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正余弦函数图像与性质


课 题 教学目标

正余弦、正切函数图像的性质与应用
1.熟练掌握正余弦函数、正切函数的图像的性质 2.正余弦、正切函数图像的应用 重点:熟练掌握正余弦函数、正切函数的图像的性质 难点:对正余弦、正切函数图像的应用 1、坚持做到认真复习,系统的复习知识;

重点、难点

考点及考试要 求

2、认真的完成课后作业 3、细心静心的做计算

教学内容

第一课时
y ? tan x x ? R ,且 x ?

知识点梳理

1. 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.正切函数

?
2

? k? ?k ? z ? 的图像,称“正切曲线”

2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: (0,0) (
? ,1) 2

(?,0) (

3? ,-1) 2

(2?,0)

余弦函数 y=cosx,x?[0,2?]的五个点关键是 (0,1) (
? ,0) 2

(?,-1) (

3? ,0) 2

(2?,1)

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正 弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.

3.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值 时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.T 往往是多

值的(如 y=sinx,2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些 周期函数没有最小正周期). y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2?(一般称为周期).

4.正弦余弦函数的性质:
函数 正弦函数 y ? sin x, x ? R 余弦函数 y ? cos x, x ? R

图象

定 义 域
[?1,1]

(??,??) [?1,1]

(??,??)

值域

当x?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, y max ? 1

当 x ? 2k? (k ? Z ) 时, y max ? 1 当 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, y min ? ?1 是 周 期函 数, 最小 正周 期
T ? 2?

当x?? 周 期 性 奇 偶 性

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, y min ? ?1

是周期函数,最小正周期
T ? 2?

奇函数,图象关于原点对称

偶函数,图象关于 y 轴对称

在 [?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], (k ? Z ) 上

在 [? ? 2k? ,2? ? 2k? ], (k ? Z ) 上是单调增函数; 在 [2k? , ? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 是 单调减函数.

单 调 是单调增函数; 性 在 [ ? 2k? ,
2

?

3? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 2

是单调减函数.

5. .正切函数 y=tanx 的性质
? ? ? (1)定义域: ? x | x ? ? k? , k ? z ? , 2 ? ?

(2)值域:R (3)周期性: T ? ? (4)奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数。

? ? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?

第二课时
题型一:三角形的定义域问题
?π ? 1.函数 y=tan?4-x?的定义域是 ? ? π A.{x|x≠4,x∈ R} π C.{x|x≠kπ+4,k∈ Z,x∈ R}

例题讲解

( π B .{x|x≠-4,x∈ R}

)

3π D.{x|x≠kπ+ 4 ,k∈ Z,x∈ R}

2.求下列函数的定义域: (1)y= cosx+ tanx; (2)y= lg(2sinx-1)+ -tanx-1 x π cos(2+8)

题型二:三角函数的周期性
(2) y ? sin 2 x, x ? R; (3) y ? 2sin( x ? 3. (1) y ? 3cos x, x ? R; 1 2

?
6

), x ? R

说明:一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ?

2? |? | .

4.求函数 y ? 3 tan(2 x ?

?
3

) 的图像的对称中心和周期

题型三 三角函数的单调性
π 3π 5.若函数 y=sinx+f(x)在[-4, 4 ]内单调递增,则 f(x)可以是 A.1 B.cosx C.sinx D.-cosx ( )

π x 6.求 y=3tan(6-4)的周期及单调区间.

? 7.求 y ? cos( ? 2 x) 的周期、对称中心及单调区间. 3

题型四:三角函数的值域与最值
1 8.已知函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则 b-a 的值不可能是( π A.3 2π B. 3 C.π 4π D. 3 )

π π 9.已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 3 4 2 A.3 3 B.2 C.2 D.3

)

10.(1) y ? tan2 x ? 4 tan x ?1

(2) y ?

1 ? tan2 x ? tan x 1 ? tan2 x ? tan x

1 3 11.当函数 y ? sin 2 x ? a cos x ? a ? 的最大值为 1 时,求实数 a 的值。 2 2

? ? ?? 12.已知函数 f (x) ? 2 asin(2 x ? ) ? a ? b 的定义域是 ?0, ? 值域是 ??5,1? ,求 a、b 的值 6 ? 2?

题型 5 综合应用
13.设函数 f (x) ? tan( ?

x ? ) 2 3

(1) 求函数 f (x) 的定义域、周期和单调区间 (2) 求不等式-1 ?1 ? f (x) ? 3 的解集 (3) 作出函数 y ? f (x) 在一个周期内的简图

14.已知 tan x ? 1 2 sin x ? cos x 求(1) 的值. sin x ? 3 cos x
(2) 2 sin x ? sin x ? cos x ? cos x 的值.
2 2

15:已知 x ? [?

? ?

1 , ], 求函数 y ? ? 2 tan x ? 1 的最值及相应的 x 的值。 3 4 cos 2 x

学生对于本次课的评价: ○特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:

教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 教师签字: ○ 差 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好

教学主管签字: 家长意见及建议:

家长签字: 家庭作业:
1. 函 数

? ? 3? ? y ? ? s xi, x ? n?? , ? ? 2 2?











.

2.函数 y ? ? x cos x 的部分图象是(

y



y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

3.函数 f ? x ? ? tan ? x ?

? ?

??

B

C )

D

? 的单调增区间为( 4?

A. ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

?,k ? Z 2?

B. k? , ? k ? 1? ? , k ? Z

?

?

C. ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4?

D. ? k? ?

? ?

?
4

, k? ?

3? ? ?,k ? Z 4 ?

4.函数值 sin 1, sin 2, sin 3 的大小关系正确的是( A. sin 3 ? sin 2 ? sin 1 C. sin 2 ? sin 3 ? sin 1

).

B. sin 2 ? sin 1 ? sin 3 D. sin 1 ? sin 2 ? sin 3

5.定义在 R 上的函数 f ? x ? 既是偶函数,又是周期函数,若 f ? x ? 最小正周期为 ? ,且当 x ? ?0,

? ?? 时, ? 2? ?

? 5? f ? x? ? sin x ,则 f ? ? 3
A. ?

? ? 的值为( ? 3 2
D.



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

6.满足 sin x ?

3 的 x 的集合为_________ 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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7. y ? 1 ? cos x ( x ??0,2? ? ) 的图象与直线 y ? 8. 设函数 f ?x ? ? sin ? 2 x ?

3 的交点的个数为 2

.

? ?

??

?, x ? R ,则 f ?x ? 是___________.(奇函数或者偶函数) 2?
.

9. 函数 y ? sin(2 x ? ?)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是 10. 已知 a ? sin

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 a,b,c 从大到小的顺序是:___________. 7 7 7

11.求函数 y ? 1 ? 3 sin x 的最大值、最小值和周期,并求这个函数取最大值、最小值的 x 值的集合。

12.求函数 y = tan?

?? ? ? x ? 的定义域。 ?4 ?


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