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构成直角三角形及一线三直角问题




构成直角三角形问题及一线三直角问题 1、如图,抛物线 y=

1 2 x +bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点, 2

且 A(一 1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ ABC的形状,证明你的结论; (3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

2、用一线三直角,俩三角形相似,通过比例线段找关系

3、 (济南市模拟三 28 题,2013 广东湛江 26)如图,在平面直角坐标系中,顶点为 ? 3, 4 ? 的抛物线交 y 轴与 A 点,交 x 轴与 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧), 已知 A 点坐标为 ? 0, ?5 ? . (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线与点 D ,如果以 点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛物线的 对称轴与⊙ C 的位置关系,并给出证明. (3)在抛物线上是否存在一点 P ,使 ?ACP 是以 AC 为 直角边的直角三角形.若存在,求点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. 提示:利用一线三直角证相似三角形,找比例线段比较容易解决,下面的步骤仅作参考 解:(1)由题意可设此抛物线的解析式为: y ? a ? x ? 3? ? 4
2

此抛物线过点 A

? 0, ?5? ,??5 ? a ? 0 ? 3?2 ? 4,? a ? ?1
2

? 此抛物线的解析式为: y ? ? ? x ? 3? ? 4 ,即 y ? ? x 2 ? 6 x ? 5

(2)此时抛物线的对称轴与⊙ C 相离。证明: 令 y ? 0 ,即 ? x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 5 ,? B ?1, 0 ? , C ? 5, 0 ? 点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,? ⊙ C 的半径为: r ? d ?

4 26

又点 C 到抛物线对称轴的距离为:5 ? 3 ? 2 与⊙ C 相离。 (3)假设存在满足条件 的点 P x p , y p , ①

而2 ?

4 ,。所以此时抛物线的对称轴 26

?

?

当 ?A ? 900 时,在 Rt?CAP 中,由勾股定理,得 AC 2 ? AP 2 ? CP 2 [来源:学#科# 网 Z#X#

? 点 P 为 ? 7, ?12 ? 或 ? 0, ?5 ? (舍去)
② 当 ?C ? 900 时,在 Rt?ACP 中,由勾股定理,得 AC 2 ? CP 2 ? AP 2

? 点 P 为 ? 2,3? 或 ? 5, 0 ? (舍去)
综上,满足条件的点 P 的坐标为 ? 7, ?12 ? 或 ? 2,3? 以上的答案供大家参考,各题可能有不同的解法,希望大家再探究。 4 、 ( 济 南 2014 模 拟 四 26 题 ) ( 2013 湖 州 ) 如 图 ① , O 为 坐 标 原 点 , 点 B 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ,四 边 形 OACB 是 平 行 四 边 形 ,sin∠ AOB= 0 ) 在 第 一 象 限 内 的 图 象 经 过 点 A , 与 BC 交 于 点 F . ( 1 ) 若 OA=10 , 求 反 比 例 函 数 解 析 式 ; ( 2 ) 若 点 F 为 BC 的 中 点 , 且 △ AOF 的 面 积 S=12 , 求 OA 的 长 和 点 C 的 坐 标 ; ( 3 ) 在 ( 2 ) 中 的 条 件 下 , 过 点 F 作 EF∥ OB, 交 OA 于 点 E ( 如 图 ② ) , 点 P 为 直 线 EF 上 的 一 个 动 点 , 连 接 PA , PO . 是 否 存 在 这 样 的 点 P , 使 以 P 、 O 、 A 为 顶 点 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ? 若 存 在 ,请 直 接 写 出 所 有 点 P 的 坐 标 ;若 不 存 在 ,请 说明理由.

4 k 反 比 例 函 数 y= ( k > 5 x

此题改为:如 图 ① , O 为 坐 标 原 点 , 点 B 在 x 轴 的 正 半 轴 上 , 四 边 形 OACB 是 平 行 四 边 形 , sin∠ AOB= 与 BC 交 于 点 F . ( 1 ) 若 OA=10 , 求 反 比 例 函 数 解 析 式 ( 2 ) 在 ( 1 ) 中 的 条 件 下 , 若 点 F 为 BC 的 中 点 , 过 点 F 作 EF∥ OB, 交 OA 于 点 E( 如 图 ② ),点 P 为 直 线 EF 上 的 一 个 动 点 ,连 接 PA ,PO .是 否 存 在 这 样 的 点 P , 使 以 P 、O 、A 为 顶 点 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ? 若 存 在 ,请 直 接 写 出 所 有 点 P 的 坐 标;若不存在,请说明理由. 参考答案:(1)反比例函数为: y ?

4 k 反 比 例 函 数 y= ( k > 0 ) 在 第 一 象 限 内 的 图 象 经 过 点 A , 5 x

48 x

,AC=9

C(15,8)

∠ APO=90 °时 ,P(8,4)或(-2,4) ∠ PAO=90 °时 P(

16 16 ,4)∠ AOP=90 °时 P(,4) 3 3



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