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北师大版高中数学必修5第一章 数列数列在日常经济生活中的应用习题4


[A.基础达标] 1.某工厂总产值月平均增长率为 p,则年平均增长率为( ) A.p B.12p C.(1+p)12 D.(1+p)12-1 解析:选 D.设原有总产值为 a,年平均增长率为 r,则 a(1+p)12=a(1+r),解得 r=(1 12 +p) -1,故选 D. 2.某种产品计划每年降低成本 q%,若三年后的成本是 a 元,则现在的成本是( ) A.a3q% B.a·(q%)3 a C.a(1-q%)3 D. (1-q%)3 a 解析:选 D.设现在的成本为 x 元,则 x(1-q%)3=a,所以 x= ,故选 D. (1-q%)3 3.某工厂 2012 年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到 2020 年年底在原有基础上 翻两番,则总产值年平均增长率为( )
1 1

A.24-1
1

B.25-1
1

C.34-1

D.35-1
1

解析: 选 A.设 2012 年年底总产值为 a, 年平均增长率为 x, 则 a(1+x)8=4a, 得 x=24- 1,故选 A. 4. 某企业 2014 年 12 月份产值是这年 1 月份产值的 p 倍, 则该企业 2014 年度的产值月 平均的增长率为( ) A. 12 p B. 12 p -1

11 11 C. p-1 D. p 解析: 选 C.设 2014 年 1 月份产值为 a, 则 12 月份的产值为 pa, 假设月平均增长率为 r, 11 则 a(1+r)11=pa,所以 r= p-1.故选 C. 5. 某人为了观看 2014 世界杯, 从 2007 年起, 每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄, 若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2014 年将所 有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( ) A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 a a C. [(1+p)7-(1+p)] D. [(1+p)8-(1+p)] p p 解析:选 D.2007 年存入的 a 元到 2014 年所得的本息和为 a(1+p)7,2008 年存入的 a 元到 2014 年所得的本息和为 a(1+p)6,依次类推,则 2013 年存入的 a 元到 2014 年的本息 和为 a(1+p),每年所得的本息和构成一个以 a(1+p)为首项,1+p 为公比的等比数列,则 a(1+p)[1-(1+p)7] a 到 2014 年取回的总额为 a(1+p)+a(1+p)2+?+a(1+p)7= = [(1 p 1-(1+p) 8 +p) -(1+p)]. 6.小王每月除去所有日常开支,大约结余 a 元.小王决定采用零存整取的方式把余钱 积蓄起来,每月初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次),到期取出本金和利息.假设一年期 零存整取的月利率为 r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为________元. 12(12+1) 解析:由题意知,小王存款到期利息为 12ar+11ar+10ar+?+2ar+ar= 2 ar=78ar. 答案:78ar 7.某人买了一辆价值 10 万元的新车,专家预测这种车每年按 10%的速度折旧,n 年后 这辆车的价值为 an 元,则 an=________,若他打算用满 4 年时卖掉这辆车,他大约能得到

________元. 解析:n 年后这辆车的价值构成等比数列{an},其中,a1=100 000×(1-10%),q=1- 10%,所以 an=100 000×(1-10%)n,所以 a4=100 000×(1-10%)4=65 610(元). 答案:100 000×(1-10%)n 65 610 8.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日添增一倍多,问君 每日读多少?”(注: 《孟子》全书约 34 685 字, “一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读 了________字. 解析:设第一日读的字数为 a,由“每日添增一倍多”得此数列是以 a 为首项,公比为 a(1-23) 2 的等比数列,可求得三日共读的字数为 =7a=34 685,解得 a=4 955,则 2a= 1-2 9 910,即该君第二日读的字数为 9 910. 答案:9 910 9.某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月 以复利计算). 如果贷款 10 000 元, 两年还清, 月利率为 0.457 5%, 那么每月应还多少钱呢? 解: 贷款 10 000 元两年到期时本金与利息之和为: 10 000×(1 + 0.457 5%)24 = 10 000×1.004 57524(元). 1-1.004 57524 设每月还 x 元,则到期时总共还 x+1.004 575x+?+1.004 57523x=x· . 1-1.004 575 1-1.004 57524 于是 x· =10 000×1.004 57524. 1-1.004 575 所以 x≈440.91(元). 即每月应还 440.91 元. 10.用分期付款购买价格为 25 万元的住房一套,如果购买时先付 5 万元,以后每年付 2 万元加上欠款利息.签订购房合同后 1 年付款一次,再过 1 年又付款一次,直到还完后为 止,商定年利率为 10%,则第 5 年该付多少元?购房款全部付清后实际共付多少元? 解: 购买时先付 5 万元, 余款 20 万元按题意分 10 次分期还清, 每次付款数组成数列{an}, 则 a1=2+(25-5)· 10%=4(万元); a2=2+(25-5-2)· 10%=3.8(万元); a3=2+(25-5-2×2)· 10%=3.6(万元), ?, n-1 an=2+[25-5-(n-1)· 2]· 10%=(4- )(万元)(n=1,2,?,10).因而数列{an}是首 5 1 项为 4,公差为- 的等差数列. 5 5-1 a5=4- =3.2(万元). 5 1 10×(10-1)×(- ) 5 S10=10×4+ =31(万元). 2 因此第 5 年该付 3.2 万元,购房款全部付清后实际共付 36 万元. [B.能力提升] 1. 某商场今年销售计算机 5 000 台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起, 大约多少年可以使总销售量达到 30 000 台?(结果保留到个位)(参考数据: lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)( ) A.3 年 B .4 年 C.5 年 D.6 年 解析:选 C.设大约 n 年可使总销售量达到 30 000 台,由题意知:每年销售量构成一个 5 000(1-1.1n) 等比数列, 首项为 a1=5 000 台, 公比 q=1.1, Sn=30 000, 所以由 30 000= 1-1.1 lg 1.6 ?1.1n=1.6?n= ≈5,故选 C. lg 1.1

