9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(文科)



河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6},则 P∩(?UQ) =() A.{1,2,3,4,5,6} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,5} D. {1, 2} 2. (5 分)若

复数 ﹣(a+ )i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上,则实 数 a=() A.﹣1

B. 0

C. 1

D.2

3. (5 分)某班的一次数学考试后,按学号统计前 20 名同学的考试成绩如茎叶图所示,则该

样本数据的中位数为() A.74.5 B.75 C.75.5 D.76

4. (5 分)焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近方程为 y= A.2 B. C.

x,则双曲线的离心率为() D.

5. (5 分)设 x,y 满足约束条件 A.5 B. 6

,则 z=2x+y+1 的最大值为() C. 7 D.8

6. (5 分)执行如图程序框图,若输出的 S 值为 62,则判断框内为()

A.i≤4?

B.i≤5?

C.i≤6?

D.i≤7?

7. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=3,且 Sn+3﹣Sn=57,则 n=()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

8. (5 分)将棱长为 1 的正方体截去若干个角后,得到某几何体的三视图,如图所示,它们都 是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)小王参加网购后,快递员电话通知于本周五早上 7:30﹣8:30 送货到家,如果小 王这一天离开家的时间为早上 8:00﹣9:00,那么在他走之前拿到邮件的概率为() A. B. C. D.

10. (5 分)已知点 P 为椭圆

+

=1 上一点,点 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,点 I 为

△ PF1F2 的内心,若△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1,则△ IF1F2 的面积为() A. B. C. 1 D.2

11. (5 分)已知四面体 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,球 O 的半径为 2,AB,AC, AD 两两垂直,AB= ,则四面体 ABCD 体积的最大值为() A. B. C. 2 D.2

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有三个互

不相等的零点 a、b、c,则 abc 的取值范围为() A.(2, ) B.(0,5) C.(6,10) D.(3,5)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 sin =﹣ ,8π<α<12π,则 tan =.

14. (5 分)若正方形 ABCD 的边长为 3,

=2



=2

,则

?

=.

15. (5 分)定义在区间(a,a+2)上的奇函数 y=f(x) ,当 0<x<a+2 时,f(x)=﹣( ) + , 则 y 的取值范围是. 16. (5 分) 已知数列{an}满足 a1=a2=1, an+2=an+1+an (n∈N ) . 若存在正实数 λ 使得数列|an+1+λan| 为等比数列,则 λ=.
?

x

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)如图,在△ ABC 中,D 为 AB 边上一点,DA=DC,已知 B= (Ⅰ)若△ ABC 是锐角三角形,DC= ,求角 A 的大小; ,BC=1.

(Ⅱ)若△ BCD 的面积为 ,求边 AB 的长.

18. (12 分)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课,访谈及随堂检测等活 动.他们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式:教师主讲的为 A 模式,少数学生参与 的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式,A、B、C 三类课的节数比例为 3:2:1. (Ⅰ)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B、C 统称为新课堂模式.根 据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联 表(单位:节) 高效非高效总计 新课堂模式 60 30 90 传统课堂模式40 50 90 总计 100 80 180 请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由. (Ⅱ)教育专家用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 12 节课作为样本进行研究,并 从样本中的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 2 节课,求至少有一节课为 C 模式课堂的概率. 参考临界值表: 2 P(K ≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K = 其中 n =a +b +c +d) .
2

19. (12 分) 如图, 在等腰梯形 CDFE 中, A, B 分别为底边 DF, CE 的中点, AD=2AB=2BC=2. 沿 AE 将△ AEF 折起,使二面角 F﹣A E﹣C 为直二面角,连接 CF、DF. (Ⅰ)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (Ⅱ)求点 D 到平面 ACF 的距离.

20. (12 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点

为 B,已知|AB|=

|F1F2|.

