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专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)



专题 一、目标要求

由递推关系求数列的通项公式

通过具体的例题,掌握由递推关系求数列通项的常用方法:

二、知识梳理
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,也是一个难点,高考也往往通过考查递推数列来考查学 生对知识的探索能力,求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形,推得原数列是一种特殊的数列或原 数列的

项的某种组合是一种特殊数列,把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析
1、 公式法: 利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。 常用的公式有 an ? ? 等差数列和等比数列的通项公式。 例 1 已知数列{ an }中 a1 ? 2 , sn ? n2 +2 ,求数列{ an }的通项公式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 及 ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

评注 在运用 an ? sn ? sn?1 时要注意条件 n ? 2 ,对 n=1 要验证。 2 、累加法:利用恒等式 an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? +......+ ? an ? an?1 ? 求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 。 an?1 ? an +f ? n ? 的递推数列的方法(其中数列 ? f ? n?? 的前 n 项和可求) 例 2 已知数列{ an }中 a1 ?

1 1 , an ?1 ? an + 2 ,求数列{ an }的通项公式 2 n +3n ? 2

评注

此类问题关键累加可消中间项,而 f ( n) 可求和则易得 an

3 、 . 累 乘 法 :利用恒等式 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ?????? n ? an ? 0? 求 通项公 式的方 法叫累 乘法。它 是求型 如 a1 a2 an?1

an?1 ? g ? n ? an 的递推数列的方法 ? 数列? g ? n ?? 可求前n项积?

1

例3

已知数列{ an }中 sn ? 1 ? nan ,求数列{ an }的通项公式

评注

此类问题关键是化

an ? g ? n ? ,且式子右边累乘时可求积,而左边中间项可消。 an ?1

4、转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法 称为转化法。常用的转化途径有: ⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式 an?1 ? qan ? d (q, d 为常数, q ? 0, q ? 1 )通过凑配变成

an ?1 ?

? d d ? = q ? an ? ? ,或消常数项转化为 an?2 ? an?1 ? q ? an?1 ? an ? q ?1 ? q ?1 ?

例 4、已知数列{ an }中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ?1? n ? 2? ,求数列{ an }的通项公式

点评: 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列 (2)倒数变换——如将一阶分式递推公式 an?1 ?

can 1 d 1 1 (c,d 为非零常数)取倒数得 ? ? ? an ? d an?1 c an c

例5

已知数列{ an }中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,求数列{ an }的通项公式 2an ? 1

点评: 此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。
p ⑶对数变换——如将一阶分式递推公式 an?1 ? can ? an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1? 取对数

2

可得 例6

lg an?1 ? p lg an ? lg c

2 已知数列{ an }中, a1 ? 10 , an ? 0 ,且 an?1 ? 10an ,求数列{ an }的通项公式

点评:此类问题关键是取对数使其转化为关于 an 的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换 ⑷换元变换——如将一阶分式递推公式 an?1 ? qan ? d n (q,d 为非零常数,q≠1,d≠1) 变换成

an ?1 q a n 1 a ? ? n ? ,令 bn ? n ,则转化为一阶线性递推公式 n ?1 d d d d dn

* 例 7 在数列{ an }中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an +2n n ? N ,求数列{ an }的通项公式

?

?

评注:此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式 5、待定系数法 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ,再应用前面转化法(4)类型的方法求解。 st ? ? q ?
2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

例 8 . 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

3

7、叠代法

例 9 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。

8、归纳法:由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式,再用数学归纳法证明其正确性,这种方 法叫归纳法。
* 例 10 数列{ an }满足 sn ? 2n ? an n ? N

?

?

,求数列{ an }的通项公式

四、实战演练 1、[2012· 辽宁卷] 已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公 式为 an=________.

2、 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

3、设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3…) ,则它的通 项公式是 an =▁▁▁

2

2

4

4、已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项公式 an 。

5、设正数列 a0 , a1 , an …, an ,…满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1 求 {an } 的通项公式.

(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,

五、能力提升 (逆推法)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 满足:a n , S n , S n ?

1 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1 ,求数列 2

?an ?的前 n 项和 S n

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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点评:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维,直接求出数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的递 推公式,是一种最佳解法
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5

由递推关系求数列的通项公式答案
例 1 解: 当 n ? 2 由 an ? sn ? sn?1 = n +2- ?? n ? 1? +2? = 2n ? 1
2 2

?

