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高中数学复习专题讲座--指数函数、对数函数



题 目

高 中 数 学 复 习 专 题 讲 座 关于指数函数、对数函数的应用

高考要求 指数函数、 对数函数是高考考查的重点内容之一, 本节主要帮助考生掌握两种函数的概 念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 重难点归纳 (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的 图象和性质并能灵活应用 (2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 (3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力 典型题例示范讲解 例 1 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 命题意图 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础 知识,考查学生的分析能力和运算能力 知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想, 只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标 错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题 技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得 点 A 的坐标 (1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题意知 x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2 因为 A、B 在过点 O 的直线上,

所以

,点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),

由于 log2x1=

=

3log8x2,

所以 OC 的斜率

k1=

,

OD 的斜率

k2=



由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上 (2)解 由 BC 平行于 x 轴知 log2x1=log8x2

即 log2x1=

log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x1 log8x1=3x1log8x1,

3

由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x1 =3x1 又 x1>1,∴x1= ,则点 A 的坐标为( ,log8 )

3

例 1 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 命题意图 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础 知识,考查学生的分析能力和运算能力 知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想, 只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标 错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题 技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得 点 A 的坐标 (1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题意知 x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2 因为 A、B 在过点 O 的直线上,

所以

,点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),

由于 log2x1=

=

3log8x2,

所以 OC 的斜率

k1=

,

OD 的斜率

k2=



由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上 (2)解 由 BC 平行于 x 轴知 log2x1=log8x2

即 log2x1=

log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x1 log8x1=3x1log8x1,
3

3

由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x1 =3x1 又 x1>1,∴x1= ,则点 A 的坐标为( ,log8 )

例 2 设 f(x)=log2

,F(x)=

+f(x)

(1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; - (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明 对任意的自然数 n(n≥3),都有

f-1(n)>

;

(3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明



方程 F 1(x)=0 有惟一解





(1)由

>0,且 2-x≠0 得 F(x)的定义域为(-1,1),

设-1<x1<x2<1,则

F(x2)-F(x1)=(

)+(

)

, ∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1 因此 F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数

(2)证明

由 y=f(x)=



2=

y

,

∴f 1(x)= 当 n≥3 时,



,∵f(x)的值域为 R,∴f

--1

(x)的定义域为 R

f-1(n)>
用数学归纳法易证 2 >2n+1(n≥3),证略
n

(3)证明

∵F(0)=

,∴F 1(



)=0,∴x=

是 F 1(x)=0 的一个根



假设 F 1(x)=0 还有一个解 x0(x0≠



),则 F (x0)=0,于

-1

是 F(0)=x0(x0≠

)

这是不可能的,故 F (x)=0 有惟一解

-1

学生巩固练习 1 定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( ) x -x A g(x)=x,h(x)=lg(10 +10 +2)

B

g(x)=

[lg(10 +1)+x],h(x)=

x

[lg(10 +1)-x]

x

C

g(x)=

,h(x)=lg(10 +1)-

x

D 2

g(x)=-

,h(x)=lg(10 +1)+ )

x

当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(

3

已知函数 f(x)=

则f

--1

(x-1)=_________


4 如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y1=ae nt,那 - 么桶 2 中水就是 y2=a-ae nt,假设过 5 分钟时, 1 和桶 2 的水相等, 桶 则再过_________分钟

桶 1 中的水只有 5 设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, 点 Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点 (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围

6

已 知 函 数 f(x)=logax(a>0 且 a ≠ 1),(x ∈ (0,+ ∞ )), 若 x1,x2 ∈ (0,+ ∞ ), 判 断

[f(x1)+f(x2)]与 f(

)的大小,并加以证明 loga x+loga y=loga(ax )+loga(ay )(a>0 且 a≠1),求
2 2 2 2

7 已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1 loga(xy)的取值范围 8 设 不 等 式 2(log

x)2+9(log

x)+9 ≤ 0 的 解 集 为 M , 求 当 x ∈ M 时 函 数

f(x)=(log2

)(log2

)的最大、最小值

参考答案 x 1 解析 由题意 g(x)+h(x)=lg(10 +1) -x - 又 g(-x)+h(-x)=lg(10 +1) 即-g(x)+h(x)=lg(10 x+1)

① ②

由①②得 答案 C 2 解析 为减函数 答案 B

g(x)=

,h(x)=lg(10 +1)-

x

当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选,又 a>1 时,y=(1-a)x

3

解析

容易求得 f

- -1

(x)=

,

从而 f 1(x-1)=



答案 4 解析 由题意,5 分钟后,y1=ae
-nt

,y2=a-ae

-nt

,y1=y2

∴n=

ln2

设再过 t 分钟桶 1 中的水只有

,

则 y1=ae

-n(5+t)

=

,解得 t=10

答案 10 5 解 (1)设点 Q 的坐标为(x′,y′), 则 x′=x-2a,y′=-y 即 x=x′+2a,y=-y′ ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上,

∴-y′=loga(x′+2a-3a),即 y′=loga

,∴g(x)=loga

(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; 又 a>0 且 a≠1,∴0<a<1,

=

>0,

∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga
2 2

|

=|loga(x -4ax+3a )|·|f(x)-g(x)|≤1, 2 2 ∴-1≤loga(x -4ax+3a )≤1, 2 2 ∵0<a<1,∴a+2>2a f(x)=x -4ax+3a 在[a+2,a+3]上为减函数, 2 2 ∴μ (x)=loga(x -4ax+3a )在[a+2,a+3]上为减函数, 从而[μ (x)]max=μ (a+2)=loga(4-4a),[μ (x)]min=μ (a+3)=loga(9-6a),于是所求

问题转化为求不等式组

的解

由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤

,

由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤

,

∴所求 a 的取值范围是 0<a≤ 6 解

f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(

) (当且仅当 x1=x2 时取“=”号),

2

当 a>1 时,有 logax1x2≤loga(

),

2



logax1x2≤loga(

),

(logax1+logax2)≤loga

,



f(x1)+f(x2)]≤f(

)(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)

当 0<a<1 时,有 logax1x2≥loga(

),

2



(logax1+logax2)≥loga

,即

[f(x1)+f(x2)]≥f(

)(当且仅当 x1=x2

时取“=”号) 2 2 7 解 由已知等式得 loga x+loga y=(1+2logax)+(1+2logay), 2 2 即(logax-1) +(logay-1) =4, 2 2 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1) +(v-1) =4(uv≥0),k=u+v 在直角坐标系 uOv 内, 2 2 圆弧(u-1) +(v-1) =4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点, 分两类讨论 (1)当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得 1+ ≤k≤2(1+ ); )≤k≤1- ;

(2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- 综上,当 a>1 时,logaxy 的最大值为 2+2 当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1- 8 解 ∵2(

,最小值为 1+ ,最小值为 2-2

x)2+9(

x)+9≤0

∴(2

x+3)(

x+3)≤0

∴-3≤

x≤-



(

) 3≤



x≤

(

)

?

∴(

)

≤x≤(

) 3,∴2 ,8]}



≤x≤8

即 M={x|x∈[2

又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log2 x-4log2x+3=(log2x-2) -1

2

2

∵2

≤x≤8,∴

≤log2x≤3

∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0



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