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2017年四川省广元市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)



高三数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.若集合 A={x|x +3x﹣4>0},B={x|﹣2<x≤3},且 M=A∩B,则有( A.1∈M B.2∈M C. (?RB)? A D.B? A 2.已知 z= A. B.i ﹣ (i 是虚数单位) .那么复数

z 的虚部为( C.1 D.﹣1 ) )
2



3.已知向量 =(﹣1,2) , =(﹣1,1) , =(﹣3,1) ,则 ? ( + )=( A. (6,3) B. (﹣6,3) C.﹣3 D.9

4. “牟合方盖” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

A.

B.

C.

D.

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an= Sn+2 成立.若 bn=log2an,则 b1008=( )

A.2017 B.2016 C.2015 D.2014 6.在“双 11”促销活动中,某商场对 11 月 11 日 9 时到 14 时的销售额进行统计,其频率 分布直方图如图所示,已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元,则 9 时到 11 时的销售额为 ( )

第 1 页(共 1 页)

A.3 万元

B.6 万元

C.8 万元

D.10 万元 个单位,所得图象对应的函数( , , ]上单调递减 ]上单调递减 )

7.将函数 y=2sin(2x+ A.在区间[ C.在区间[﹣ , ,

)的图象向右平移

]上单调递增 B.在区间[ ]上单调递增 D.在区间[﹣
2

8.已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致 是( )

A.

B.

C



D.

9.如图是利用我国古代数学家刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 值为( 参考数据: ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305.



A.12

B.24

C.48

D.96

第 2 页(共 2 页)

10.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)经过抛物线 C2:y2=2px(p>0)的焦点,且 )

双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形,则双曲线 C1 的离心率是( A.2 B. C. D.

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,其中 m≥2,则 nSn 的最小 值为( )

A.﹣3 B.﹣5 C.﹣6 D.﹣9 12.对于函数 f(x)和 g(x) ,设α ∈{x∈R|f(x)=0},β ∈{x∈R|g(x)=0},若存在α 、 β ,使得|α ﹣β |≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数” .若函数 f(x)=e ﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数” ,则实数 a 的取值范围为( A. B. C.[2,3] D.[2,4]
2 x﹣1

+x



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 x∈(﹣ ,0)且 cosx= ,则 tan( +x)= .

14.在条件

,下,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 40,则



最小值是



15.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、BC 的中点,将△ADE、△EBF、 △FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起,使得 A、B、C 三点重合于点 A′,若四面体 A′EFD 的四个 顶点在同一个球面上,则该球的半径为 .

16.已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明证明过程、计算步骤.
第 3 页(共 3 页)

17.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数,得到如下资料: 日 期 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

温差 x(°C) 发芽数 y(颗)

该农科所确定的研究方案是: 先从这五组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求线性回归方 程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2) 若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ;

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

18.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,△ABD 是正三角形,△BCD 是等腰三角形,∠BCD=120°, EC⊥BD,连结 AC 交 BD 于点 O. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 ABCD; (Ⅱ)判断在线段 AE 上是否存在点 M,使得 DM∥平面 BEC,并说明理由.

第 4 页(共 4 页)

19.如图,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b(sinC+cosC) . (Ⅰ)求∠ABC; (Ⅱ)若∠A= ,D 为△ABC 外一点,DB=2,DC=1,求四边形 ABDC 面积的最大值.

20.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
2

2

第 5 页(共 5 页)

21.如图,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,点 P 为椭圆 C 上任意一点,

且|PF|的最小值为

﹣1,离心率为

,直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B(A、B 都在 x

轴上方) ,且∠OFA+∠OFB=180°. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)对于动直线 l,是否存在一个定点,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?若 存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

四、选考题,考生从 22、23 两题中任选一题作答,将选择的题号对应的方框用 2B 铅笔涂 黑,多做按所答第一题计分.[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以原点 O 为极
2

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =4 (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

ρ sin(θ +

)﹣4.

(Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A、B 两点,求|AB|的最大值和最小值.