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ) 设过点 F1 且斜率为﹣1 的直线与椭圆交于第二象限的 P 点, 过 P、 B、 F1 三点的圆为⊙M. 是 否存在过原点的定直线 l 与⊙M 相切?并请说明理由. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣2) ,g(x)=e . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,且 l1,l2 的斜率互为倒数,试证 明:a=0 或 ﹣ <a<1﹣ (附:ln2=0.693)
x

四、选作题(三题中任选一题) (共 3 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为圆弧上一点,过点 C 作半圆的切线 CF, 过点 A 作 CF 的垂线,垂足为 D,AD 交半圆于点 E,连结 EC,BC,AC. (Ⅰ)证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)若 AB=3,DE= ,求△ ABC 的面积.

23.已知曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 )=2.

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上的点的距离的最小值是此时点 P 的坐标. 24.已知函数 f(x)=|x+a|+2|x+1|. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求不等式 f(x)>5 的解集; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围.

河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6},则 P∩(?UQ) =() A.{1,2,3,4,5,6} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,5} D. {1, 2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解. 解答: 解:∵U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6}, ∴P∩(?UQ)={1,2,3,4}∩{1,2,7}={1,2}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2. (5 分)若复数 ﹣(a+ )i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上,则实 数 a=() A.﹣1

B. 0

C. 1

D.2

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 通过复数的几何意义代入计算即可. 解答: 解:由题可知 ,解得 a=0,

故选:B. 点评: 本题考查复数的几 何意义,注意解题方法的积累,属于基础题.

3. (5 分)某班的一次数学考试后,按学号统计前 20 名同学的考试成绩如茎叶图所示,则该

样本数据的 中位数为() A.74.5 考点: 专题: 分析: 解答: B.75 C.75.5 D.76

茎叶图. 概率与统计. 根据中位数的概念和茎叶图中的数据,即可得到数据中的中位数 解:从茎叶图中可知 20 个数据排序后中间的两个数据为:75,76, =75.5.

所以中位数

故选:C. 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,以及中位数的求法,要注意在求中位数的过程中,要 把数据从小到大排好,才能确定中位数,同时要注意数据的个数.

4. (5 分)焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近方程为 y= A.2 B. C.

x,则双曲线的离心率为() D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意 = ,整理得:b =3a ,利用离心率的概念及计算公式即可求得答案. x
2 2

解答: 解:因为焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近方程为 y= 所以 =
2

,整理得:b =3a ,
2

2

2

所以 c =4a , 所以 e =
2

=4,

所以 e=2, 故选:A. 2 2 点评: 本题考查双曲线的几何性质,求得 b =3a 是关键,考查离心率的求法,是基本知识 的考查.

5. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y+1 的最大值为()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域, 由 z=2x+y+1,即 y=﹣2x﹣1+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x﹣1+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x﹣1+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,2) ,

代入目标函数 z=2x+y+1 得 z=2×2+2+1=7. 即目标函数 z=2x+y+1 的最大值为 7. 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 6. (5 分)执行如图程序框图,若输出的 S 值为 62,则判断框内为()

A.i≤4?

B.i≤5?

C.i≤6?

D.i≤7?

考点: 循环结构. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=62,i=6 时应该不满 足条件,退出循环,输出 S 的值为 62,则判断框内为:i≤5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 满足条件,S=2,i=2

满足条件,S=6,i=3 满足条件,S=14,i=4 满足条件,S=30,i=5 满足条件,S=62,i=6 由题意可知,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 62, 则判断框内为:i≤5, 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解 题的关键,属于基础题. 7. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=3,且 Sn+3﹣Sn=57,则 n=() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵Sn+3﹣Sn=57, ∴an+3+an+2+an+1=57, ∵数列{an}是等差数列, ∴3an+2=57, ∴an+2=19, ∵a1=1,公差 d=3, ∴1+3(n+1)=19, 解得 n=5. 故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 8. (5 分)将棱长为 1 的正方体截去若干个角后,得到某几何体的三视图,如图所示,它们都 是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得:该几何体是棱长为 1 的正方体截去两个角所得的组合体, 画出其直观图,并求出截去部分的体积,相减可得答案.

