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染色问题(1)



染色问题(1) 十 染色问题(1)
年级 班 姓名 得分

(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有 31 排,每排 29 个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了 一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻 的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的 房间相通.问能否从 1 号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间? 1 4 7 2 5 8 3 6 9

3.在一个正方形的果园里,种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地 排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏 (不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有 80 棵果树,连小屋在内排成九行九列 (图(b))呢?

(a)

(b)

4.一个 8×8 国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用 31 个 2×1 的 “骨 牌” (形如 )把象棋盘上的 62 个小格完全盖住?

5.如果在中国象棋盘上放了多于 45 只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.

6.空间 6 个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色, 是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成 27 个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有 一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任 一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方 体吗?

8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 答下面的问题:

A

B

一只马从起点出发,跳了 n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 答下面的问题:

A

B

一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 答下面的问题:

A

B

证明:一只马不可能从位置 B 出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不 要求最后一步跳回起点). 11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 答下面的问题:

A

B

一只马能否从位置 B 出发,用 6 步跳到位置 A?为什么? 12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 答下面的问题:

A

B

一只车从位置 A 出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位 置 B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次. 13.8×8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2×2 的正方形和 9 个 4×1 的长方 形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由. 14.(表 1)是由数字 0,1 交替构成的,(表 2)是由(表 1)中任选 、 、 三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加 1 或减 1,如此反复多次进行形成的, 试问(表 2)中的 A 格上的数字是多少?并说明理由.
1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

表 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表 2

———————————————答 案——————————————————————

1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29×31),共有 899 个小方格.不 妨假定四角为黑格,则共有黑格 450 个,白格 449 个. 要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每 一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的. 2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从 1 号房 间出发,只能按黑 白 黑 白 ……的次序,当走遍九个房间时应在 黑色房间中,这个房间不与 1 号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到 1 号房间. 3. 图(a)行,走法如图所示.

图(a) 图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有 41 个黑 色的,40 个白色的.从小屋出发,按黑 白 黑 白 ……的次序,当 走遍 80 棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小 屋. 4. 不能.原因是每一个 2×1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白 格,31 个这样的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格. 但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是 30 个白格,32 个黑格,或 32 个白格,30 个黑格,因此不能盖住. 5. 中国象棋棋盘上有 90 个交叉点,把棋盘分成 10 个小部分,每部分有

3×3=9 个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有 6 只马. 将这一小部分的 9 个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交 叉点上,故一定有两只马“互吃”.

6. 设这六个点为 A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由 A 点引出的五条线段 AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相 同的颜色,不妨设 AB、AC、AD 三条同为红色.再考虑三角形 BCD 的三边:若其中有 一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形 BCD 为蓝色 三角形.
B C A D

下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形 ABC 的三边同为红色. (1)若三角形 DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形. (2)若三角形 DEF 中有一条边为蓝色(不妨设 DE),下面考虑 DA、DB、DC 三 条线段,其中必有两条同色. ①若其中有两条是红色的,如 DA、DB 是红色的,则三角形 DAB 为第二个同色 三角形(图 1).
D A

E

B

C

(图 1)

②若其中有两条是蓝色的,设 DA、DB 为蓝色(图 2).此时在 EA、EB 两条线段 中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形 EAB 为红色三角形. 综上所述,一定有两个同色三角形.
D A

E B

C

(图 2)

7. 甲虫不能走遍所有的立方体. 我们将大正方体如图分割成 27 个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得 中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在 27

个小正文体中,14 个是黑的,13 个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一 步,小正方体就改变一种颜色.故它走 27 步,应该经过 14 个白色的小正方体,13 个黑色的小正方体.因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次. 故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.

8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色. 由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依 次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步. 9. 不能.半张象棋盘共有 45 个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点 与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点. 10. 与 B 点同色的点(白点)有 22 个,异色的点(黑色)有 23 个.马从 B 点出 发,跳了 42 步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳 过两个黑点. 11. 不能.因为 A、B 两点异色,从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数. 12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因 A、B 两点异色,故 从 A 到 B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有 45 个格点,不重复地走遍 半张棋盘要 44 步,但 44 是一个偶数. 13. 如图对 8×8 的棋盘染色,则每一个 4×1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格, 而每一个 2×2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格,那么 7 个 2×2 的正方 形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为 32 是一个偶数.故这种剪 法是不存在的.
+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

+1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

14.

如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.

表(1) 本题条件允许如图所示的 6 个操作,这 6 个操作无论实行在那个位置上,白格 中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表 1 中白格中数字之和 与黑格中数字之和的差即 32,等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差 即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故 A=33.



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