五、[选修 4-5:不等式选讲] 23.设 f(x)=|x﹣3|+|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)≤2; (2)若存在实数 x 满足 f(x)≤ax﹣1,试求实数 a 的取值范围.
第 6 页(共 6 页)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.若集合 A={x|x +3x﹣4>0},B={x|﹣2<x≤3},且 M=A∩B,则有( A.1∈M B.2∈M C. (?RB)? A D.B? A 【考点】交集及其运算. 【分析】解不等式求出集合 A,根据交集的定义写出 M=A∩B,再判断选项是否正确. 【解答】解:集合 A={x|x2+3x﹣4>0}={x|x<﹣4 或 x>1}, B={x|﹣2<x≤3}, 则 M=A∩B={x|1<x≤3}, ∴2∈M. 故选:B.
2



2.已知 z= A. B.i



(i 是虚数单位) .那么复数 z 的虚部为( C.1 D.﹣1



【考点】复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 【解答】解:z= ﹣ = ﹣ = = +i,

那么复数 z 的虚部为 1. 故选:C.

3.已知向量 =(﹣1,2) , =(﹣1,1) , =(﹣3,1) ,则 ? ( + )=( A. (6,3) B. (﹣6,3) C.﹣3 D.9



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】进行向量加法和数量积的坐标运算即可. 【解答】解: 故选:D.
第 7 页(共 7 页)



4. “牟合方盖” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, 好似两个扣合 (牟合) 在一起的方形伞 (方 盖) .根据三视图看到方向,可以确定三个识图的形状,判断答案. 【解答】解:∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方 形伞(方盖) . ∴其正视图和侧视图是一个圆, ∵俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形, 故选:B

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an= Sn+2 成立.若 bn=log2an,则 b1008=( )

A.2017 B.2016 C.2015 D.2014 【考点】数列递推式. 【分析】根据数列的递推公式即可求出数列 {an} 为等比数列,根据对数的运算性质可得 bn=2n+1,代值计算即可

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【解答】解:在 an= Sn+2 中令 n=1 得 a1=8, 因为对任意正整数 n,都有 an= Sn+2 成立,所以 an+1= Sn+1+2 成立, 两式相减得 an+1﹣an= an+1, 所以 an+1=4an, 又 a1≠0, 所以数列{an}为等比数列, 所以 an=8?4n﹣1=22n+1, 所以 bn=log2an=2n+1, 所以 b1008=2017, 故选:A

6.在“双 11”促销活动中,某商场对 11 月 11 日 9 时到 14 时的销售额进行统计,其频率 分布直方图如图所示,已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元,则 9 时到 11 时的销售额为 ( )

A.3 万元

B.6 万元

C.8 万元

D.10 万元

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图,利用频率比与销售额的比相等,即可求出对应的值. 【解答】解:根据频率分布直方图知,12 时到 14 时的频率为 0.35, 9 时到 11 时的频率为 0.25, 所以 9 时到 11 时的销售额为: 14× 故选:D. =10(万元) .

第 9 页(共 9 页)

7.将函数 y=2sin(2x+ A.在区间[ C.在区间[﹣ , ,

)的图象向右平移

个单位,所得图象对应的函数( , , ]上单调递减 ]上单调递减



]上单调递增 B.在区间[ ]上单调递增 D.在区间[﹣

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【分析】利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律求得所得图象对应的解析式,再利用 正弦函数的单调性,求得所得图象对应的函数的单调区间,即可得解. 【解答】解:将函数 y=2sin(2x+ 得到 y=2sin[2(x﹣ 令 2kπ ﹣ ≤2x﹣ )+ )的图象向右平移 个单位长度,

]=2sin(2x﹣ ,得 kπ + ,kπ +

)的图象, ≤x≤kπ + ],k∈Z, ,k∈Z,

≤2kπ +

可得函数的单调递增区间为:[kπ + 当 k=0 时,单调递增区间为:[ 故选:A. ,

],故 A 正确.