解答: 解:由已知中的三视图可得:该几何体是棱长为 1 的正方体截去两个角所得的组合 体, 其直观图如下图所示:

故组合体的体积 V=1﹣2( × ×1×1×1)= , 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 9. (5 分)小王参加网购后,快递员电话通知于本周五早上 7:30﹣8:30 送货到家,如果小 王这一天离开家的时间为早上 8:00﹣9:00,那么在他走之前拿到邮件的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设快递员到达的时间为 x,小王离家去工作的时间为 y,则(x,y)可以看成平面中 的点,根据几何概型概率公式得到结果. 解答: 解:设快递员到达的时间为 x,小王离家去工作的时间为 y, 则满足 记在他走之前拿到邮件的事件 A;则满足 x<y, 以横坐标表示报纸送到时间,以纵坐标表示小明爸爸离家时间,建立平面直角坐标系, 则对应区域的概率 P= 故选:D =1﹣ = ,

点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含 的事件所对应的区域求出,根据集合对应的图形面积,用面积的比值得到结果.

10. (5 分)已知点 P 为椭圆

+

=1 上一点,点 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,点 I 为

△ PF1F2 的内心,若△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1,则△ IF1F2 的面积为() A. B. C. 1 D.2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为 r,则 S1= mr,S2= nr,S3= ?2cr,求得椭 圆的 a,b,c,由题可得 r= = ,即可得到所求面积.

解答: 解:设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为 r, 设△ PIF1 和△ PIF2 及△ IF1F2 的面积分别为 S1,S2,S3, 则 S1= mr,S2= nr,S3= ?2cr,

椭圆

+

=1 的 a=2,b=

,c=

=1,

由椭圆定义可得 m+n=2a=4, 由△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1, 即有 S1+S2=1,即 r= = ,

即有 S3= ?2cr=cr=r= . 故选 B. 点评: 本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义的运用,考查运算能力, 属于中档题. 11. (5 分)已知四面体 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,球 O 的半径为 2,AB,AC, AD 两两垂直,AB= ,则四面体 ABCD 体积的最大值为() A. B. C. 2 D.2

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 2 2 分析: 设 AC=a,AD=b,则 a +b +2=16,利用基本不等式,可得 ab≤7,利用体积公式,即 可求出四面体 ABCD 体积的最大值. 2 2 2 2 解答: 解:设 AC=a,AD=b,则 a +b +2=16,∴a +b =14,∴14≥2ab, ∴ab≤7

∴四面体 ABCD 体积 V=

× ab≤

, ,

∴四面体 ABCD 体积的最大值为

故选:A. 点评: 本题考查四面体 ABCD 体积的最大值,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决 问题的能力,属于中 档题.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有三个互

不相等的零点 a、b、c,则 abc 的取值范围为() A.(2, ) B.(0,5) C.(6,10) D.(3,5)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先画出分段函数的图象,根据图象确定字母 a、b、c 的取值范围,最后数形结合写出 其取值范围即可 解答: 解:由 g(x)=f(x)﹣m=0 得 m=f(x) , 若函数 g(x)=f(x)﹣m 有三个互不相等的零点 a、b、c, 即等价为函数 y=f(x)与 y=m 有三个互不相同的交点, 作出函数 f(x)的图象如图: 当 x>3 时,f(x)= ≤ = ,

∵函数 f(x)=x+ 在(0,1]上递减,在上递增, ∴2≤f(x)≤ ,

∴若函数 y=f(x)与 y=m 有三个互不相同的交点, 则 2<m< 设 a<b<c, 由 f(x)=x+ = 解得 x= 或 x=3, 由 f(x)= =2,解得 x=5, , ,

则 <a<1,1<b<3,3<c<5,

当 0<x≤3 时,由 g(x)=f(x)﹣m=x+ ﹣m=

=0 得 x ﹣mx+1=0,

2

则 ab=1, 故 abc=c, 即 abc 的范围就是 c 的范围是(3,5) , 故选:D

点评: 本题考查了分段函数图象的画法及其应用,对数函数及一次函数图象的画法,数形 结合求参数的取值范围,画出分段函数图象并数形结合解决问题是解决本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 sin =﹣ ,8π<α<12π,则 tan = .

