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导数复习综合(其他)学生



函数导数综合题
1、如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等腰 梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面 积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.

D

C

2r

A

2r

B

2、设函数 f ? x ? ? 1 ? e 。证明:当 x>-1 时, f ? x ? ?
?x

x ; x ?1

3、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0.
3 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切 线,求实数 m 的取值范围。

4、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1
2

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .若对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的范围。

5、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使 4
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

练习 6、已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 , a ? R 。当 a=1 且 x ? 2 时,证明: f ( x ? 1) ? 2 x ? 5. x

7、已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若方程 f(x)=b 有 3 个不同的实根,求 b 的取值范围.



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