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函数解析式的几种基本方法及例题



求函数解析式的几种基本方法及例题:

1、凑配法: 已知复合函数 f [ g ( x )] 的表达式, f ( x ) 的解析式, f [ g ( x )] 求 的表达式容易配成 g ( x ) 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函 数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x ) 的值域。 此法 较适合简单题目。 例 1、 (1)已知 f(x+1)=x2+2x,求 f(x)及 f(x-2). (2) 已知 f ( x ?
1 x ) ? x ?
2

1 x
2

( x ? 0)

,求

f ( x ) 的解析式

解: (1)f(x+1)=(x+1)2-1,∴f(x)=x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3. (2)
? f (x ?
2

1 x

) ? (x ?
( x ? 2)

1 x

) ?2, x?
2

1 x

? 2

? f ( x) ? x ? 2

2、 换元法: 已知复合函数 f [ g ( x )] 的表达式时, 还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。
例 2 (1) 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

(2)如果 f ( ) ?
x
解: (1)令 t ?

1

x 1? x

, 则当 x ? 0 ,1 时,求 f ( x ).
2

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? ( t ? 1)

? f ( x ? 1) ? x ? 2
2

x
2

? f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2 ( t ? 1 ) ? t

? 1,

? f ( x ) ? x ? 1 ( x ? 1)
2

? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? 2 x
2 2

( x ? 0)

1

(2)设

1 x

? t,则 x ?

1 t

, 代入已知得

f ( t )?

t 1? 1 t

?

1 t?1

,? f ( x ) ?

1 x?1

.

3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。 应用此法解 题时往往需要解恒等式。 例 3、 已知 f(x)是二次函数, 且满足 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
? 2a ? 2 ? 则应有 ? 2 b ? ? 4 ? ? 2a ? 2c ? 0 ? ?a ? 1 ? 2 ?b ? ?2 ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 1. ?c ? ?1 ?

四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量 进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
例 4 设 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 f ( x )
x 1

解 ? f (x) ? 2 f ( ) ? x
x

1

① ,得:

显然 x ? 0 , 将 x 换成
1 1 f ( ) ? 2 f (x) ? x x x 3 2 3x

1 x



解① ②联立的方程组,得:
f (x) ? ? ?

五、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往 可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从 而求得解析式。 例 5 已知: f ( 0 ) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式

f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x )

解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f ( ? y ) ? f ( 0 ) ? y ( ? y ? 1) ? 1 ? y ( y ? 1) ? y ? y ? 1
2

再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x ) ? x ? x ? 1
2

例 6、 (分段函数)设 的表达式.

? x ? 1 ? 2, x ? 1 ? g(x) ? 2x ? 1, f(x)= ? 1 , x ?1 ? 2 ?1 ? x

求 f[g(x)]

解: (对于分段函数的问题,应遵循“分段处理”的原则) 当|2x+1|≤1 即-1≤x≤0 时,f[g(x)]=2|x|-2, 当|2x+1|>1 即 x>0 或 x<-1 时,f[g(x)]=
? 2 | x | -2, ? ∴f[g(x)]= ? 1 2 ? ?4x ? 4x ? 2 -1 ? x ? 0 x ? 0 或 x ? -1

1 4x ? 4x ? 2
2



(三)、课堂练习: 1、已知 f(x+1)=x2-2x,求 f(x)及 f(x-2). (答案:f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15) 2、已知 f( x +1)=x+2 x +1,求 f(x)的解析式。 (答案:f(x)=x2(x≥1) ) 3、已知 f(x)为多项式, f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求 f(x)的解析式。 (答案:f(x)=x2-x+1) 4、已 知 f(x)=2x+a, ? (x)= a= .
1 4

(x2+3), 且 ? [f(x)]=x2+x+1, 则

5、如果函数 f(x)满足方程 af ≠ ? 1,求 f(x)的解析式。

1 ( x ) ? f ( ) ? ax , x ? R 且 x ? 0 , a x

为常数,且 a

解:∵af(x)+f( )=ax ① 将 x 换成 , 换成 x 得,
x x a x
2

1

1

1

x

af(

1 x
ax ?

)+f(x)=
a
2













f(x)=

x ? a ( ax ? 1 ) ( x ? R 且 x ? 0 ). 2 2 a ?1 (a ? 1) x

? ( x ? 1) 2 ? 6、设函数 f ( x ) ? ? ?4 - x - 1 ?

x ?1 x ?1

求使得 f ( x ) ? 1的自变量 x 的取值范围

.

(答案:0≤x≤10 或 x≤-2 )
7、已知函数 f(x)对任意正数 m,n 均有 f(mn)=f(m)+f(n)成立,且 f(8)=3,试求 f( 2 )的值。 (答案:f( 2 )= )
2 1



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