8.已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致 是( )

2

A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】由于 f(x)= x2+cosx,得 f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数 f′(x) 为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD,取 x= <0,排除 C,只有 A 适合. 代入 f′( )= ﹣sin = ﹣1

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【解答】解:由于 f(x)= x +cosx, ∴f′(x)= x﹣sinx, ∴f′(﹣x)=﹣f′(x) ,故 f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD, 又当 x= 故选:A. 时,f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,只有 A 适合,

2

9.如图是利用我国古代数学家刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 值为( 参考数据: ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305.



A.12

B.24

C.48

D.96

【考点】程序框图. 【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:模拟执行程序,可得: n=6,S=3sin60°= ,

不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 故选:B.

10.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)经过抛物线 C2:y2=2px(p>0)的焦点,且 )

双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形,则双曲线 C1 的离心率是(
第 11 页(共 11 页)

A.2

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程,可得 p=2a,求得双曲线的渐近线方程,联立 准线方程,可得等边三角形的边长和高,可得 a= 计算即可得到所求值. 【解答】解:抛物线 C2:y2=2px(p>0)的焦点为( ,0) , 由题意可得 a= , b,由 a,b,c 的关系和离心率公式,

双曲线 C1:



=1 的渐近线方程为 y=± x,

抛物线的准线方程为 x=﹣ , 代入渐近线方程可得交点为(﹣a,b) , (﹣a,﹣b) , 由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形, 可得边长为 2b,高为 a, 即有 a= 即有 e= = 故选:D. b,c= . = a,

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,其中 m≥2,则 nSn 的最小 值为( )

A.﹣3 B.﹣5 C.﹣6 D.﹣9 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列性质求出 a1=﹣2,d=1,由此利用导数性质能求出 nSn 的最小值. 【解答】解:由 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,得 am=2,am+1=3,所以 d=1,因为 Sm=0,故 ma1+ d=0,故 a1=﹣ ,

因为 am+am+1=5, 故 am+am+1=2a1+(2m﹣1)d=﹣(m﹣1)+2m﹣1=5,解得 m=5. 所以 =﹣2,
第 12 页(共 12 页)

nSn=n(﹣2n+ 设 f(n)= n3﹣ n2,则

)= n ﹣ n , ,由 f′(n)=0,得 n= =﹣9. 或 n=0,

3

2

由 n∈N*,得当 n=3 时,nSn 取最小值 故选:D.

12.对于函数 f(x)和 g(x) ,设α ∈{x∈R|f(x)=0},β ∈{x∈R|g(x)=0},若存在α 、 β ,使得|α ﹣β |≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数” .若函数 f(x)=ex﹣1+x ﹣2 与 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数” ,则实数 a 的取值范围为( A. B. C.[2,3] D.[2,4] )

【考点】函数的零点. 【分析】先得出函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2 的零点为 x=1.再设 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 的零点为 β ,根据函数 f(x)=e
x﹣1

+x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数” ,及新定义的
2

2

零点关联函数,有|1﹣β |≤1,从而得出 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点所在的范围,最后利 用数形结合法求解即可. 【解答】解:函数 f(x)=e
x﹣1

+x﹣2 的零点为 x=1.

设 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 的零点为β , 若函数 f(x)=e
x﹣1

+x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数” ,

2

根据零点关联函数,则|1﹣β |≤1, ∴0≤β ≤2,如图. 由于 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 必过点 A(﹣1,4) , 故要使其零点在区间[0,2]上,则

g(0)×g(2)≤0 或



解得 2≤a≤3, 故选 C.

第 13 页(共 13 页)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 x∈(﹣ ,0)且 cosx= ,则 tan( +x)= .

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,两角和的正切公式,求得 tan( 【解答】解:x∈(﹣ ,0)且 cosx= ,∴sinx=﹣ ,∴tanx= +x)的值.

=﹣ ,

则 tan(

+x)=

=

= ,

故答案为: .