考点: 二倍角的正切. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知可得 π< 由倍角公式即可求 sin < , 2π< <3π, 由同角三角函数关系式即可求 sin . , cos ,

,cos

,由同角三角函数关系式即可求得 tan

解答: 解:∵8π<α<12π, ∴π< ∴cos ∴sin ∴cos < =﹣ =2sin =2cos
2

,2π<

<3π, =﹣ ,

cos

=2× = ,

=



﹣1=2×

∴tan

=

=



故答案为:



点评: 本题主要考查了倍角公式及同角三角函数关系式的应用,属于基本知识的考查.

14. (5 分)若正方形 ABCD 的边长为 3,

=2



=2

,则

?

=﹣6.

考点: 平面向量数量积的运算. 专 题: 平面向量及应用. 分析: 将所求利用正方形的各边表示,展开整理可得. 解答: 解:因为正方形 ABCD 的边长为 3, ( )= + =2 , =2 ,所以 ? =( )?

=0﹣3﹣3+ 0=﹣6;

故答案为:﹣6. 点评: 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用;关键是将所求用 正方形的各边对应的向量表示.
x

15. (5 分)定义在区间(a,a+2)上的奇函数 y=f(x) ,当 0<x<a+2 时,f(x)=﹣( ) + , 则 y 的取值范围是(﹣ ,0) .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的性质先求出 a,然后求函数的值域就可以了. 解答: 解:因为定义在区间(a,a+2)上的奇函数 y=f(x) , 所以 a+a+2=0, 解得:a=﹣1, ∴当 0<x<1 时,f(x)=﹣( ) + ∈(﹣ ,0) , 故答案为: (﹣ ,0) . 点评: 本题主要考查奇函数的性质,以及函数的单调性,属于基础题. 16. (5 分) 已知数列{an}满足 a1=a2=1, an+2=an+1+an (n∈N ) . 若存在正实数 λ 使得数列|an+1+λan| 为等比数列,则 λ= .
? x

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过变形可得 an+2+λan+1=(1+λ) (an+1+ an) ,只需 =λ,计算即得结论. an) ,

解答: 解:由题意可知:an+2+λan+1=(1+λ)an+1+an=(1+λ) (an+1+ ∴ =λ,解得:λ= 或 λ= (舍) ,

∵a1=a2=1,∴a3=2,

易验证当 n=1 时满足题意, 故答案为: .

点评: 本题考查等比数列的概念,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)如图,在△ ABC 中,D 为 AB 边上一点,DA=DC,已知 B= (Ⅰ)若△ ABC 是锐角三角形,DC= ,求角 A 的大小; ,BC=1.

(Ⅱ)若△ BCD 的面积为 ,求边 AB 的长.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ BCD 中,由正弦定理得到∠BDC,又由 DA=DC,即可得到∠A; (Ⅱ)由于△ BCD 面积为 ,得到 ?BC?BD?sin = ,得到 BD,再由余弦定理得到

CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos

,再由 DA=DC,即可得到边 AB 的长. ,BC=1,DC= , ,

解答: 解: (Ⅰ)在△ BCD 中,B= 由正弦定理得到:

解得 sin∠BDC=

=



则∠BDC=



.△ ABC 是锐角三角形,可得∠BDC= .



又由 DA=DC,则∠A= (Ⅱ)由于 B= 则 ?BC?BD?sin

,BC=1,△ BCD 面积为 , = ,解得 BD= .

再由余弦定理得到 CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos

=1+ ﹣2× 故 CD= ,

×

= ,

又由 AB=AD+BD=CD+BD= 故边 AB 的长为: .

