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向量法解立体几何习题



向量法解立体几何 1、四川 19. (本小题共 l2 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° , AB=AC=AA1=1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1,连接 AP 交棱 CC1 于 D. (Ⅰ)求证:PB1∥平面 BDA1; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; 2. ( 全 国 大 纲 文 ) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , AB∥CD, BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 ,
AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.

(I)证明: SD ? 平面 SAB; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 3、重庆文. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 如题(20)图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD ,
AB ? BC, AC ? AD ? 2, BC ? CD ? 1 (Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积;

(Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。 4、. (湖北文)如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 2 , 点 E 在侧棱 A A 1 上,点 F 在侧棱 B B 1 上,且 AE ? 2 2 , BF ? 2 . (I) 求证: CF ? C1E ; (II) 求二面角 E?C F?C 1 的大小。 5、 、 (2006 年高考题)如图 1, l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线, M N 是它们的公垂线,点 A 、 B 在 l1 上, C 在 l 2 上, AM ? MB ? MN 。证明: AC ? NB 。 6、如图,直三棱柱 A1B1C1—ABC 中,D、E 分别是 BC、A1B1 的中点. (1)证明:BE//平面 A1DC1; (2)若 AB=BC=AA1=1,∠ABC=90°求二面角 B1—BC1—E 的正切值. 7、 、如图,四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAD 垂直于底面 ABCD , ?ADC ? ?BCD ? 900 , PA ? PD ? AD ? 2 BC ? 2 , CD ? 3 ,
M 在棱 PC 上, N 是 AD 的中点,二面角 M ? BN ? C 为 300 。

PM 的值; (2)求直线 PB 与平面 BMN 所成角的大小。 MC 8、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,

(1)求

SA ? 平面 ABCD , AB ? 2, AD ? 1, SB ? 7 , ?BAD ? 120? , E 在棱 SD 上,且 SE ? 3ED .

(I)求证: SD ? 平面 AEC; (II)求直线 AD 与平面 SCD 所成角的大小 9、如图所示,三棱柱 ABC ? A' B' C ' 中,四边形 BCC ' B ' 为菱形, ?BCC' ? 60o , ?ABC 为等边三角形,面
ABC ? 面 BCC ' B ' , E、F 分别为棱 AB 、CC ' 的中点; (Ⅰ)求证: EF // 面 A' BC ' ;(Ⅱ)求二面角 C ? AA'? B 的大小。
A E B B' A'

C

F

C'

1 四川 19 如图,以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所 在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系
0 ) , 0 , 0 ( A1-B1C1A, 则A 1
P(0, 2,0) . B (1, 0,1) , B1 (1,0,0) , C1 (0,1,0) , ,

故 DS ? AD, DS ? BS , 又AS ? BS ? S , 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)设平面 SBC 的法向量 a ? (m, n, p) ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 a ? BS , a ? CB, a ? BS ? 0, a ? CB ? 0.

(Ⅰ)在△PAA1 中有 C1D ? AA1 ,即 D(0,1, ) . ∴ A1B ? (1,0,1) , A1D ? (0,1, x) , B1P ? (?1,2,0) . 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1 ? (a, b, c) ,
???? ? n1 ? A1 B ? a ? c ? 0, 1 ? 则 ? ???? 令 c ? ?1 ,则 n1 ? (1, , ?1) . ? 1 2 ? n1 ? A1 D ? b ? c ? 0. ? 2 ???? 1 ∵ n1 ? B1P ? 1? (?1) ? ? 2 ? (?1) ? 0 ? 0 , 2

????

???? ?

1 2

????

1 2

??? ? ? 3 3 ??? 又 BS ? (1, ? , ), CB ? (0, 2, 0), 2 2

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0. ?
??? ? 取 p=2 得 a ? (? 3,0, 2), 又AB ? (?2,0,0) 。

…………9

∴PB1∥平面 BA1D, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面 BA1D 的一个法向量
1 n1 ? (1, , ?1) . 2 又 n2 ? (1,0,0) 为平面 AA1D 的一个法向量.∴
cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 1 2 ? ? . | n1 | ?| n2 | 1 ? 3 3 2

??? ? ??? ? AB ? a 21 ? cos AB, a ? ??? ? . 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin
21 . 7

