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【苏教版(理)】【精品一轮】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】第9章 学案48



学案 48
自主梳理 1.圆的切线方程

直线、圆的位置关系

若 圆 的 方 程 为 x2 + y2 = r2 , 点 P(x0 , y0) 在 圆 上 , 则 过 P 点 且 与 圆 x2 + y2 = r2 相 切 的 切 线 方 程 为 ______________________.注:点 P 必须在圆 x2+y2=r2

上. 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上点 P(x0,y0)的切线方程为________________________. 2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB= 1+k2|xA-xB|= ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 4.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种:________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法: (2)已知两圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,则与两圆共交点的圆系方程为 ____________________________________________________________,其中 λ 为 λ≠-1 的任意常数,因此圆系 不包括第二个圆. 当 λ=-1 时,为两圆公共弦所在的直线,方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 自我检测 1.(2010· 江西)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取值范围是 2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为______________. 3.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有________条. 4.过点(0,1)的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为________. 5.若 P(2,-1)为圆 C:(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是______________.

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探究点一 直线与圆的位置关系 例 1 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 PM=PO,求使得 PM 取得 最小值时点 P 的坐标.

变式迁移 1 从圆 C: (x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3)向该圆引切线, 求切线的方程及过两切点的直线方程.

探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程;(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

变式迁移 2 已知圆 C:x2+y2-6x-8y+21=0 和直线 kx-y-4k+3=0. (1)证明:不论 k 取何值,直线和圆总有两个不同交点;(2)求当 k 取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并 求这条最短弦的长.

探究点三 圆与圆的位置关系 例 3 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含.

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变式迁移 3 已知⊙A:x2+y2+2x+2y-2=0,⊙B:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.当 a,b 变化时,若⊙B 始终平分⊙A 的周长,求:(1)⊙B 的圆心 B 的轨迹方程;(2)⊙B 的半径最小时圆的方程.

探究点四 综合应用 例 4 已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.

变式迁移 4 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 M、N 两点. → → (1)求实数 k 的取值范围;(2)若 O 为坐标原点,且OM· ON=12,求 k 的值.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是________. 2.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m=______________. 3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为________.

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4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是 ______________. 5.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 6.已知点 A 是圆 C:x2+y2+ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称点也在圆 C 上, 则实数 a=________. 7.设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1:x2+y2=4 交于 A,B 两点,若圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与圆 C1 相切,切点在圆 C1 的劣弧 AB 上,则圆 C2 的半径的最大值是________. → → 8.(2010· 全国Ⅰ改编)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA· PB的最 小值为____________. 二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)圆 x2+y2=8 内一点 P(-1,2),过点 P 的直线 l 的倾斜角为 α,直线 l 交圆于 A、B 两点. 3π (1)当 α= 时,求 AB 的长;(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程. 4

10.(14 分)自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y +7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程.

11.(14 分)已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切?(3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

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学案 48

直线、圆的位置关系 答案

自主梳理 1.相切 b)(y-b)=r2 相交 相离 ①相交 相交 相切 内切 相离 内含 ②相交 外离 相切 外切 相离 相交 2.x0x+y0y=r2 内切 内含 (x0-a)(x-a)+(y0-

4.(1)外离

外切

(2)(x2+y2+D1x+E1y+

F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 自我检测 3 ? 1.? ?-4,0? 2.x- 3y+2=0 3.2 4.2 3

5.x-y-3=0 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)过点 P 作圆的切线有三种类型: 当 P 在圆外时,有 2 条切线; 当 P 在圆上时,有 1 条切线; 当 P 在圆内时,不存在. (2)利用待定系数法设圆的切线方程时,一定要注意直线方程的存在性,有时要进行恰当分类. (3)切线长的求法: 过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线,切点为 M,半径为 R, 则 PM= PC2-R2.

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(1)将圆 C 配方得(x+1)2+(y-2)2=2.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y=kx, 由 |k+2| = 2,解得 k=2± 6,得 y=(2± 6)x. 1+k2

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时, 设直线方程为 x+y-a=0, 由 |-1+2-a| = 2, 2

得|a-1|=2,即 a=-1,或 a=3. ∴直线方程为 x+y+1=0,或 x+y-3=0. 综上,圆的切线方程为 y=(2+ 6)x,或 y=(2- 6)x, 或 x+y+1=0,或 x+y-3=0. (2)由 PO=PM,
2 2 2 得 x2 1+y1=(x1+1) +(y1-2) -2,

整理得 2x1-4y1+3=0. 即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上. 当 PM 取最小值时,即 OP 取得最小值,直线 OP⊥l, ∴直线 OP 的方程为 2x+y=0.
? ?2x+y=0, 3 3 - , ?. 解方程组? 得点 P 的坐标为? 10 5? ? ?2x-4y+3=0, ?

变式迁移 1 解 设圆切线方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0,∴1= |k+2-2k| , k2+1

3 ∴k= ,另一条斜率不存在,方程为 x=2. 4 ∴切线方程为 x=2 和 3x-4y+6=0. 圆心 C 为(1,1),∴kPC= 3-1 =2, 2-1

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1 ∴过两切点的直线斜率为- ,又 x=2 与圆交于(2,1), 2 ∴过切点的直线为 x+2y-4=0. 例 2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法: 已知直线的斜率为 k,直线与圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点 C 到 l 的距离为 d,圆的半径为 r. 方法一 代数法:弦长 AB= 1+k2|x2-x1| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2; 方法二 几何法:弦长 AB=2 r2-d2. (2)有关弦的中点问题: 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直,利用这条性质可确定某些等量关系. 解 (1)

如图所示,AB=4 3,取 AB 的中点 D,连结 CD,则 CD⊥AB,连结 AC、BC, 则 AD=2 3,AC=4, 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 当直线 l 的斜率存在时,设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx, 即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离公式,得 2 =2, k +?-1?2 3 解得 k= . 4 3 当 k= 时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 4 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意, 此时方程为 x=0.