?

当 n ? 1 时 a1 ? s1 ? 3 不满足 例 2 解:由 an ?1 ? an +

故 an ? ?

?3, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

1 1 1 1 ? ? 可知 an ?1 ? an ? 2 n +3n ? 2 n ? 3n ? 2 n ? 1 n ? 2
2

1 ?1 1? ?1 1? 1 ? n ?1 an ? a a?? a?1= + ? ? ? ? ? ? ? ? ...... ? ? ? ?. + ? n ? 2? ?= 1 ?? a 2 ? a 1+ . . . . . n n 2 ? 2 3? ?3 4? ? n n ?1 ? n ? 1
当 n ? 1 时也成立。故有 an =

n n ?1 1 2

例 3 解:当 n=1 时 由 a1 ? s1 ? 1 ? a1 可得 a1 ? 由 an?1 ? sn?1 ? sn = 1 ? ? n ?1? an?1 ?1 ? nan 可得

an ?1 n ? an n?2

? an ? a1 ?

1 1 2 3 n ? 2 n ?1 a 1 a2 a3 ? = ? ?????? n = ? ? ? ?????? n n ? 1 n ? n ? 1? a1 a2 an?1 2 3 4 5

当 n=1 时也成立。故有 an =

1 n ? n ? 1?

例 4 解法一 凑配变换 :由 an ? 2an?1 ? 1 可得 an ?1 ? 2 ? an?1 ?1? ,又 a1 ? 1 ? 2 ,故数列 ?an ?1 ? 是首项 为 2,公比为 2 的等比数列,? an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ,即 an ? 2n ? 1 解法二(消项变换)? an ? 2an?1 ? 1?????? ① ?

?

?

an?1 ? 2an ? 1 ?????? ②

②-①得 an?1 ? an ? 2 ? an ? an?1 ? ? n ? 2 ? ,故数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? 2 公比为 2 的等比数 列即 an?1 ? an ? 2n ,再用累加法得 an ? 2n ? 1 例 5 解:由 an ?1 ?

an 1 1 1 1 可得 ? ?2即 ? ?2 an?1 an an?1 an 2an ? 1

?1? 1 1 ? 数列 ? ? 是以 1 为首项 2 为公差的等差数列。? =1+2(n-1),即 an ? 2n ? 1 an ? an ?
2 例 6 解:由 an ? 0 ,且 an?1 ? 10an 可得 lg an?1 ? 1 ? 2lg an ,即

lg an ?1 ? 1 ?2 lg an ? 1

6

? 数列 ?lg an ? 1? 是以 lg a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列

? lg an ? 1 = 2n 即 an ? 102

n

?1

例 7 解:由 an?1 ? 3an +2n 可得

an ?1 3 an 1 a ?1 a 3 a ? ? n? 即 n ?1 ? ( n ? 1) 令 bn ? n ?1 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2 2n
n

3 3 3 ?3? ? bn ?1 ? bn ? 数列 ?bn ? 是以 为首项以 为公比的等比数列即 bn ? ? ? 2 2 2 ?2? a ?3? ? 1 = ? ? 即 an ? 3n ? 2n ? bn ? n n 2 ?2?
例 8 解:由 a n ? 2 ?
n

2 1 a n ?1 ? a n 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3

即 an ? 2

2 ? 1 s?t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? 1 t ? ? ?st ? ? ? 3 ? ? ?t ? 1 ? 3 ?

1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 这 里 不 妨 选 用 ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 1 ( 当 然 也 可 选 用 ? t?? ? ? 3 ?t ? 1 ?
1 1 a n ? 2 ? an ?1 ? ? (a n?1 ? an ) ? ?an?1 ? an ? 是 以 首 项 为 a2 ? a1 ? 1 , 公 比 为 ? 的 等 比 数 列 , 所 以 3 3 1 a n?1 ? a n ? (? ) n?1 ,应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 3 1 1 ? (? ) n?1 1 0 1 1 1 n?2 3 即 a n ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) ? 1 3 3 3 1? 3 7 3 1 n?1 又? a1 ? 1 ,所以 a n ? ? (? ) 。 4 4 3 例 9 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1
当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.
?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3

7

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3 n?1 an a 1 a a 1 2 2 ? ?2 ? n ?n ? 2 ? n n ? ? ?2( n ?n ? ) 方法二、?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1) , ? n ?1 ?1 (?1) (?1) (?1) 3 (?1) 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 构造数列 ?