故二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为 . 2. (全国大纲文)20 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C —xyz。 设 D(1,0,0) ,则 A(2,2,0) 、B(0,2, 0) 。 又设 S ( x, y, z), 则x ? 0, y ? 0, z ? 0.
??? ? ??? ? ( I ) AS ? ( x ? 2, y ? 2, z), BS ? ( x, y ? 2, z) ,

2 3

3(重庆文)2011 解法二: (I)如答(20)图 2,设 O 是 AC 的中点,过 O 作 OH⊥AC,交 AB 于 H,过 O 作 OM⊥AC,交 AD 于 M,由平面 ABC⊥平面 ACD,知 OH⊥OM。因此以 O 为 原点,以射线 OH,OC,OM 分别为 x 轴,y 轴, z 轴的正半轴, 可建立空间坐标系 O—xyz. 已知 AC=2,故点 A,C 的坐标分别为 A(0, —1,0) ,C(0,1,0) 。 设 点 B 的 坐 标 为 ??? ? ??? ? ??? ? B( x1 , y1 ,0),由AB ? BC,| BC |? 1 ,有

??? ? DS ? ( x ?1, y, z) , ??? ? ??? ? 由 | AS |?| BS | 得
( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ,

2 2 ? ? x1 ? y1 ? 1, ? 2 2 ? ? x1 ? ( y1 ? 1) ? 1,

? x ? ? ? 1 解得 ? ?y ? 1 ? ?

3 ? 3 , ? x1 ? ? , 2 ? 2 (舍去). ? 1 ? 1 , y1 ? 2 ? ? 2
3 1 , ,0). 2 2

故 x=1。 ??? ? 由 | DS |? 1得y 2 ? z 2 ? 1,
??? ? 又由 | BS |? 2得x2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4,
1 3 即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0, 故y ? , z ? . 2 2

即点 B 的坐标为 B( 又 设 点


S( 1 2 ? ? 1,


3 ? A 2

??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 3 ??? DS ? (0, , ), DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0. 2 2

D 的 坐 标 ??? ? ???? D(0, y2 , z2 ),由| CD |? 1,| AD |? 2, 有 …………3 分 2 2 ? ?( y2 ? 1) ? z2 ? 1, ? 2 2 ? ?( y2 ? 1) ? z2 ? 4, ? 3 3 ? ? ? , S y2 ? , ? y2 ? , ? 4 4 ? ? 解得 ? (舍去). ? 15 15 ?z ? , ? z2 ? ? ? 2 ? ? 4 ? 4



?

3 2

3 15 即点 D 的坐标为 D(0, , ). 从而△ACD 边 4 4
15 AC 上的高为 h ?| z2 |? . 4

???? ? ??? ? (Ⅰ) C1 E ? (0, ?2, ? 2), CF ? ( 3, ?1, 2) ???? ? ??? ? C1 E ? CF ? 0 ? 2 ? 2 ? 0
?CF ? C1 E.
??? ? (Ⅱ)CE ? (0, ?2, 2 2) ,设平面 CEF 的一个法

??? ? ??? ? 3 1 又 | AB |? ( )2 ? ( ? 1)2 ? 3,| BC |? 1. 2 2
故 四 面 体 ABCD 的 体 积

向量为 m ? ( x, y, z )
??? ? ??? ? ??? ? ? ?m ? CE ? 0, 由 m ? CE , m ? CF , 得 ? ??? ? m ? CF ? 0, ? ? ? ??2 y ? 2 2 z ? 0, 可取m ? (0, 2,1) 即? ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 设 侧 面 BC1 的 一 个 法 向 量 为 ??? ? ???? ? ??? ? n,由n ? BC, n ? CC1 , 及CB ? ( 3, ?1,0)

? ??? ? 1 1 ??? 5 V ? ? ? | AB | ? | BC | h ? . 3 2 8

??? ? 33 (II) 由 (I) 知A B ?( , , 0 ) , 2 2

???? 7 1 5 A D( 0 , , ? ) . 4 4

设非零向量 n ? (l , m, n) 是平面 ABD 的法向量,

??? ? 则由 n ? AB 有
3 3 l ? m ? 0. 2 2

(1)

