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2016-2017学年高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模高效测评北师大版必修1资料


2016-2017 学年高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建 模高效测评 北师大版必修 1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.某天 0 时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基 本正常(正常体温约为 37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么 发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0 时至 24 时)体温变化情况的图像是( )

解析: 观察选项 A 中的图像,体温逐渐降低,不符合题意;选项 B 中的图像不能反映 “下午他的体温又开始上升”这一过程; 选项 D 中的图像不能体现“下午他的体温又开始上 升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程. 答案: C 2.已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到达 B 地,在

B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地, 则汽车离开 A 地的距离 x 关于时间 t(小
时)的函数解析式是( A.x=60t B.x=60t+50t
?60t,(0≤t≤2.5) ? C.x=? ? ?150-50t(t>3.5)

)

60t,(0≤t≤2.5) ? ? D.x=?150,(2.5<t≤3.5) ? ?150-50(t-3.5)(3.5<t≤6.5) 解析: 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函数, 选 D. 答案: D 3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知 该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y=alog2(x+1),若该动物在引入一年 后的数量为 100 只,则第 7 年它们发展到( )
1

A.300 只 C.600 只

B.400 只 D.700 只

解析: 将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得 a=100, 所以 x=7 时,y=100log2(7+1)=300. 答案: A 4. 用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地, 并且中间加两道隔墙, 要使矩形的面积最大, 则隔墙的长度为( A.3 m C.5 m ) B.4 m D.6 m 24-4x 2 =x(12-2x)=-2x +12x 2

解析: 设隔墙的长为 x m,矩形面积为 S,则 S=x· =-2(x-3) +18, 所以当 x=3 时,S 有最大值为 18. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
2

5. 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a·(0.5) +b, 现已知该 厂今年 1 月、 2 月生产该产品分别为 1 万件、 1.5 万件, 则此厂 3 月份该产品产量为________. 解析:
? ?1=a·(0.5) +b, ? ?a=-2, 由? ?? 2 ?1.5=a·(0.5) +b ? ?b=2 ?
x
1

x

? y=-2·(0.5) +2, 所以 3 月份产量为 y=-2·(0.5) +2=1.75 万件. 答案: 1.75 万件 6.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入 x(万元)与药品利润 y(万元) 存在的关系为 y=x (α 为常数), 其中 x 不超过 5 万元. 已知去年投入广告费用为 3 万元时, 药品利润为 27 万元,若今年广告费用投入 5 万元,预计今年药品利润为________万元. 解析: 由已知投入广告费用为 3 万元时,药品利润为 27 万元,代入 y=x 中,即 3 =27,解得 α =3,故函数关系式为 y=x .所以当 x=5 时,y=125(万元). 答案: 125 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 ? ?400x- x2,(0≤x≤400) 2 R(x)=? ? ?80 000,(x>400) 其中 x 是仪器的月产量.
2
3 α α α 3

(1)将利润表示为月产量的函数 f(x). (2)当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利 润) 解析: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而 1 ? ?- x2+300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? 2 ? ?60 000-100x,x>400. (2)当 0≤x≤400 时,

f(x)=- (x-300)2+25 000.
∴当 x=300 时,有最大值为 25 000; 当 x>400 时,

1 2

f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000.
∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000, 即每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元. 8.一个林场的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍 伐到林场面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,树林面积至少要保留原面积 1 2 的 ,已知到今年为止,树林剩余面积为原来的 . 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该林场已砍伐了多少年? 解析: (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1), 1 1 10 10 则 a(1-x) = a,即(1-x) = , 2 2 1 ?1? 解得 x=1-? ?10. ?2? (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 m ,则 a(1-x) = a, 2 2

m 1 ?1? ?1? 即? ?10=? ?2, = ,解得 m=5, ?2? ?2? 10 2
故到今年为止,该林场已砍伐了 5 年. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查,提供 了两个方面的信息,分别得到如下两图.
3

m

1

甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第六年 2 万只; 乙调查表明:甲鱼池个数由第一年 30 个减到第六年 10 个. 请你根据提供的信息说明: (1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数. (2)到第六年,这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了?说明理由. (3)到哪一年这个县的甲鱼养殖业的规模最大?其最大值是多少? 解析: (1)年份用 x 表示,第一年即 x=1,每个甲鱼池的平均产量用 y1 表示, 甲鱼池的个数用 y2 表示. 由图像可知,y1 和 y2 关于年份 x 的函数图像都是直线,故设

y1=k1x+b1,y2=k2x+b2.
由题意知,直线 y1=k1x+b1 经过点(1,1)和(6,2), 则?
?k1+b1=1, ?

?6k1+b1=2, ?

得 k1=0.2,b1=0.8.

故 y1=0.2(x+4). 17? ? 同理可得 y2=4?-x+ ?. 2? ? 当 x=2 时,y1=1.2,y2=26,故第二年甲鱼池的个数为 26 个,全县出产甲鱼的总数为 1.2×26=31.2(万只). (2)第一年出产甲鱼总数为 1×30=30(万只), 第六年出产甲鱼总数为 2×10=20(万只),故规模缩小了. (3)设第 x 年规模最大,即求

y1·y2=0.2(x+4)×4?-x+ ?=-0.8x2+3.6x+27.2 的最大值. 2

? ?

17?

?

3.6 9 当 x=- = ≈2 时, 2×(-0.8) 4 上式取最大值为-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2. ∴第二年规模最大,为 31.2 万只.

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