+ ,

点评: 本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形,属于中档题. 18. (12 分)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课,访谈及随堂检测等活 动.他们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式:教师主讲的为 A 模式,少数学生参与 的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式,A、B、C 三类课的节数比例为 3:2:1. (Ⅰ)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B、C 统称为新课堂模式.根 据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联 表(单位:节) 高效非高效总计 新课堂模式 60 30 90 传统课堂模式40 50 90 总计 100 80 180 请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由. (Ⅱ)教育专家用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 12 节课作为样本进行研究,并 从样本中的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 2 节课,求 至少有一节课为 C 模式课堂的概率. 参考临界值表: P(K ≥k0) 0.10 k0 2.706 参考公式:K = 其中 n =a +b +c +d) . 考点: 独立性检验. 专题: 应用题;概率与统计. 2 分析: (Ⅰ)由列联表中的数据计算随机变量 k 的观测值,由临界值表中数据得出统计分 析; (Ⅱ)求出样本中 B、C 模式的课堂各有几节,用列举法计算基本事件数,求出对应的概率. 2 解答: 解: (Ⅰ)由列联表中的统计数据计算随机变量 k 的观测值为: ∵k =
2 2 2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.10 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

= 由临界值表 P(k ≥6.635)≈0.010,
2

=9>6.635

∴有 99%的把握认为课堂效率与教学模式有关; …(6 分) (Ⅱ)样本中的 B 模式课堂和 C 模式课堂分别是 4 节和 2 节, 分别记为 B1、B2、B3、B4、C1、C2,从中取出 2 节课共有 15 种情况: (C1,B1) , (C1,B2) , (C1,B3) , (C1,B4) , (C2,B1) , (C2,B2) , (C2,B3) , (C2,B4) , (C1,C2) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,B4) , (B2,B3) , (B2,B4) , (B3,B4) …(8 分) 至少有一节课为 C 模式课堂的事件为 (C1,B1) , (C1,B2) , (C1,B3) , (C1,B4) , (C2,B1) , (C2,B2) , (C2,B3) , (C2,B4) , (C1,C2)共 9 种; …(10 分) ∴至少有一节课为 C 模式课堂的概率为 P= = . …(12 分)

点评: 本题考查了 2×2 列联表的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题以及用列举 法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目. 19. (12 分) 如图, 在等腰梯形 CDFE 中, A, B 分别为底边 DF, CE 的中点, AD=2AB=2BC=2. 沿 AE 将△ AEF 折起,使二面角 F﹣AE﹣C 为直二面角,连接 CF、DF. (Ⅰ)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (Ⅱ)求点 D 到平面 ACF 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 证明 EF⊥EA; EF⊥AC; 推出平面 AEF⊥平面 AECD, 得到 AC⊥EF, AC⊥AE, 证明 AC⊥平面 AEF,然后证明平面 ACF⊥平面 AEF. (Ⅱ)点 D 到平面 ACF 的距离即三棱锥 D﹣ACF 的高,利用 VD﹣ACV=VV﹣ACD 求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)在等腰梯形 CSFE 中,由已知条件可得, CD=AC=AE=EF= ,AF=AD=2, 2 2 2 所以,AE +EF =AF ,∴EF⊥EA;同理可证,EF⊥AC;…(2 分) 在四棱锥 F﹣AECD 中, ∵二面角 F﹣AE﹣C 为直二面角, ∴平面 AEF⊥平面 AECD, ∴EF⊥平面 AECD,…(4 分) ∵AC?平面 AECD, ∴AC⊥EF,又∵AC⊥AE, ∴AC⊥平面 AEF, ∴平面 ACF⊥平面 AEF.…(6 分) (Ⅱ)点 D 到平面 ACF 的距离即三棱锥 D﹣ACF 的高, 所以 VD﹣ACV=VV﹣ACD 因为 AB=BC=1,所以 AC= …. (8 分) ,AF=2 且 AC⊥AF,

所以 S△ ACV= × 又因为 AC=CD= 所以 S△ ACD= 所以

=



且 AC⊥CD, , 即 …. (10 分)

d=1…. (12 分) 点评: 本题看直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理的应用,曹休墓距离的应用, 考查逻辑推理能力以及计算能力.

