ?a与a同向, ? ? ? ? ? 当? ? 0, ?a ? 0 ? a ? 0 ③ 数乘向量:?a ? ? ? ? ? ? ?当? ? 0, ?a 与a反向, | ?a |?| ? | ? | a | ?

④向量的数量积: a ? b ?| a | ? | b | ? cos? (其中 ? 为两个向量的夹角) ⑵代数方式的运算:设 a ①加法: a ? b

? ?

?

?

?

? ? (a1 , a2 ) , b ? (b1, b2 ) ,

?

?

? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ③数乘向量: ?a ? (?a1 , ?a2 ) ? ? ④向量的数量积: a ? b ? a1b1 ? a2 b2 (结果为实数) ? ? ⑶两个向量平行与垂直的判定:设 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1, b2 ) , ? ? ? ? ①平行的判定: a ∥ b ? b ? ?a ? a1b2 ? a2 b1 ? ? ? ? ②垂直的判定: a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0 ? ? a ? ( a , a ) b ? (b1, b2 ) ⑷其它公式:设 1 2 ,
①向量的长度: | a |? ② 设

②减法: a ? b

?

?

?

a1 ? a 2

2

2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )



? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

? | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
③设 M(
7

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 线 段 AB 的 中 点 M 的 坐 标 为
x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) 2 2

④两个向量的夹角为 ?

? ? a ?b ,则 cos? ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a 2 b2 a1 ? a 2
2 2

b1 ? b2

2

2

⑤平移公式: 图形 F 上点 P (x,y) 对应平移后的图形 F 上的点 P ( x , y

'

'

'

'

)

? x' ? x ? h ?' 平移向量 PP ? (h, k ) ,则 ? ' (好的同学才理解) ?y ? y ? k
2、 直线部分

⑴斜率公式:① k ? tan? (?为直线的倾斜角, ? ? 900) ②k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

⑵直线方程的形式: ① 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( k 为斜率, ( x0 , y0 ) 为直线过的点) ; ② 斜截式: y ? kx ? b ( k 为斜率, b 为直线在 y 轴上的截距) ; ③ 一般式: Ax ? By ? C ? 0( A ? 0) (斜率 k ? ? ⑶两条直线平行或垂直的条件: ① 两条直线斜率为 k1 , k 2 ,且不重合则 l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 ② 两条直线的斜率为 k1 , k 2 ,则 l1 ⊥ l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1 ⑷点 ( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式:
A C ,b ? ? ) B B

d ?|

Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

⑸两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间距离

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

(注意两直线系数 AB 相同才可用)

3、圆部分
⑴圆的方程: ① 标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (其中圆心为 (a, b) ,半径为 r ) ② 一 般 方 程 : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( 其 中 圆 心 为 (?
D E ,? ) , 2 2

8

r?

D 2 ? E 2 ? 4F ) 2

( D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )
?相交 ? ⑵直线与圆的位置关系 ?相切 ,判定方法有两种: ?相离 ?

① 代数法:联立直线与圆的方程组成方程组,消元后得一二元一次方程。
?? ? 0时,直线与圆相交 ? 当 ?? ? 0时,直线与圆相切 ?? ? 0时,直线与圆相离 ? ?d ? r,直线与圆相离 ? ?d ? r,直线与圆相切 ?d ? r,直线与圆相交 ?

(了解)

② 几何法:先求圆心到直线的距离 d ,由 d 与半径 r 的大小情况来判定 (常用)

六、数列
1、等差数列:
⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ( a1 是首项; d 为公差 n 为项数; an 为通项 即第 n 项) ⑵等差公式: a , A , b 三数成等差数列, A 为 a 与 b 的等差中项,则

A?

a?b (或2 A ? a ? b) 2

⑶前 n 项和公式: ① S n ? a1 n ? ② Sn ?

n(n ? 1) d (已知 a1 , d , n 时应用此公式) 2

n(a1 ? a n ) (已知 a1 , an , n 时应用此公式) 2

③特殊地:当数列为常数列 a , a , a , ----时, S n ? na

2、等比数列:
⑴通项公式: an ? a1q
n?1

⑵等比中项公式:若 a,A,b 三数成等比数列,则 A 为 a 与 b 的等
9

比中项,则 A2 ? a ? b(或A ? ? a ? b ) ⑶前 n 项和公式:
n ① S n ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) (已知 a1 , q, n 时应用)

1? q

② S n ? a1 ? an q ) (q ? 1) (已知 a1 , an , n 时应用)
1? q

③ 当 q ? 1 时,数列为常数列,则 S n ? na1

备注:加长方形方框及备注的为不在考纲内容,好的同学才需理 解,一般的同学把它删掉

10



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