2.某个集团公司下属的甲、乙两个企业在 2015 年 1 月的产值相等.若甲企业每个月的 产值比前一个月的产值增加的数值相等, 乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分 数相等,到 2016 年 1 月两个企业的产值又相等,那么 2015 年 7 月,甲、乙两个企业的产值 的大小关系是( ) A.甲大 B.乙大 C.相等 D.无法确定 解析:选 A.设从 2015 年 1 月到 2016 年 1 月,甲企业每个月的产值分别是 a1,a2,?, a13,乙企业每个月的产值分别是 b1,b2,?,b13.依题意{an}成等差数列,{bn}成等比数列, a1+a13 a1+a13 所以 a7= , b7= b1b13.又因为 a1=b1, a13=b13, a13>a1, 所以 a7= > a1a13= b1b13 2 2 =b7,即 2015 年 7 月甲企业的产值大,故选 A. 3.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质减 少到原来的 5%以下,则至少需过滤的次数为________.(参考数据:lg 2≈0.301 0) 解析:设原杂质数为 1,各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{an},则 a1=1-20%, 公比 q=1-20%,所以 an=(1-20%)n,由题意可知(1-20%)n<5%,即 0.8n<0.05.两边取对 lg 5-2 1-lg 2-2 -lg 2-1 lg 0.05 数得 nlg 0.8<lg 0.05, 因为 lg 0.8<0, 所以 n> , 即 n> = = lg 0.8 lg 8-1 3lg 2-1 3lg 2-1 -0.301 0-1 ≈ ≈13.41,又 n∈N+,故 n=14,即至少需要过滤 14 次. 3×0.301 0-1 答案:14 4.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a, 最高销售价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称为乐观 系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于________. 解析:由已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b-c)(b-a),把 c=a+ x(b-a)代入上式,得 x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即 x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,因为 -1± 5 b>a,b-a≠0,所以 x2=1-x,即 x2+x-1=0,解得 x= ,因为 0<x<1,所以最佳 2 -1+ 5 乐观系数 x 的值等于 . 2 -1+ 5 答案: 2 5. 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来, 在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验 区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、 受理、 审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种 经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年 的纯收入. 求从第几年开始获取纯利润?(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额) 解:由题意,知每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列.设纯利润与年数的 关系为 f(n), n(n-1) 则 f(n)=50n-[12n+ ×4]-72=-2n2+40n-72. 2 获取纯利润就是要求 f(n)>0,故有-2n2+40n-72>0,解得 2<n<18. 又 n∈N+,知从第三年开始获利. 6.某林场为了保护生态环境,制定了植树造林的两个五年计划,第一年植树 16a 亩, 以后每年植树面积都比上一年增加 50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减少 a 亩. (1)求该林场第六年植树的面积; (2)设前 n(1≤n≤10 且 n∈N+)年林场植树的总面积为 Sn 亩,求 Sn 的表达式. 解:(1)该林场前五年的植树面积分别为 16a,24a,36a,54a,81a. 所以该林场第六年植树面积为 80a 亩. (2)设第 n 年林场植树的面积为 an 亩,

3 ? ?(2)n-1×16a,1≤n≤5,n∈N+, 则 an=? ?(86-n)a,6≤n≤10,n∈N+. ? 所以当 1≤n≤5 时, 3 - Sn=16a+24a+?+( )n 1×16a 2 3 n 16a[1-( ) ] 2 3 = =32a[( )n-1]. 3 2 1- 2 当 6≤n≤10 时, Sn=16a+24a+36a+54a+81a+80a+?+(86-n)a =211a+80a+?+(86-n)a [80a+(86-n)a](n-5) =211a+ 2 (166a-na)(n-5) =211a+ . 2 所以所求 Sn 的表达式为 ?(3)n-1?×32a,1≤n≤5,n∈N+, ? 2 ? Sn= (166a-na)(n-5) 211a+ ,6≤n≤10,n∈N+. 2

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