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正余弦函数的图象和性质典型例题分析


正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析

1. 求下列函数的定义域和值域.

解 (1)要使 lgsinx 有意义,必须且只须 sinx>0,解之, 得 2kπ <x<(2k+1)π ,k∈Z. 又∵0<sinx≤1, ∴-∞<lgsinx≤0. ∴定义域为(2kπ ,(2k+1)π )(k∈Z),值域为(-∞,0].

的取值范围,进而再利用三角函数线或函数图象,求出 x 的取值范围。

利用单位圆(或三角函数图象)解得

(2)由读者自己完成,其结果为

例4

求下列函数的最大值与最小值:

(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2

∵sinx∈[-1,1],

例5

求下列函数的值域.

∵|cosx|≤1

∴cox2x≤1

说明 上面解法的实质是从已知关系式中, 利用|cosx|≤1 消去 x, 从而 求出 y 的范围.

例6

比较下列各组数的大小.

分析 化为同名函数,进而利用增减性来比较函数值的大小. 解 (1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14° cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70° ∵0<14°<70°<90°, ∴sin14°<sin70°,从而 -sin14°>-sin70°,即 sin194°>cos160°.

而 y=cosx 在[0,π ]上是减函数, 故由 0<1.39<1.47<1.5<π 可得 cos1.5<cos1.47<cos1.39

例7

求下列函数的单调区间

解(1)设 u=2x 当 u∈[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)时,cosu 递增; 当 u∈[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)时,cosu 递减.

例8

下列函数中是奇函数的为

∴(D)为奇函数,应选(D).

函数不具有奇偶性. 说明 奇(偶)函数的定义域必须对称于原点,这是奇(偶)函数必须满足 的条件,解题时不可忽视.


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