CC1 ? (0,0,3 2 ),可取n ? (1, 3,0)
设二面角 E—CF—C1 的大小为 θ,于是由 θ 为 锐角可得

???? 由 n ? AD ,有
7 15 m? n ? 0. 4 4

cos ? ?
(2)

| m?n | 6 2 ,所以 ? ? 45? ? ? | m|?| n| 2 3?2

取 m ? ?1 , 由 ( 1 ),( 2 ), 可 得
l ? 3, n ? 7 15 7 15 ,即n ? ( 3, ?1, ). 15 15

即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 45 ? 。 5(2006 年高考题)证明:建立如图 1 所示空 间 直 角 坐 标 系 M ? xyz , 令 MN ? 1 , 则 有

A?? 1,0,0?, B?1,0,0?, N ?0,1,0? 。
∵ MN 是 l1 与 l 2 的公垂线, l1 ? l 2 , ∴ l 2 ⊥平面 ABN , ∴ l 2 ∥ z 轴。 故可设 C ?0,1, m? , 于是 AC ? ?1,1, m?, NB ? ?1,?1,0? 。 ∵
z l2 C l1 A N M B y

显然向量 k ? (0,0,1) 是平面 ABC 的法向量, 从 而
7 15 7 109 15 cos ? n, k ?? ? , 109 49 3 ?1? 15 49 1? 109 ? 2 15 , 故 tan ? n, k ?? 7 7 109

即二面角 C—AB—D 的平面角的正切值为
2 15 . 7

AC ? NB ? 1 ? ?? 1? ? 0 ? 0



图1 x ∴ AC ? NB 。 6 【解析】 (I) 证明: 取 A1C1 的中点 F, 连结 EF, DF … 1 ? EF // B1C1且EF ? B1C1 ? E 中 A1B1 的中点 4. (湖北文解法 2: 2 又 四边形 BCC B 是矩形, ? 建立如图所示的空间直角坐标系, 1 1 D 是 BC 的中点, 则由已知可得 ? EF // BD, 且EF ? BD ? 四边形 EFDB 是平行四边形, ? BE // DF 4分 ? DF ? 面A DC BE ? 平面A1 DC1 A(0,0,0), B( 3,1,0), C(0,2,0), C1 (0,2,3 2), E(0,0,2 2), F ( 3,1, 2) 1 1,

6分 ? BE // 面A1 DC1 (2)以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系 B ? xyz, AB ? BC ? AA1 ? 1 1 可得 C1 (1,0,1), E (0, ,1) 7分 2 1 则 BE ? (0, ,1), BC1 ? (1,0,1) 8分 2 设平面 BEC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )



PM MC



3.……………………………………………… ……………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,n=( 3,0,3)为面 MBN 的法 向量,……………………………8 分 设直线 PB 与平面 MBN 所成的角为 θ , 由→ PB = (0, 3,- 3),得 |→ PB ·n|= 3 3 = 6, sin θ =________ → | PB ||n| 6×2 3 4 所 以 直 线 PB 与 平 面 MBN 所 成 的 角 为 arcsin 6 .………………………………12 分 4

? ? y ? ?2 z1 ?n ? BE ? 0 由? 1 可得 ? 1 ? ?x1 ? ? z1 ?n1 ? BC1 ? 0 令 z1 ? 1, 则n1 ? (?1,?2,1) 又由 AB ? 平面 B1BC1,
则平面 B1 BC1 的法向量 n2 ? BA ? (0,1,0)

n1 ? n2 ?2 ? 6 ? ? | n1 || n2 | 3 6 (注:公式、结果各一分) 由图可知二面角 B1—BC1—E 小于 90°所以二面 6 角 B1 ? BC1 ? E 的大小为 arccos . 10 分 3 2 ∴二面角 B1 ? BC1 ? E 的正切值为 2 7(Ⅰ)建立如图所示的坐标系 N—xyz,其中 ? cos ? n1 , n2 ??

8:依题意易知 CA ? AD , SA ? 平面 ACD.以 A 为坐标原点, SA ? AC、AD、SA 分别
SA ?
SA ?

