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高中数学配套课件:第1部分 第一章 1.6 三角函数模型的简单应用



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第 一 章

1.6

应用创 新演练

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[例1]

一个悬挂在弹簧上的小球,静止时

如图,现从它的静止

位置向下拉0.2 m的距离, 在t=0时小球被放开并开始振动.如果此小球 在1 s后又再次回到这一位置. (1)求出描述此小球运动的一个函数关系式; (2)求当t=6.5 s时小球所在的位置.

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[思路点拨] (1)设函数解析式为y=Asin( ωx+φ),由题 意可知最低点距离平衡位置0.2 m,t=0和t=1时小球都在最 低点的位置,由此可确定A,ω,φ.(2)代入计算即可.

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[精解详析] (1)取向上的位移为正,设在t

s时小球相对于

静止位置的位移为s,设s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0). 2π 由题意,可知A=0.2,T=1,ω= =2π . 1 又t=0时,s=-0.2,故0.2sin φ =-0.2,

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π π φ =- +2kπ ,k∈Z.故s=0.2sin(2π t- ), 2 2 即s=-0.2cos 2π t. (2)令t=6.5,则 s=-0.2cos 13π =0.2(m). 故当t=6.5 s时,小球在静止位置的上方0.2 m处.

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[一点通]

三角函数模型在物理中的应用主要体现在

简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考
查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理 概念的意义和表示方法.

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1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡 位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为 π s=6sin(2π t+ ),那么单摆来回摆动一次 6 所需的时间为________.

2π 解析:函数的周期T= =1(s). 2π

答案:1 s

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2.已知,如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I=Asin(ωt+φ) 在一个周期内的图像. (1)试根据图像写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 1 秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大 100 值|A|与最小值-|A|,那么,正整数 ω 的最小值是多少?

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解:(1)由图知,A=300. 1 1 1 设t0=- ,t1= ,t2= , 300 150 60 2π 1 1 1 ∵T=t2-t0= -(- )= ,∴ω= T =100π. 60 300 50

φ ω π 1 ∵- =- ,∴φ= = , 300 300 3 ω
π ∴I=300sin(100πt+ ). 3 2π 1 1 (2)问题等价于T≤ ,即 ≤ , 100 ω 100 ∴ω≥200π,∴最小的正整数ω=629.

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[ 例 2]

健 康 成 年 人 的 收 缩 压 和 舒 张 压 一 般 为 120 ~ 140

mmHg 和 60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的 最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是 收缩压和舒张压. 设某人的血压满足函数 p(t)=115+25sin(160πt),其中 p(t)为 血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数.并与正常值比较.

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[思路点拨] (1)用公式T=



ω

求周期;(2)频率与周期互为倒

数;(3)求出函数的最值并与120/80 mmHg比较.

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[精解详析] (1)P(t)=115+25sin(160π t). 2π 2π 1 这里ω=160π ,∴T= = = (min). |ω | 160π 80 1 (2)次数即频率f=T=80. (3)P(t)max=115+25=140 mmHg, P(t)min=115-25=90 mmHg. 即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg. 因为正常标准值为120/80 mmHg,所以此人的血压比正常值 稍高.

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[一点通] 解决此类问题必须认真分析题意,准确理解y =Asin(ωx+φ)中各参数在实际问题中的意义,才能正确地解 决问题.

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3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础 π 上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< ) 2 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月 份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 ________.

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解析:由条件可知,B=7,A=9-7=2.又T=2(9-3)=12, 2π π π π ∴ω= = .∵3月份达到最高价,∴3× +φ= ∴φ= 12 6 6 2 π 0.所以f(x)的解析式为f(x)=2sin x+7. 6

π 答案:f(x)=2sin x+7 6

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4.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y π 5π =10sin( x- )+20,x∈[4,16]. 8 4 (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存,那么在这段 时间内,该细菌能生存多长时间?