14.在条件

,下,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 40,则



最小值是



【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作差可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数可得即 后利用基本不等式求最值.
第 14 页(共 14 页)

.再由

=(

) ,展开

【解答】解:由约束条件

作差可行域如图,

联立 由 z=ax+by,得

,解得 A(8,10) , , 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 8a+10b=40,

由图可知,当直线 即 ∴ . =( ) (

)=



当且仅当 故答案为: .

时上式等号成立.

15.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、BC 的中点,将△ADE、△EBF、 △FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起,使得 A、B、C 三点重合于点 A′,若四面体 A′EFD 的四个 顶点在同一个球面上,则该球的半径为 .

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【考点】球的体积和表面积. 【分析】 把棱锥扩展为正四棱柱, 求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径. 【解答】解:由题意可知△A′EF 是等腰直角三角形,且 A′D⊥平面 A′EF. 三棱锥的底面 A′EF 扩展为边长为 1 的正方形, 然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球, 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为: ∴球的半径为 故答案为: . . = .

16.已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是 [1,e2﹣2] 【考点】函数的图象. 【分析】由已知,得到方程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在[ ,e]上有解,构造函数 f(x) =2lnx﹣x2,求出它的值域,得到﹣a 的范围即可. 【解答】解:由已知,得到方程 a﹣x =﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x 在[ ,e]上有解.
2 2



设 f(x)=2lnx﹣x ,求导得:f′(x)= ﹣2x= ∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点, ∵f( )=﹣2﹣

2



,f(e)=2﹣e2,f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知 f(e)<f( ) ,

故方程﹣a=2lnx﹣x2 在[ ,e]上有解等价于 2﹣e2≤﹣a≤﹣1. 从而 a 的取值范围为[1,e ﹣2]. 故答案为:[1,e2﹣2]
2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步 骤. 17.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的
第 16 页(共 16 页)

发芽数,得到如下资料: 日 期 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

温差 x(°C) 发芽数 y(颗)

该农科所确定的研究方案是: 先从这五组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求线性回归方 程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2) 若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ;

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 【考点】回归分析的初步应用;等可能事件的概率. 【分析】 (1)根据题意列举出从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是可 能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有 6 种.根据等可能事件的概率做出结果. (2)根据所给的数据,先做出 x,y 的平均数,即做出本组数据的样本中心点,根据最小二 乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. (3)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,就认为得到的线性回归方程 是可靠的,根据求得的结果和所给的数据进行比较,得到所求的方程是可靠的. 【解答】解: (1)设抽到不相邻的两组数据为事件 A, 从 5 组数据中选取 2 组数 据共有 10 种情况: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) , 其中数据为 12 月份的日期数. 每种情况都是可能出现的,事件 A 包括的基本事件有 6 种. ∴P(A)= .

∴选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 (2)由数据,求得 .

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由公式,求得 b= ∴y 关于 x 的线性回归方程为 (3)当 x=10 时, 同样当 x=8 时, x﹣3.

×10﹣3=22,|22﹣23|<2; ×8﹣3=17,|17﹣16|<2;

∴该研究所得到的回归方程是可靠的.

18.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,△ABD 是正三角形,△BCD 是等腰三角形,∠BCD=120°, EC⊥BD,连结 AC 交 BD 于点 O. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 ABCD; (Ⅱ)判断在线段 AE 上是否存在点 M,使得 DM∥平面 BEC,并说明理由.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)证明:BD⊥AC,利用 EC⊥BD,AC∩EC=C,可得 BD⊥平面 AEC,即可证明平面 AEC⊥平面 ABCD; (Ⅱ)取 AB 中点 N,连接 MN,DN,MN,易证 MN∥平面 BEC,DN∥平面 BEC,由面面平行的 判定定理即可证得平面 DMN∥平面 BEC,又 DM? 平面 DMN,于是 DM∥平面 BEC. 【解答】证明: (Ⅰ)设 BD 的中点为 O′,则 AO′⊥BD,CO′⊥BD.∴A,O′,C 三点共线, ∴BD⊥AC, ∵EC⊥BD,AC∩EC=C, ∴BD⊥平面 AEC, ∵BD? 平面 ABCD, ∴平面 AEC⊥平面 ABCD; (Ⅱ)M 为线段 AE 的中点时,DM∥平面 EBC,理由如下: 取 AB 中点 N,连接 MN,DN, ∵M 是 AE 的中点,
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∴MN∥BE,又 MN?平面 BEC,BE? 平面 BEC, ∴MN∥平面 BEC, ∵△ABD 是等边三角形, ∴∠BDN=30°,又 CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CBD=30°, ∴ND∥BC, 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC, ∴DN∥平面 BEC,又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC,又 DM? 平面 DMN, ∴DM∥平面 BEC.