为 x, y, z 轴建立 空间直角坐标系, 则易得

N (0,0,0),A (1,0,0),B (0, 3,0),C (-1,
3,0),D (-1,0,0),P (0,0, 3). -λ 3λ 设→ PM =λ → MC (λ >0),则 M ( , , 1+λ 1+λ 3 ),于是 1+λ -λ 3λ → NB = (0 , 3 , 0) , → NM = ( , , 1+λ 1+λ 3 ),………………………………3 分 1+λ 设 n=(x,y,z)为面 MBN 的法向量,则→ NB ·n =0,→ NM ·n=0, ∴ 3y=0,-λ x+ 3λ y+ 3z=0,取 n= ( 3,0,λ ), 又 m=(0,0,1)为面 BNC 的法向量,由二面 角 M-BN-C 为 30?,得 |m·n| λ |cos ?m , n?| = = = cos 30? = |m||n| 3+λ 2 3 ,解得 λ =3, 2 (

SA ?

A ? 0,0,0 ? , C

?


3,0,0 , D ? 0,1,0 ? , S 0,0, 3 ,

?

?

?





SE : ED ? 3



? 3 3? E? ? 0, 4 , 4 ? ? ,…………………3 分 ? ? ??? ? ???? ? ? ? A0 C ?S D 易 得 ? ??? , 从 而 SD ? ? ??? ? S D ? ? A 0 E ? ?

平 面

ACE.……………………6 分 (Ⅱ)设平面 SCD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? 则

???? ? n ? ? DC ? 3x ? y ? 0, ? ? ??? ? ?n ? SD ? y ? 3z ? 0.

, 令

z ?1

, 得

n ? 1, 3,1

?

? ,…………9 分




3 ???? 0? ? ? ? ? ???? AD ? n 15 2 cos ? AD, n ?? ???? ? ? 5 | AD || n | 1? 5
,……………11 分 所 以 AD 与 平 面 S C D 所 成 角 大 小 为
arcsin 15 .………………12 分 5

9、取 BC 中点 O ,连接 AO, OC' , 由题可得 AO ? BC ,又因为面 ABC ? 面 BCC ' B ' , 所 以 AO ? 面 BCC ' B ' , 又 因 为 菱 形 BCC ' B ' 中
?BCC' ? 60o ,

所以 C ' O ? BC . 可以建立如图所示的空间直角坐标系┅┅┅┅2 分 不 妨 设
BC ? 2







C (1,0,0)


A

z A' E B O C x F C' y B'

C' (0, 3,0) A(0,0, 3) , B(?1,0,0) , A' (?1, 3, 3)
1 3 1 3 ,0) 所以 B' (?2, 3,0) 所以 E (? ,0, ), F ( , 2 2 2 2
EF ? (1, 3 3 ,? ), BC' ? (1, 3,0), BA' ? (0, 3, 3 ) , 2 2

┅┅┅┅┅┅┅4 分
? 设面 A' BC 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,则

? a ? 3b ? 0 ,不妨取 a ? 3 ,则 ? ? 3b ? 3c ? 0

? (a, b, c) ? ( 3,?1,1) ,所以 EF ? n ? 0 ,又因为 EF ?
面 A' BC ' ,所以 EF // 面 A' BC '. ┅┅┅7 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得 AB ? (?1,0,? 3), AA' ? (?1, 3,0) ,

? 设 面 AA' B 的 一 个 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则
? ? x1 ? 3 z1 ? 0 , 不 妨 取 x1 ? 3 , 则 ? ?? x1 ? 3 y1 ? 0

( x1 , y1 , z1 ) ? ( 3,1,?1) .┅┅┅┅┅┅┅8分

又 AC ? (1,0,? 3), AA' ? (?1, 3,0) ,设面 AA' C 的一
? x ? 3z 2 ? 0 ? 个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则 ? 2 , ?? x 2 ? 3 y 2 ? 0

不妨取 x2 ? 3 ,则 ( x2 , y2 , z 2 ) ? ( 3,1,1) .┅┅┅┅ ┅┅┅10分

? ? n1 ? n2 ? ? 3 ? n1 , n2 ?? ? 所以 cos ? ? ,因为二面角 | n1 | ? | n2 | 5
C ? AA'? B 为锐角, 所以二面角 C ? AA'? B 的大小为 3 arccos ┅┅┅┅┅┅┅12 分 5



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