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高中数学函数的单调性与最值习题及详解



高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
一、选择题 1.已知 f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)=0 在[a,b]内( A.至少有一实数根 C.没有实数根 [答案] D [解析] ∵函数 f(x)在[a,b]上是单调减函数, 又 f(a),f(b)异号.∴f(x)在[a,b]内有且仅有一个零点,故选 D. 1

1 + 2.(2010· 北京文)给定函数①y=x ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的函 2 2 数的序号是( A.①② C.③④ [答案] B 1 1 1 [解析] 易知 y=x 在(0,1)递增,故排除 A、D 选项;又 y=log (x+1)的图象是由 y=log x 的图象向左平移一个 2 2 2 1 单位得到的,其单调性与 y=log x 相同为递减的,所以②符合题意,故选 B. 2 1 1 1 3.(2010· 济南市模拟)设 y1=0.4 ,y2=0.5 ,y3=0.5 ,则( 3 3 4 A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 [答案] B
1 1 [解析] ∵y=0.5x 为减函数,∴0.53<0.5 , 4 1

)

B.至多有一实数根 D.有唯一实数根

) B.②③ D.①④

)

B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2

∵y=x3在第一象限内是增函数,
1 1

∴0.43<0.53,∴y1<y2<y3,故选 B.
? ??a-2?x-1 4. (2010· 广州市)已知函数? ? ?logax x>1

x≤1

, 若 f(x)在(-∞, +∞)上单调递增, 则实数 a 的取值范围为(

)

A.(1,2) C.(2,3] [答案] C [解析] ∵f(x)在 R 上单调增, a>1 ? ? ∴?a-2>0 , ? ??a-2?×1-1≤loga1

B.(2,3) D.(2,+∞)

1

∴2<a≤3,故选 C. 5.(文)(2010· 山东济宁)若函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 C.a≥-4 [答案] D
2 a 2x +2x+a [解析] ∵函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,∴当 x∈(0,1)时,f ′(x)=2x+2+ = ≤0,∴ x x

)

B.a≤0 D.a≤-4

g(x)=2x2+2x+a≤0 在 x∈(0,1)时恒成立, ∴g(0)≤0,g(1)≤0,即 a≤-4. π π? (理)已知函数 y=tanωx 在? ?-2,2?内是减函数,则 ω 的取值范围是( A.0<ω≤1 C.ω≥1 [答案] B π π - , ?上是减函数, [解析] ∵tanωx 在? ? 2 2? π π ∴ω<0.当- <x< 时,有 2 2 π πω πω π - ≤ <ωx<- ≤ , 2 2 2 2 ω≥- ? 2 ?2 π ∴? π - ω≤ 2 2 ? ?ω<0 π π ,∴-1≤ω<0. B.-1≤ω<0 D.ω≤-1 )

6.(2010· 天津文)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c [答案] D B.b<c<a D.b<a<c

)

[解析] ∵1>log54>log53>0,∴log53>(log53)2>0,而 log45>1,∴c>a>b. 7.若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.{2} [答案] C [解析] f ′(x)=3x2-6a, 若 a≤0,则 f ′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除 A; 若 a>0,则由 f ′(x)=0 得 x=± 2a,当 x<- 2a和 x> 2a时,f ′(x)>0,f(x)单调增,当- 2a<x< 2a时,f(x) 单调减,
2

)

B.[-2,2] D.[2,+∞)

∴f(x)的单调减区间为(- 2a, 2a),从而 2a=2, ∴a=2. [点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2)和 f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分. 1 1 8.(文)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f( )=0,则适合不等式 f(log x)>0 的 x 的取值范围 3 27 是( ) A.(3,+∞) C.(0,+∞) [答案] D 1 1 [解析] ∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则由 f(log 1 x)>0,得|log 1 x|> ,即 log 1 3 3 27 27 27 1 1 x> 或 log 1 x<- .选 D. 3 3 27 (理)(2010· 南充市)已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x=0 和 x=1,且在 x∈[-1,0]上 f(x)单调递增,设 a=f(3),b =f( 2),c=f(2),则 a、b、c 的大小关系是( A.a>b>c C.b>c>a [答案] D [解析] ∵f(x)在[-1,0]上单调增,f(x)的图象关于直线 x=0 对称, ∴f(x)在[0,1]上单调减;又 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(x)在[1,2]上单调增,在[2,3]上单调减. 由对称性 f(3)=f(-1)=f(1)<f( 2)<f(2), 即 a<b<c.
?x2+4x,x≥0, ? 9.(2009· 天津高考)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ? 4 x - x , x < 0. ?