20. (12 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点

为 B,已知|AB|=

|F1F2|.

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ) 设过点 F1 且斜率为﹣1 的直线与椭圆交于第二象限的 P 点, 过 P、 B、 F1 三点的圆为⊙M. 是 否存在过原点的定直线 l 与⊙M 相切?并请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由|AB|= |F1F2|得,a +b =3c ,又 b =a ﹣c ,即可求椭圆的离心率;
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)确定 PB 为圆 M 的直径,假设过原点 O 的直线 l 的斜率为 k,则方程为 y=kx,利用 l 与圆 M 相切,求出 k,即可求出结论. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆右焦点 F2(c,0) . 由|AB|=
2 2

|F1F2|得,a +b =3c ,
2

2

2

2

又 b =a ﹣c , ∴ = ,∴椭圆的离心率为 e= …(3 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a =2c ,b =c ,设椭圆的方程为 ∵过点 F1 且斜率为﹣1 的直线与椭圆交于第二象限的 P 点, ∴由直线代入椭圆方程,解得 P(﹣ , ) ,

2

2

2

2

…(4 分)

又 F1(﹣c,0) ,B(0,c) ,…(6 分) ∴ ∴ =(﹣ , ) , ? =0, =(c,c) ,

∴PB 为圆 M 的直径, 即圆心 M(﹣ , ) ,半径 r= |PB|= ,…(10 分)

假设过原点 O 的直线 l 的斜率为 k,则方程为 y=kx, 若 l 与圆 M 相切,则 = ,整理得 k ﹣8k+1=0,
2

解得:k=4± ,…(11 分) ∴存在过原点的定直线 l,方程为:y=(4±

)x,与圆 M 相切.…(12 分)

点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣2) ,g(x)=e . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,且 l1,l2 的斜率互为倒数,试证 明:a=0 或 ﹣ <a<1﹣ (附:ln2=0.693)
x

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求导,再分类讨论,即可得到函数的单调区间; (Ⅱ)设过原点与函数 f(x) ,g(x)相切的直线分别为 l1:y=k1x,l2:y=k2x,根据导数的 几何意义先求 k1,k2,构造函数设 h(x)=lnx﹣1+ ﹣ ,利用导数求出函数的最值,再分类 讨论即可证明. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)= ﹣a= ,x>0,

①当 a≤0 时,对一切 x>0,恒有 f′(x)>0,f(x)的单增区间为(0,+∞) ; ②当 a>0 时,x∈(0, )时,f′(x)>0;x∈( ,+∞)时,f′(x)<0; . ∴f(x)的增区间为(0, ) ,减区间为( ,+∞) . (Ⅱ)设过原点与函数 f(x) ,g(x)相切的直线分别为 l1:y=k1x,l2:y=k2x, x2 切点分别为 A(x1,lnx1﹣ax1+2a) ,B(x2,e ) , x ∵g′(x)=e .

∴k2=e =

x2



∴x2=1,k2=e, ∴k1= , 又 f′(x)= ﹣a,

∴k1=

﹣a=

= ,

得 a=

﹣ ,并将它代入 ﹣ ,

= 中,

可得 lnx1﹣1+

设 h(x)=lnx﹣1+ ﹣ ,则 h′(x)= ﹣

=



∴h(x)在(0,2]上单减,在(2,+∞)上单增, 若 x1∈(0,2],∵h(1)=1﹣ >0,h(2)=ln2﹣ ≈0.693﹣ <0, ∴x1∈(1,2], 而 a= ﹣ ,在 x1∈(1,2)上单减,