? an 1 2? ? ? 公比为-2 首项为 ? 的等比数列(以下略) n 3 ? (?1) 3 ?

3 7 15 2n ? 1 a3 ? , a4 ? , 例 10 解: 易求 a1 ? 1, a2 ? , 由此可猜想 an ? n ?1 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 2 4 8 2
时,左边= a1 ? 1 ,右边=

21 ? 1 =1,猜想成立; 21?1
2k ? 1 ,那么由已知 sk ? 2k ? ak 2 k ?1


②假设 n=k 时命题成立,即 ak ?

sk ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1
由②-①可得 ak ?1 ? 2 ? ak ?1 ? ak



ak 2 k ? 1 2k ?1 ? 1 2k ?1 ? 1 ? ? k ?1??1 ,即当 n ? k ? 1 时命题也成立。 ? ak ?1 ? 1 ? = 1 ? k = 2 2 2k 2
由①,②可知命题对任何 n ? N 都成立。
*

点评: 此类问题关键是利用归纳假设的 ak 证明 n=k+1 时命题成立。 方法二、 n ? 1 时

a1 ? S 1 ? 2 ? a 1 ?a ? 1 1
an ? Sn ? S? ( 2 n? a [ 2 (n ? 1 )??a n1 ? n) ? 1 n 1 ]? a ? n 2
?1n

n ? 2时

a

?1

可构造等比数列(以下略)

四、实战演练
1、(公式法)2n [解析] 本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通 项变形式,是解决问题关键. 1 由已知条件{an}为等比数列,可知,2(an+an+2)=5an+1?2(an+an· q2)=5anq?2q2-5q+2=0?q= 或 2 2 5 n-1 n a { } 2,又因为 n 是递增数列, 所以 q=2.由 a5=a10 得 a5=q =32,所以 a1=2,an=a1q =2 . 2、 (累加法) 解:原递推式可化为: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 1 1 ? a3 ? a 2 ? ? 则 a 2 ? a1 ? ? , n n ?1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a 4 ? a3 ? ? ,……, a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . 3 4 n ?1 n n n

3、 (累乘法) 解:原递推式可化为:

[(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0

∵ an?1 ? an >0,

a n ?1 n ? an n ?1

8



a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ……, n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n?1 n

逐项相乘得:

an 1 1 ? ,即 an = . n a1 n

4、 (换元法与累加法的综合)解 由 an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得: (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ,令

bn?1 ? an ? an?1 ,则上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1 ,因此 {bn } 是一个等差数列, b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,公差为 1.故
bn ? n .。
由于 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1 又 b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 所以 a n ? 1 ?

n(n ? 1) 2

1 n(n ? 1) ,即 5、 (换元法与累乘法综合)解 将递推式两边同除以 a n ?1 a n ?2 整理得: 2

an a ? 2 n?1 ? 1 a n?1 an?2
设 bn =

an ,则 b1 ? a n ?1

a1 =1, bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 bn ? 2bn?1 ? 1 a0

bn ? 2bn?1 ?1 ? bn ?1 ? 2(bn?1 ?1) ? ?bn ?1? 是公比为 2,首项为 2 的等比数列
∴ bn ? 2n ?1 即

an a n n 2 = 2 ? 1 .∴ n ? (2 ? 1) a n ?1 an?1

逐项相乘得: an = (2 ? 1) 2 ? (2 2 ? 1) 2 ? ?? (2 n ? 1) 2 ,考虑到 a0 ? 1 , 故 an ? ?

1 ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)

( n ? 0) ( n ? 1)

.

an ?

1 2 (n ? n ? 2) 2

五、能力提升
解:由题意: S n ? an ( S n ? ),
2

1 2

? an ? Sn ? Sn?1
∴ S n ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) ?
2

1 2

1 ( Sn ?1 ? Sn ) ? Sn S n ?1 2

?

1 1 1 1 ? ?2? ? ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S1 1 . 2n ? 1
9

? Sn ?

当 n ?1时 当n ? 2时

a1 ? S1 ? 1
an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2 (2n ? 1)(2n ? 3)
n ? 1 时也符合

∴ an ? ?

2 (2n ? 1)(2n ? 3)

10



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