19.如图,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b(sinC+cosC) . (Ⅰ)求∠ABC; (Ⅱ)若∠A= ,D 为△ABC 外一点,DB=2,DC=1,求四边形 ABDC 面积的最大值.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知可得 cosBsinC=sinBsinC, 结合 sinC≠0,可求 tanB=1,结合范围 B∈(0,π ) ,即可求得 B 的值. (Ⅱ)由已知利用余弦定理可得 BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD,由已知及(Ⅰ)可知 , 利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 求 S
△ ABC

, S

△ BDC

, 从 而 可 求

,根据正弦函数的性质即可得解四边形 ABDC 面积的最大
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值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,∵a=b(sinC+cosC) , ∴sinA=sinB(sinC+cosC) ,? ∴sin(π ﹣B﹣C)=sinB(sinC+cosC) , ∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC) ,? ∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,? ∴cosBsinC=sinBsinC, 又∵C∈(0,π ) ,故 sinC≠0,? ∴cosB=sinB,即 tanB=1. 又∵B∈(0,π ) , ∴ . ? ?

(Ⅱ)在△BCD 中,DB=2,DC=1, ∴BC =1 +2 ﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD. ? 又 ,由(Ⅰ)可知 ,
2 2 2

∴△ABC 为等腰直角三角形,? ∴ 又∵ ∴ ∴当 ,? . 时,四边形 ABDC 的面积有最大值,最大值为 ? .? ,?

20.已知函数 f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围;
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(2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 【考点】函数单调性的性质. 【分析】 (1)由函数 f(x)在[1,2]上是减函数得 [1,2]上恒成立,即有 h(x)=2x2+ax﹣1≤0 成立求解. (2)先假设存在实数 a,求导得 x∈(0,e]分当 a≤0 时,当 【解答】解: (1) 令 h(x)=2x +ax﹣1, 有
2

2



= 时,当

,a 在系数位置对它进行讨论,结合 时三种情况进行. 在[1,2]上恒成立,





得 (2)假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3, 当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ∴g(x)无最小值. 当 ∴ 当 时,g(x)在 上单调递减,在 ,a=e ,满足条件. 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, (舍去) ,
2

= (舍去) ,

上单调递增

∴f(x)无最小值. 综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3.
2

21.如图,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,点 P 为椭圆 C 上任意一点,

且|PF|的最小值为

﹣1,离心率为

,直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B(A、B 都在 x

轴上方) ,且∠OFA+∠OFB=180°.
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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)对于动直线 l,是否存在一个定点,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?若 存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)设椭圆的标准方程为: 圆 C 上任意一点,且|PF|的最小值为 =1(a>b>0) ,由离心率为 ,点 P 为椭

﹣1,求出 a2=2,b2=1,由此能求出椭圆 C 的方程. =1,从而 kBF=﹣1,进而直线 BF 为:

(Ⅱ)由题意 A(0,1) ,F(﹣1,0) ,得 kAF= y=﹣x﹣1,代入
2

,得 3x +4x=0,由此能求出直线 AB 的方程.

(Ⅲ)由∠OFA+∠OFB=180°, 知 B 在于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上,设直线 AF 的方程为:

y=k(x+1) ,由

,得(

)x2+2k2x+k2﹣1=0,由此利用韦达定理、直线的斜

率、直线方程,结合已知条件能求出对于动直线 l,存在一个定点 M(﹣2,0) ,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点. 【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为: =1(a>b>0) ,

∵离心率为

,∴

,∴a=

, ﹣1,

∵点 P 为椭圆 C 上任意一点,且|PF|的最小值为 ∴c=1,∴a2=b2+c2=b2+1, 解得 a2=2,b2=1, ∴椭圆 C 的方程为 =1.

