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江苏省2012届高三数学全真模拟卷卷12



江苏省 2012 届高三全真模拟卷数学卷 12
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3 x ? a ? 0 的解集为 (m,1) ,则实数 m= 2、若将复数 (1 ? i )(1 ? 2i )2 表示为 p ? qi ( p, q ? R, i 是虚数单位)的形式,则 p ? q = 3、已知命题 P :“ ?x ? R

, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”,请写出命题 P 的否定: 4、从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米) 数据绘制成频率分布直方图(如图) 由图中数据可知 a 。 = 。若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加 一项活动,则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为 。 5 、 设 向 量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , 其 中 .

?

?

? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ,若 | 2a ? b |?| a ? 2b | ,则 ? ? ? ?
2 2

.

6、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离之差是 _____________. 7、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? log 2 a2 n ?1 ? ______
8、已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? =1(5<a<10)的两个焦点,B 是短轴的一个端点,则 a 2 (10 ? a ) 2

△F1BF2 的面积的最大值是 9、 ? 、 ? 是两个不同的平面, m 、 n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ②? ⊥ ? ③n ⊥? ④ m ⊥?

以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: _____. .. 10、将正偶数集合 {2,4,6, ?从小到大按第 n 组有 2 个偶数进行分组如下: 第一组 第二组 第三组 ????
n

{2,4}

{6,8,10,12}

{14,16,18,20,22,24,26,28} ????

则 2010 位于第_______组。 11、设 a 为非零实数,偶函数 f ( x) ? x ? a x ? m ? 1( x ? R ) 在区间 (2,3) 上存在唯一零点,
2

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-1-

则实数 a 的取值范围是



12、方程 x ? 4 ? y 2 ? y ? 4 ? x 2 ? 0 所表示的曲线与直线 y ? x ? b 有交点,则实数 b 的 取值范围是 。

13、在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点。定义 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 两点之间的“直 角距离”为 d ( P, Q ) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。已知 B (1,1) ,点 M 为直线 x ? y ? 4 ? 0 上的动 点,则 d ( B, M ) 的最小值为
x



14、设函数 f ( x) ? x ?

1 ?1? , O 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 ? ? ? 2 ? x ?1 ???? ? ? n (n ? N * ) 的 点 , 向 量 OAn 与 向 量 i ? (1, 0) 的 夹 角 为 ? n , 则 满 足
tan ?1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? 5 的最大整数 n 的值为 3


二、解答题(90 分) 15(本题满分 14 分)
??? ? ???? 在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6.

(Ⅰ)求△ ABC 的三边的长; (Ⅱ)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC , BC , AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围. 16.本题满分 14 分) ( 如图, 棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2, ∠ABC=60°, 平面 AA1C1C⊥ 平面 ABCD,∠A1AC=60°。 (Ⅰ)证明:BD⊥AA1; (Ⅱ)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP//平面 DA1C1?若存在,求 出点 P 的位置;若不存在,说明理由。

17、 (本题满分 15 分)第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 8 分。 如图 1, OA , OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分别 是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA , OB 平行的栈桥 MG 、 MK ,且以 MG 、 MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台
用心 爱心 专心 -2-

MGK 。建立如图 2 所示的直角坐标系,测得线段 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) ,
曲线段 EF 的方程是 xy ? 200 (5 ? x ? 40) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) ,记 z ? s ? t 。 (题中所涉 及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度) (1)求 z 的取值范围; (2) 试写出三角形观光平台 MGK 面积 S ?MGK 关于 z 的函数解析式, 并求出该面积的最小值。

18、 (本题满分 15 分)已知圆 O : x ? y ? 8 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,
2 2

直线 l : x ? ?4 为准线的椭圆. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 M 是直线上的任意一点,以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点,求证:直 线 PQ 必过定点 E ,并求出点 E 的坐标。

19、 (本题满分 16 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分。 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q (q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差

用心 爱心 专心

-3-

中项;数列 ?bn ? 满足 2n 2 ? (t ? bn )n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

3 bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) 。 2

(2) 试确定实数的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3) 当数列 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个 新数列 ?cn ? 。设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm ?1 的所有正整数 m 。 20. (16 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx( x ? R ) 。
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

? 2) ( n ? N ) (3)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,求证: F (1) ? F ( 2) ? F ( n) ? (e 附加题 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题 卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相 交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于 点 F.求证:△PDF∽△POC.

n?1

n 2

?

B.选修 4-2 矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ?
1 ?2 ? ?. ?3 ?7 ?

