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2011年第28届全国中学生物理竞赛决赛试题 加 决赛答案



第 28 届全国中学生物理竞赛决赛试题
一、 (15 分)在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在 A、B 两点,导轨直径 AB=2R,AB 与竖直方向间的夹角为 60° , 在导轨上套一质量为 m 的光滑小圆环,一劲度系数为 k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环,其两端系与 A、B 两点, 如图 28 决—1 所示。当圆环位于 A 点正下方 C 点时,弹性绳刚好为原长。现将圆环

从 C 点无初速度释放,圆环在 时刻 t 运动到 C'点,C'O 与半径 OB 的夹角为 θ,重力加速度为 g.试求分别对下述两种情形,求导轨对圆环的作用 力的大小: (1)θ=90° (2)θ=30° A O θ C C' 图 28 决—1 60° B D

二、 (15 分)如图 28 决—2 所示,在水平地面上有一质量为 M、长度为 L 的小车,车内两端靠近底部处分别固定 两个弹簧,两弹簧位于同一直线上,其原长分别为 l1 和 l2,劲度系数分别为 k1 和 k2;两弹簧的另一端分别放着一 质量为 m1、m2 的小球,弹簧与小球都不相连。开始时,小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态,小球 2 被锁定在车底板上,小球 2 与小车右端的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速释放小球 1,当弹簧 1 的长度等于其原 长时,立即解除对小球 2 的锁定;小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体,碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的; 从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时,小车移动力距离 l3.试求开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的 最大压缩量 Δl2.

L k1 m1 m2 k2

图 28 决—2

1

三、 (20 分)某空间站 A 绕地球作圆周运动,轨道半径为 rA=6.73× 6m.一人造地球卫星 B 在同一轨道平面内作圆 10 周运动,轨道半径为 rB=3rA/2,A 和 B 均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船(对空间站无反冲)前去回 收该卫星,为了节省燃料,除了短暂的加速或减速变轨过程外,飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆 转移轨道,作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内,且近地点和远地点都分 别位于空间站和卫星的轨道上,如图 28 决—3 所示。已知地球半径为 Re=6.38× 6m,地球表面重力加速度为 10 g=9.80m/s2.试求: (1)飞船离开空间站 A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 ΔvA,若飞船在远地点恰好与卫星 B 相遇,为了实现 无相对运动的捕获,飞船所需的速度增量 ΔvA. (2)按上述方式回收卫星,飞船从发射到返回空间站至少需要的时间,空间站 A 至少需要绕地球转过的角度。 B

转移轨道

地球

A

图 28 决—3 四、 (15 分)摩尔质量为 μ 的某种理想气体,从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管,导管内横截面的面积 为 S,一摩尔绝对温度为 T 的该气体的内能为 5RT/2,式中 R 为普适气体常量。 (1)将一加热装置固定放置在管得中部,以恒定功率 W 给气体加热,如图 28 决—4(a)所示。假设该装置对气 流的阻力可以忽略,当气流稳定后,管中气体虽然在加热装置附近的状态不均匀,但随着与加热装置距离的增加 而逐渐趋于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中,气体的压强为 P0,温度为 T0,向右流动的速度为 v0.已知加热 装置右边均匀稳流区域中气体的压强为 P1,试求该区域气体的温度 T1. (2)现将管中的加热装置换成一多空塞,如图 28 决—4(b)所示。在气流稳定后,多孔塞左边气体的温度和压 强分别为 T0 和 P0,向右流动的速度为 v0;多孔塞右边气体的压强为 P2(P2<P0).假设气体在经过多孔塞的过程中 与多孔塞没有任何形式的能量交换,求多孔塞右边气体的流速 v2.
加 热 装 置

v0 P0,T0

P1 图 28 决—4

v0 P0,T0

多 孔 塞

P2

(a)

(b)

五、 (15 分)如图 28 决—5 所示,一个三棱镜 ABC 的顶角 α 小于 90° .假设光线在纸面内以任意入射角入射到 AB 面上的 D 点,经一次折射后,又入射到 AC 面上,且能在 AC 面上发生全反射。已知光线在 AC 面上发生全反射的 2

临界角为 Θ(Θ<45° ,AC 边足够长。试求下列两种情形下分别求三棱镜顶角 α 的取值范围: ) (1)如果光线仅从 AB 面上法线的下方入射; (2)如果光线仅从 AB 面上法线的上方入射。 A D α

B 图 28 决—5 六、 (20 分)一电荷量为 q 的点电荷产生的电场在距离它为 r 处的电场强度的大小为 E ? k e
q r
2

C

,式中 ke 为常量;