1 B.(0, ) 3 1 D.(0, )∪(3,+∞) 3

)

B.a>c>b D.c>b>a

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) [答案] C [解析] ∵x≥0 时,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4 单调递增,且 f(x)≥0;当 x<0 时,f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4 单调 递增,且 f(x)<0,∴f(x)在 R 上单调递增,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,∴-2<a<1. 10.(2010· 泉州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a,b]上有 ( ) A.最小值 f(a)
3

B.最大值 f(b) C.最小值 f(b) D.最大值 f? [答案] C [解析] 令 x=y=0 得,f(0)=0, 令 y=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x). 对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2, , f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[a,b]上最小值为 f(b). 二、填空题 b 1 11.(2010· 重庆中学)已知函数 f(x)=ax+ -4(a,b 为常数),f(lg2)=0,则 f(lg )=________. x 2 [答案] -8 b [解析] 令 φ(x)=ax+ ,则 φ(x)为奇函数,f(x)=φ(x)-4, x ∵f(lg2)=φ(lg2)-4=0,∴φ(lg2)=4, 1 ∴f(lg )=f(-lg2)=φ(-lg2)-4 2 =-φ(lg2)-4=-8. 12. 偶函数 f(x)在(-∞, 0]上单调递减, 且 f(x)在[-2, k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为 3, 则 k=________. [答案] 3 [解析] ∵偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增. 因此,若 k≤0,则 k-(-2)=k+2<3,若 k>0,∵f(x)在[-2,0]上单调减在[0,-k]上单调增,∴最小值为 f(0), 又在[-2,k]上最大值点与最小值点横坐标之差为 3,∴k-0=3,即 k=3. ax-1 13.函数 f(x)= 在(-∞,-3)上是减函数,则 a 的取值范围是________. x+3 1? [答案] ? ?-∞,-3? 3a+1 1 [解析] ∵f(x)=a- 在(-∞,-3)上是减函数,∴3a+1<0,∴a<- . 3 x+3 1? 14.(2010· 江苏无锡市调研)设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,若 f? ?2? =0,f(logat)>0,则 t 的取值范围是______. [答案] (1, 1 )∪(0, a) a
4

a+b? ? 2 ?

1? [解析] f(logat)>0,即 f(logat)>f? ?2?, 1 ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴logat> , 2 ∵0<a<1,∴0<t< a. 1 1 - ?=-f? ?=0, 又 f(x)为奇函数,∴f? ? 2? ?2? 1 - ?, ∴f(logat)>0 又可化为 f(logat)>f? ? 2? ∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 ∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,∴0>logat>- , 2 ∵0<a<1,∴1<t< 1 , a 1 . a

综上知,0<t< a或 1<t< 三、解答题

15.(2010· 北京市东城区)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值集合. [解析] (1)要使 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则
?x+1>0 ? ? ,解得-1<x<1. ?1-x>0 ?

故所求定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1. 1-x 解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值集合是{x|0<x<1}. 1-mx 16.(2010· 北京东城区)已知函数 f(x)=loga 是奇函数(a>0,a≠1). x-1 (1)求 m 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若当 x∈(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求实数 a 的值. 1-mx 1+mx [解析] (1)依题意,f(-x)=-f(x),即 f(x)+f(-x)=0,即 loga +loga =0, x-1 -x-1
5



1-mx 1+mx · =1,∴(1-m2)x2=0 恒成立, x-1 -x-1

∴1-m2=0,∴m=-1 或 m=1(不合题意,舍去) 1+x 当 m=-1 时,由 >0 得,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),此即函数 f(x)的定义域, x-1 又有 f(-x)=-f(x), ∴m=-1 是符合题意的解. 1+x (2)∵f(x)=loga , x-1 x-1?1+x? ∴f ′(x)= ? ?′logae x+1?x-1? = x-1 ?x-1?-?x+1? 2logae · logae= x+1 ?x-1?2 1-x2

①若 a>1,则 logae>0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 即(1,+∞)是 f(x)的单调递减区间; 由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递减区间. ②若 0<a<1,则 logae<0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)>0, ∴(1,+∞)是 f(x)的单调递增区间;由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递增区间. 1+x 2 (3)令 t= =1+ ,则 t 为 x 的减函数 x-1 x-1 ∵x∈(1,a-2), 2 2 ∴t∈?1+a-3,+∞?且 a>3,要使 f(x)的值域为(1,+∞),需 loga?1+a-3?=1,解得 a=2+ 3.

?

?

?

?

1-a 17.(2010· 山东文)已知函数 f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R). x (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2 2 [解析] (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈(0,+∞). x x2+x-2 f ′(x)= ,x∈(0,+∞), x2 因此 f ′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2+2)=x-2, 即 x-y+ln2=0.
6

1-a (2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f ′(x)= -a+ 2 =- x∈(0,+∞). x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a, ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; 1 ②当 a≠0 时,f ′(x)=a(x-1)[x-( -1)], a 1 (ⅰ)当 a= 时,g(x)≥0 恒成立,f ′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 (ⅱ)当 0<a< 时, -1>1>0, 2 a x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; 1 x∈(1, -1)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; a 1 x∈( -1,+∞)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; a 1 ③当 a<0 时, -1<0, a x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f ′(x)<0,f(x)单调递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f ′(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增; 1 当 a= 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1, -1)上单调递增,在( -1,+∞)上单调递减. 2 a a 注:分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚.

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