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解:(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,即最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,即最低温度为10℃,所以,最大 温差为30℃-10℃=20℃. π 5π π 5π 1 (2)令10sin( x- )+20=15,可得sin( x- )=- ,而 8 4 8 4 2 π 5π 26 x∈[4,16],所以x= .令10sin( x- )+20=25,可得 3 8 4 π 5π 1 34 sin( x- )= ,而x∈[4,16],所以x= .故该细菌的存活 8 4 2 3 34 26 8 时间为: - = 小时. 3 3 3

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[例3] 4.8 m,

(12分)如图为一个观览车示意图,该观览车半径为

圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转 动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边, 逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式; (2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,

求h与t间关系的函数解析式.并求首次到达最高点时所用的时间.

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[思路点拨]

利用三角函数的定义,结合实际背景设

出函数关系式并用待定系数法求解.

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[精解详析]

(1)由题意可作图如

图.过点O作地面平行线ON,过点B作 ON的垂线BM交ON于点M.? π π 当θ> 时,∠BOM=θ- . 2 2 π h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ- );? 2 π 当0≤θ≤ 时,上述解析式也适合.? 2 (6分) (7分) (2分)

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π (2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是 , 30 π ∴t s转过的弧度数为 t, 30 π π ∴h=4.8sin( t- )+5.6,t∈[0,+∞).? 30 2 ? (8分) (12分)

π π π π π 当h=10.4时,sin( t- )=1, t- = +2kπ ,t= 30 2 30 2 2 30(2k+1),即首次到达最高点所用的时间为30 s.

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[一点通]

面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型

是一项重要的基本技能,这个过程并不神秘,在读题时把问 题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过 程就是数学建模的过程.

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5.如图,一个半径为10 m的水轮按逆时针 方向每分钟转4圈.记水轮上的点P到水 面的距离为dm(若P在水面下,则d取负 数),则d(单位:m)与时间t(单位:s)之间 π 满足关系式:d=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,- < 2 π φ< ), 2 且当点P从水面上浮现时开始计算时间.

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有以下四个结论: 2π π ①A=10;②ω= ; ③φ= ; ④k=5. 15 6 其中,正确结论的序号是________.
解析:∵当sin(ωt+φ)=1时,dmax=15,即15=A+k, 当sin(ωt+φ)=-1时,dmin=-5,即-5=-A+k, 2π 60 ∴A=10,k=5,T= =15(s),ω= , 4 15 2π ∴d=10sin( t+φ)+5. 15

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∵当t=0时,d=0, 1 ∴10sin φ+5=0,∴sin φ=- . 2 π π π 又∵- <φ< ,∴φ=- . 2 2 6

答案:①②④

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6.一个被绳子牵着的小球P(半径忽略不计)作圆周运动(如图). 它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s作圆 周运动.已知绳子的长度为l,求: (1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式; π π (2)如果ω= rad/s,l=2,φ= ,试求y的 6 4 最值; (3)在(2)中,试求小球到达x轴的正半轴所需的时间.

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解:(1)由三角函数的定义得 y=lsin(ωt+φ),t∈[0,+∞). π π (2)ω= rad/s,l=2,φ= 代入解析式,得到 6 4 π π y=2sin( t+ ),t∈[0,+∞). 6 4 2π 最小正周期T= = =12. ω π 6 2π

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π π π 当 6 t+ 4 =2kπ+ 2 ,k∈N, 即 t=12k+1.5,k∈N 时,ymax=2, π π 3 当 6 t+ 4 =2kπ+2π,k∈N, 即 t=12k+7.5,k∈N 时,ymin=-2.

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(3)设小球经过时间 t 后到达 x 轴正半轴, π π 令 6 t+ 4 =2π,得 t=10.5, ∴当 t∈[0,+∞)时,t=12k+10.5,k∈N, ∴小球到达 x 轴正半轴所需要的时间为 10.5+12k,k∈N.

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解答三角函数应用题的一般步骤: (1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真 审题领悟其中的数学本质. (2)建立三角函数模型:根据“审题”所得到的信息,把 实际问题抽象成数学问题,建立三角函数式或三角方程或三角 不等式.

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(3)解决三角函数模型:据所学三角知识解决(2)中建立的模 型问题. (4)作出结论:据(3)中的解答,将答案据实际问题作出对应 结论.

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