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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章2.1.1精要课件 离散型随机变量



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2.1.1

2.1.1
【学习要求】
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离散型随机变量

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 【学法指导】 引进随机变量的概念,就可以用数字描述随机现象,建立连 接数和随机现象

的桥梁,通过随机变量和函数类比,可以更 好地理解随机变量的定义,随机变量是函数概念的推广.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1

1.随机试验:一般地,一个试验如果满足下列条件:
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(1)试验可以在相同的情形下重复进行; (2)试验所有可能的结果是明确的,并且不只一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一 次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个. 这种试验就是一个随机试验.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1

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2.随机变量:在随机试验中,随着 试验的结果 变化而变化 的变量称为随机变量. 3.离散型随机变量:所有取值可以 一一列出 的随机变量, 称为离散型随机变量.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.1

探究点一
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随机变量的概念

问题 1

掷一枚骰子,出现的点数可以用数字 1,2,3,4,5,6 来表

示,那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢?



掷一枚硬币,可能出现正面向上、正面向下两种结果,我

们可以分别用 1 和 0 表示, 这样就可以用数字来表示试验结果, 数字随试验结果的变化而变化,这就是随机变量.

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2.1.1

问题 2
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随机变量和函数有类似的地方吗?



随机变量和函数都是一种映射, 随机变量把随机试验的结

果映为实数,函数把实数映为实数,试验结果相当于函数的自 变量,随机变量相当于函数的函数值,随机变量可以看作函数 概念的推广.

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例1

2.1.1

下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并

说明理由. (1)上海国际机场候机室中 2013 年 10 月 1 日的旅客数量;
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(2)2013 年某天济南至北京的 D36 次列车到北京站的时间; (3)2013 年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数; (4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长.
解 (1)候机室中的旅客数量可能是:0,1,2,?,出现哪一个 结果都是随机的,因此是随机变量.

(2)D36 次济南至北京的列车,到达终点的时间每次都是随机 的,可能提前,可能准时,亦可能晚点,故是随机变量. (3)在《拉呱》节目播放的时刻,收看人数的变化是随机的,
可能多,也可能少,因此是随机变量.

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2.1.1

(4)体积为 1 000 cm3 的球半径长为定值,故不是随机变量.

小结
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随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结

果为自变量的一个函数, 即随机变量的取值实质上是试验结果 对应的数,但这些数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟 是哪一个值.

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2.1.1

跟踪训练 1 指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随 机变量,并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数; (2)任意掷一枚均匀硬币 5 次,出现正面向上的次数;
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(3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中 的最小值; (4)某个人的属相.

解 (1)某人射击一次,可能命中的环数是 0 环,1 环,?, 10 环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的, 因此是随 机变量.

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2.1.1

(2)任意掷一枚硬币 1 次, 可能出现正面向上也可能出现反面 向上,因此投掷 5 次硬币,出现正面向上的次数可能是
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0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果都是随机的,是随机变量.

(3)一颗骰子投掷两次,所得点数的最小值可以是 1,2,3,4,5,6, 因此是随机变量.
(4)属相是人出生时便确定的,不是随机变量.

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探究点二 离散型随机变量的判定

2.1.1

问题 1 什么是离散型随机变量? 答 所有可能的取值都可以一一列出的随机变量叫离散型随机
变量.
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问题 2


非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别?

非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机

变量,又称为连续型随机变量. 它们的区别在于: 离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可能取 值按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间的一 切值,无法对其中的值一一列举.

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例2

2.1.1

①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为 ξ;②某网

站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ξ;③一天内 的温度为 ξ;④射手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未 击中目标得 0 分,用 ξ 表示该射手在一次射击中的得分.上
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述问题中的 ξ 是离散型随机变量的是 A.①②③④ C.①③④ B.①②④ D.②③④

( B )

解析
小结

③中一天内的温度不能把其取值一一列出, 是连续型
该题主要考查离散型随机变量的定义,判断时要紧扣定

随机变量,而非离散型随机变量.
义,看是否能一一列出.

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2.1.1

跟踪训练 2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说 明理由. (1)白炽灯的寿命 ξ;
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(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之 差 ξ; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变 化,该水位站所测水位 ξ; (4)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球, 从中任取 3 个, 其中所 含白球的个数.