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∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0, (x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 变式迁移 2 (1)证明 由 kx-y-4k+3=0, 得(x-4)k-y+3=0. ∴直线 kx-y-4k+3=0 过定点 P(4,3). 由 x2+y2-6x-8y+21=0, 即(x-3)2+(y-4)2=4, 又(4-3)2+(3-4)2=2<4. ∴直线和圆总有两个不同的交点. (2)解 kPC= 3-4 =-1. 4-3

可以证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短,因此过 P 点斜率为 1 的直线即为所求,其方程为 y-3 =x-4,即 x-y-1=0.PC= |3-4-1| = 2, 2

∴AB=2 AC2-PC2=2 2. 例 3 解题导引 圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论, 通常还是从圆心距 d 与两圆半径和、差的关系入手. 解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后

C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切, 则有 ?m+1?2+?-2-m?2=3+2. (m+1)2+(m+2)2=25.

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m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. (2)如果 C1 与 C2 内含, 则有 ?m+1?2+?m+2?2<3-2. (m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0, 得-2<m<-1, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 变式迁移 3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a+1)x+2(b+1)y-a2-1=0.① 依题意,公共弦应为⊙A 的直径, 将(-1,-1)代入①得 a2+2a+2b+5=0.② 设圆 B 的圆心为(x,y),∵?
? ?x=a ?y=b ?



∴其轨迹方程为 x2+2x+2y+5=0. (2)⊙B 方程可化为(x-a)2+(y-b)2=1+b2. 1 由②得 b=- [(a+1)2+4]≤-2,∴b2≥4,b2+1≥5. 2 当 a=-1,b=-2 时,⊙B 半径最小, ∴⊙B 方程为(x+1)2+(y+2)2=5. 例 4 解题导引 这是一道探索存在性问题,应先假设存在圆上两点关于直线对称,由垂径定理可知圆心应 在直线上,以 AB 为直径的圆经过原点 O,应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决.因此能否将 问题合理地转换是解题的关键. 解 圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9, 圆心为 C(1,-2). 假设在圆 C 上存在两点 A、B,则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1.于是可知,kAB=1. 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程,

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整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,b2+6b-9<0, 解得-3-3 2<b<-3+3 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-b-1, 1 x1x2= b2+2b-2. 2 由 OA⊥OB,知 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0, ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得 b2+3b-4=0, 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ>0. 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0. 变式迁移 4 解 (1)∵直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k, ∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将其代入圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1, 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.① 由题意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×7>0, 得 4- 7 4+ 7 <k< . 3 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),

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4+4k ? ?x +x = 1+k 则由①得? 7 xx= ? ? 1+k
1 2 2 1 2 2

→ → ,∴OM· ON=x1x2+y1y2

=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

4k?1+k? +8=12 1+k2

?k=1(经检验符合题意),∴k=1. 课后练习区 1.相交 2.-3 3或 3 3.2 3 解析

如图所示, x2+y2-4y=0?x2+(y-2)2=4, ∴A(0,2),OA=2,A 到直线 l:y= 3x 的距离是 AN=1, ∴ON= 3,∴弦长 OJ=2 3. 4.(4,6) 5.1 6.-10 7.1 |0+0-5| 解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离为 =1,圆 C1 的半径为 2, AB 弧上的点到 32+42 直线 3x+4y-5=0 距离最大为 2-1=1,因此圆 C2 的半径最大为 1. 8.-3+2 2 解析 设∠APB=2θ,则∠APO=∠BPO=θ, 1 → → →2 PA· PB=(PA) · cos 2θ= 2 cos 2θ tan θ

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1-sin2θ 1 = · (1-2sin2θ)= 2 +2sin2θ-3≥2 2-3, sin2θ sin θ 1 2 当且仅当 2 =2sin2θ,即 sin2θ= 时取等号. sin θ 2 3π 9.解 (1)当 α= 时,kAB=-1, 4 直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.(3 分) 故圆心(0,0)到 AB 的距离 d= |0+0-1| 2 = , 2 2

从而弦长 AB=2

1 8- = 30.(7 分) 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? ?x1+y1=8, 则 x1+x2=-2,y1+y2=4.由? 2 2 ?x2+y2=8, ?

两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0, 即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, y1-y2 1 ∴kAB= = .(12 分) x1-x2 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-2= (x+1), 2 即 x-2y+5=0.(14 分) 10.



已知圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心 C1 的坐标为(2,

-2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C1 相切.(4 分) 设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则 |5k+2+3| =1,(10 分) 12+k2
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4 3 即 12k2+25k+12=0.∴k1=- ,k2=- . 3 4 则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. (14 分) 11.解 两圆的标准方程分别为 (x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m. 解得 m=25+10 11.(4 分) (2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离,故只有 61-m- 11=5. 解得 m=25-10 11.(8 分) (3)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0.(12 分) 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为 ? 11? -?
2



?|4+3×3-23|?2 ? =2 7.(14 分) 2 2 4 +3 ? ?

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