一条长直导线中通有电流 i 时,它产生的磁场在与导线相距为 r(远小于长直导线的长度)处的磁感应强度的大小 为 B ? km
2i r

,式中 km 也为常量。
ke km

上述两常量比值的平方根

可用如图 28 决—6 所示的实验装置,通过低频(约几百赫兹)的电场和磁场来

测定。图中 A、B 表示水平放置的、电容为 C1 的平行板电容器的极板,极板为正方形,边长为 a1(极板间距远小 于 a 1) 。极板 B 固定,极板 A 悬挂在天平臂一端的挂钩上,M、N 为两根水平放置的平行长直金属细杆,长度均为 a2,两杆间的距离为 h(h<<a2) 。杆 N 固定,杆 M 悬挂于天平臂的另一挂钩上。C2 为一个已知电容器的电容,K 是电键。交流电源的电压 u 与时间 t 的关系为 u=U0cos2πft,其中 f 表示交流电的频率。各部分通过导线如图链接。 已知在电键 K 打开时,天平已调节至平衡。接通电源后,天平将失 去平衡。通过调节交流电源的频率,可使天平重新达到平衡(注意: 天平具有惯性,实际上是交流电的平均效果使天平平衡) ,试求
ke km

A B C1

a1

u K 图 28 决—6

M J N C2 J

a2 h

的表达式。 【图中的双线可视为刚性绝缘杆,单线视为导线,曲线表 示柔软无质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁 场对 M 和 N 的影响。 】 七、 (20 分)两个劲度系数均为 k 的相同的轻质金属弹簧,上端固定在水

u 平绝缘横杆上,竖直下垂,下端与一质量为 m 的匀质刚性金属杆连接, k 金属杆的长度为 l,杆长与两弹簧的间距相等。将金属杆置于磁感应强度 B 为 B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向内。杆、弹簧和交流电源 u 构成一闭合电路, 金属杆和弹簧的电阻可忽略; 且回路电流的磁场远弱于 l (a) u k C L (b)

图 28 决—7

3

外磁场 B,如图 28 决—7(a)所示。在图 28 决—7(b)中,一电感和一电容并连后接到同样地交流电源 u 上。 若在图 28 决—7 所示的两回路中,在任何时刻,通过电源的电流都一样。试将图(b)中的电容 C 和电感 L 用图 (a)中的装置的已知参量表示。

八、 (20 分)朱棣文等三位科学家因成功实现中性原子的磁光俘获而获得了 1997 年诺贝尔物理学奖。对以下问题 的研究有助于理解磁光俘获的机理(注意:本问题所涉及的原子的物理特性参数,实际上都是在对大量原子或同 一原子的多次同类过程进行平均的意义上加以理解的) 。 (1)已知处于基态的某静止原子对频率为 ν0 的光子发生共振吸收,并跃迁到它的第一激发态,如图 28 决—8(a) 所示。然而,由于热运动,原子都处于运动中。假设某原子一速度 v0 运动,现用一束激光迎头射向该原子,问恰 能使该原子发生共振吸收的激光频率 ν 为多少?经过共振吸收,该原子的速率改变了多少?(hν0<<mc2,m 是原子 质量,h=6.63× -34J?s) 10 (2)原子的共振吸收是瞬时的,但跃迁到激发态的原子一般不会立即回到基态,而会在激发态滞留一段时间,这 段时间称为该能级的平均寿命。已知所考察原子的第一激发态的平均寿命为 τ.若该原子能对迎头射来的激光接连 发生共振吸收,且原子一旦回到基态,便立即发生共振吸收,如此不断重复,试求该原子在接连两次刚要发生共 振吸收时刻之间的平均加速度。注意:原子从激发态回到基态向各个方向发射光子的机会均等,由于碰撞频率极 高,因而由此而引起原子动量改变的平均效果为零。 (3)设所考察的原子以初速度 v0 沿 z 轴正向运动, 一激光束沿 z 轴负向迎头射向该原子, 使它 发生共振吸收。在激光频率保 持不变的条件下,为了使该原 子能通过一次接着一次的共振 吸收而减速至零,为此可让该 原子通过一非均匀磁场 B(z),实现原子的磁光俘获,如图 28 决—8(c)所示。由于处于磁场中的原子与该磁场会 发生相互作用,从而改变原子的激发态能量,如图 28 决—8(b)所示。当磁感应强度为 B 时,原来能量为 E 的能 级将变为 E+ΔE,其中 ΔE=μB,μ 是已知常量。试求磁感应强度 B 随 z 变化的关系式。 (4)设质量为 m=1.0× -26kg 的锂原子初速度 v0=1.2× 3m?s-1,静止时的共振吸收频率为 ν0=4.5× 14Hz,第一激 10 10 10 发态的平均寿命 τ=5.3× -8s.为使所考察的原子按(3)中所描述的过程减速为零,原子通过的磁场区域应有多长? 10 4
基态 第一激发态

线圈 ΔE h v0 激光

ν0

ν0+

B=0 (a)

B≠0 (b) 图 28 决—8

L (c)

z

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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