∴ ﹣ <a<1﹣ , 若 x1∈(2,+∞) ,∵x1∈(2,+∞) ,h(x)在(2,+∞)上单增,且 h(e)=0,即 x1=e,得 a=0, 综上所述:a=0 或 ﹣ <a<1﹣ . 点评: 本题考查了导数和函数的单调性质最值的关系,以及导数的几何意义,关键是构造 函数,属于中档题. 四、选作题(三题中任选一题) (共 3 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为圆弧上一点,过点 C 作半圆的切线 CF, 过点 A 作 CF 的垂线,垂足为 D,AD 交半圆于点 E,连结 EC,BC,AC. (Ⅰ)证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)若 AB=3,DE= ,求△ ABC 的面积.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)证明∠BAC=∠CAD,即可证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)证明△ DCE∽△CAB,则 ,求出 BC,即可求△ ABC 的面积.

解答: (Ⅰ)证明:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA, 又因为∠CDA=∠BCA=90°,得∠BAC=∠CAD, 所以 AC 平分∠BAD;…(5 分) (Ⅱ)解:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA, 又因为∠CAD=∠CAB,所以∠DCE=∠CAB, 可得△ DCE∽△CAB,则 ,

又因为 EC=BC,AB=3,DE= , 所以 BC= ,即 S△ ABC .…(10 分)

点评: 本题考查弦切角定理,考查三角形相似的判定,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

23.已知曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 )=2.

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上的点的距离的最小值是此时点 P 的坐标. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)把椭圆的参数方程变形,然后平方作和求得普通方程,展开两角和的余弦, 代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得直线的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P( cosφ,sinφ) ,由点到直线的距离公式得到距离,利用三角函数的最值求得答 案. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得 ,两式平方作和得 ,

∴曲线 C1 的普通方程为 由 ρcos(θ+ 即 )=2,得

; , ,即 .

∴曲线 C2 的直角坐标方程为 ; (Ⅱ)设 P( cosφ,sinφ) ,由题意知,点 P 到直线 C2 距离为 = 当 φ=﹣ 时,d 取最小值 , ) . , ,

此时点 P(

点评: 本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程 ,训练了点到直线 的距离公式的应用,考查了三角函数最值的求法,是基础题. 24.已知函数 f(x)=|x+a|+2|x+1|. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求不等式 f(x)>5 的解集; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;不等式. 分析: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)>5 等价变形,可得结论; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,即为|x+a|+|x+1|>3a﹣7|恒成立,利用|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|, 求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)>5 可化为 或 或 ,…(3 分)

解得 x<﹣2 或 x> , ∴不等式 f(x)>5 的解集为{x|x<﹣2 或 x> }.…(5 分) (Ⅱ)原不等式即为|x+a|+|x+1|>3a﹣7|恒成立,

∵|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|,…(8 分) ∴|a﹣1|>3a﹣7,解得 a<3…(10 分) 点评: 本题考查绝对值不等式,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,比 较基础.



更多相关文章:
河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(文科)
(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分...
河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(文科)
(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分...
河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(理科)
(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分...
河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(理科)
(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分...
河北省唐山市2015年高考数学二模试卷(文科)【解析】
2015 年河北省唐山市高考数学二模试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x ﹣2x>0},则...
河北邯郸市2015年高三第二次模拟考试文科综合能力测试地理
河北邯郸市2015年高三第二次模拟考试文科综合能力测试地理_数学_高中教育_教育...能力测试地理 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题...
河北省邯郸市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
河北省邯郸市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。 邯郸市 2015 年高三二模数学(理)参考答案 一、选择题 1-5:BBCAD: 二...
天津市河北区2015届高考数学二模试卷(文科)
天津市河北2015届高考数学二模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。天津市河北2015 届高考数学二模试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有...
河北省石家庄市2015届高三数学二模试卷 文(含解析)
(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. -6- 2015 年河北省石家庄市高考数学二模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,...
更多相关标签:
河北省邯郸市    河北省邯郸市涉县    河北省邯郸市大名县    河北省邯郸市邮编    河北省邯郸市永年县    河北省邯郸市魏县    河北省邯郸市峰峰矿区    河北省邯郸市区号    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图