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2.1.1

(1)白炽灯的寿命 ξ 的取值是一个非负实数, 而所有非负实

数不能一一列出,所以 ξ 不是离散型随机变量.
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出, 不是离散型
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随机变量. (3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,
对水位值我们不能按一定次序一一列出.
(4)是离散型随机变量.从 10 个球中取 3 个球,所得的结果有 以下几种: 3 个白球,2 个白球和 1 个黑球,1 个白球和 2 个黑球,3 个黑 球,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.

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探究点三 例 3 离散型随机变量的应用

2.1.1

(1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5.

现从该袋内随机取出 3 只球,被取出的球的最大号码数 ξ.
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写出随机变量 ξ 可能取的值, 并说明随机变量所取的值表示 的随机试验的结果. (2)抛掷两枚骰子各一次, 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚 骰子掷出的点数的差为 ξ, 试问: “ξ>4”表示的试验结果是 什么?

解 (1)ξ 可取 3,4,5.

ξ=3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3;
ξ=4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4;

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2.1.1

ξ=5, 表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5. (2)因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一,
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由已知得-5≤ξ≤5,也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”. 所以,“ξ>4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点.
小结 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的 取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取 值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉 某些试验结果.

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跟踪训练 3

2.1.1

下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表

示?若能, 请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示 的随机试验的结果. (1)盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔, 从中任意取出 3 支, 其
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中所含白粉笔的支数 ξ,所含红粉笔的支数 η. (2)从 4 张已编有 1~4 的卡片中任意取出 2 张,被取出的卡片 号数之和 ξ. (3)离开天安门的距离 η. (4)袋中有大小完全相同的红球 5 个, 白球 4 个, 从袋中任意取 出一球, 若取出的球是白球, 则过程结束; 若取出的球是红球, 则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取 出的球是白球,此规定下的取球次数 ξ.

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解 (1)ξ 可取 1,2,3. {ξ=i}表示取出 i 支白粉笔,3-i 支红粉笔,其中 i=1,2,3.
η 可取 0,1,2. {η=i}表示取出 i 支红粉笔,3-i 支白粉笔,其中 i=0,1,2.
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2.1.1

(2)ξ 可取 3,4,5,6,7.其中, {ξ=3}表示取出分别标有 1,2 的两张卡片;

{ξ=4}表示取出分别标有 1,3 的两张卡片; {ξ=5}表示取出分别标有 1,4 或 2,3 的两张卡片; {ξ=6}表示取出分别标有 2,4 的两张卡片; {ξ=7}表示取出分别标有 3,4 的两张卡片.
(3)η 可取[0,+∞)中的数.η=k 表示离开天安门的距离为 k(km).不是离散型随机变量.
(4)ξ 可取所有的正整数.{ξ=i}表示前 i-1 次取出红球,而第 i 次取出白球,这里 i∈N*.不是离散型随机变量.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.1

1.下列变量中,不是随机变量的是
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( B )

A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数

解析

B 中水沸腾时的温度是一个确定值.

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2.1.1

2.10 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件,可作为随机变量 的是 A.取到产品的件数
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( C ) B.取到正品的概率 D.取到次品的概率

C.取到次品的件数
解析

对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量, B、

D 也是一个定值,而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2,是 随机变量.

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2.1.1

3.抛掷 2 枚骰子,所得点数之和记为 ξ,那么“ξ=4”表示 的随机试验的结果是 A.2 枚都是 4 点
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( D )

B.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点 C.2 枚都是 2 点 D.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点,或者 2 枚都是 2 点
解析 抛掷 2 枚骰子,其中 1 枚是 x 点,另 1 枚是 y 点, 其中 x,y=1,2,?,6.
而 ξ=x+y,
?x=1, ? ξ=4?? ?y=3 ? ?x=2, ? 或? ?y=2. ?

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2.1.1

4.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6.现从中
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随机取出 2 个球, ξ 表示取出的球的最大号码, 以 则“ξ=6” (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 表示的试验结果是________________________________.

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2.1.1

1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关
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系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应于 随机试验的某一个随机事件. 2.写随机变量表示的结果,要看三个特征: (1)可用数来表示; (2)试验之前可以判断其可能出现的所有 值;(3)在试验之前不能确定取值.



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