(Ⅱ)由题意 A(0,1) ,F(﹣1,0) ,

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∴kAF=

=1,

∵∠OFA+∠OFB=180°.∴kBF=﹣1, ∴直线 BF 为:y=﹣(x+1)=﹣x﹣1, 代入 ,得 3x +4x=0,解得 x=0 或 x=﹣ ,
2

代入 y=﹣x﹣1,得

,舍,或

,∴B(﹣ , ) .



= ,∴直线 AB 的方程为:y=



(Ⅲ)存在一个定点 M(﹣2,0) ,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点. 证明:∵∠OFA+∠OFB=180°,∴B 在于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上, 设直线 AF 的方程为:y=k(x+1) ,

代入

,得(

)x2+2k2x+k2﹣1=0,

由韦达定理得





由直线 AB 的斜率 令 y=0,得: x=x1﹣y1? y1=k(x1+1) ,﹣y2=k(x2+1) , =

,得 AB 的方程为:y﹣y1=

(x﹣x1)



=

=≥

=﹣2,

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∴对于动直线 l,存在一个定点 M(﹣2,0) ,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点.

四、选考题,考生从 22、23 两题中任选一题作答,将选择的题号对应的方框用 2B 铅笔涂 黑,多做按所答第一题计分.[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以原点 O 为极 ρ sin(θ + )﹣4.

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ 2=4 (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

(Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A、B 两点,求|AB|的最大值和最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)∵曲线 C2 的极坐标方程转化为ρ 2=4ρ sinθ +4ρ cosθ ﹣4,由ρ 2=x2+y2,ρ sinθ =y,ρ cosθ =x,得: (x﹣2) +(y﹣2) =4,由此得到曲线 C2 表示以(2,2)为圆心, 以 2 为半径的圆. (Ⅱ)消去参数得曲线 C1 的直角坐标方程为 tanα ?x﹣y﹣tanα +1=0,求出圆心 C2(2,2) 到曲线 C1:tanα ?x﹣y﹣tanα +1=0 的距离 d,|AB|=2× 【解答】解: (Ⅰ)∵曲线 C2 的极坐标方程为ρ =4 θ ﹣4, ∴由ρ 2=x2+y2,ρ sinθ =y,ρ cosθ =x, 得到曲线 C2 的直角坐标方程为:x2+y2=4y+4x﹣4, 整理,得: (x﹣2) +(y﹣2) =4, ∴曲线 C2 表示以(2,2)为圆心,以 2 为半径的圆. (Ⅱ)∵曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,
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2 2 2 2 2

,由此能求出结果. )﹣4=4ρ sinθ +4ρ cos

ρ sin(θ +

∴消去参数得曲线 C1 的直角坐标方程为 tanα ?x﹣y﹣tanα +1=0, 当曲线 C1 过圆心 C2(2,2)时,tanα =1,α =45°, 此时|AB|取最大值 2r=2 .

圆心 C2(2,2)到曲线 C1:tanα ?x﹣y﹣tanα +1=0 的距离为: d= = ,

|AB|=2×

=2

=2



∴当 tanα =0,即α =0 时,|AB|取最小值 2.

五、[选修 4-5:不等式选讲] 23.设 f(x)=|x﹣3|+|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)≤2; (2)若存在实数 x 满足 f(x)≤ax﹣1,试求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)化简绝对值不等式,通过两个函数的图象求出不等式的解集. (2)利用(1)的图象直接求出满足 f(x)≤ax﹣1 实数 a 的取值范围即可.

【解答】解(1)



由图象可得 f(x)≤2 的解集为



(2)函数 y=ax﹣1,的图象是经过点(0,﹣1)的直线, 由图象可得 ﹣﹣﹣﹣﹣

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2017 年 3 月 23 日

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