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全国2010高中数学联赛模拟试题(二)



全国高中数学联赛模拟试题(二) 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) ? ? y ?3 1、已知集合 A ? ??x, y ? ? a ? 1? , B ? ?x, y ? ?a 2 ? 1?x ? ?a ? 1? y ? 15 .若 x?2 ? ? A ? B ? ? ,则 a 的所有取值是 ? ? (A)-1,1 (C)±1,2 (B)-1, 1 2

C 5 2 D 2、如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN; M ②A1C1∥MN; D1 ③MN∥平面 A1B1C1D1; ④MN 与 A1C1 异面. A1 B1 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 图1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (D)±1,-4, C1 3、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则 lim n ?? an 的值为 Sn 3 5 7 9 (B) (C) (D) 4 4 4 4 4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个 (A) 5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (a<b)的值均为非负 b?a 的最大值是 a?b?c 1 1 (A) (B) 3 2 实数.则 (C)3 (D)2 x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a b 一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上情况均有可能 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1、已知复数 z1 ? 2 ? i , 2 z 2 ? z1 ? i .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、 ?2i ? 1? ? z1 C ,则 u ? z 2 的取值范围 2 ∠ C 依次成等差数列,且 u ? cos A ? 2icos 2 是 . 2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、 2 B 两点.那么,PA +PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、 在 ? x ?2 ? 2 n ?1 的展开式中, x 的幂指数是整数的各项系数之和是 . 6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 . 三、 (20 分) 设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上. 四、 (20 分) 对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md. 五、 (20 分)


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