(1)求逆矩阵 A?1 ;

? 3? (2)若矩阵 X 满足 AX ? ? ? ,试求矩阵 X. ?1?
C.选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1 :
? x ? 4t 2 , ? ? cos(? ? ) ? 2 2 与曲线 C2: ? (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. 4 ? y ? 4t

D.选修 4-5 不等式选讲

y + z ≥1+ 1+ 1 . 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + yz zx xy x y z
【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解
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答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1)3 ? ... ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N * ) (1)求 a0 及 S ? a ; ? i n
i ?1 n

(2) 试比较 S n 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

23.设顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线过点 P(2,4) ,过 P 作抛物线的动弦 PA,PB,并 设它们的斜率分别为 kPA,kPB. (1)求抛物线的方程; (2)若 kPA+kPB=0,求证直线 AB 的斜率为定值,并求出其值; (3)若 kPA·kPB=1,求证直线 AB 恒过定点,并求出其坐标. 参考答案 一、填空题

100 3 ? 1 1. ;2.8;3。 ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ;4。0.030 3;5。 ;6。 6 2 ;7。 n 2 ;8. ; 2 9 2
9. m?? , n?? , ??? ? m?n 或 m?n, m?? , n?? ? ??? ;10. 9 组; 11. ? ? 12. ? ?2 2, ?2 ? 13. 4 14.3

? 10 5 ? ,? ? 2? ? 3

?

?

二、解答题 15.解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a .
? bc cos A ? 9 4 4 3 (Ⅰ) ? ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , 3 5 5 ?bc sin A ? 12
?bc ? 15 ?b ? 3 sin B b 3 ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? ? sin C c 5 ?c ? 5 ? c?5 ?

????7 分

(Ⅱ) 2S△ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ?

12 1 ? (2 x ? y ) 5 5

?3x ? 4 y ≤ 12, ? 设 t ? 2x ? y , ? x ≥ 0, 由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8 . ? y ≥ 0, ?
12 ≤ x ? y ? z ≤ 4 .????13 分 5 16. 在 A1 作 A1O⊥AC 于点 O,由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,



由面面垂直的性质定理知,A1O⊥平面 ABCD,

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-5-

又底面为菱形,所以 AC⊥BD
由于BD ? AC ? ? BD ? 平面AA1O ? BD ? A1O ?? ? ? AA1 ? BD AA1 ? 平面AA1O ? ? A1 O ? AC ? 0?

????????6 分 (Ⅱ)存在这样的点 P,连接 B1C,因为 A1B1 // AB // DC ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形。∴A1D//B1C 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP 因 B1B // CC1, ∴BB1 // CP 则 BP//B1C ∴四边形 BB1CP 为平行四边形 ∴BP//A1D ∴BP//平面 DA1C1 ???14 分 ???8 分 ???12 分

17.解: (1)由题意,得 M ( s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) 上,即 s ? 2t ? 20 , 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5 ? s ? 10 -------------------2 分

1 1 z ? s ? t ? s (10 ? s ) ? ? ( s ? 10) 2 ? 50, 5 ? s ? 10 -------------------4 分 2 2 75 所以 z 的取值范围是 -------------------6 分 ? z ? 50 。 2 200 200 (2)由题意,得 K ( s, ), G ( , t) s t
所 以

S ?M
8分

G

1 1 2 0 0 2 0 0 ? K ? M G ? M (K ? ) ? s ( )? t ? ( 2 2 t s 2

1 s ? t s t

------------------4 0 0 ) ?

4 0 0 0 0

则 S ?MGK ?

1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50 ? ,-------------------10 分 2 z ?2 ?








S ?MGK ?

1 40000 (z ? ? 400) 2 z



? 75 ? z ? ? ,50 ? ?2 ?









-------------------12 分 所以当 z ? 50 时, 三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米-------------------14 分

x2 y 2 18.解: (1)设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,则: a b

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-6-

?a ? 2 2 ?a ? 2 2 x2 y 2 ? 2 ? ,从而: ? ,故 b ? 2 ,所以椭圆的标准方程为 ? ? 1。 ?a 8 4 ?4 ?c ? 2 ? ? ?c
(2)设 M (?4, m) ,则圆 K 方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ?
2

? ?

m? m2 ? ?4 ? 2? 4

2

与圆 O : x ? y ? 8 联
2 2

立消去 x , y 得 PQ 的方程为 4 x ? my ? 8 ? 0 ,
2 2 2

过定点 E ? ?2, 0 ?
4 2 2

19.解: (1)由题意 6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q ? 8 ? q ,解得 q ? 4 或 q ? 2 因为 q 为正整数,所以 q ? 2 , -------------------3 分

又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n (n ? N * ) -------------------6 分 (2)当 n ? 1 时, 2 ? (t ? b1 ) ?

3 b1 ? 0, 得 b1 ? 2t ? 4 , 2

同理: n ? 2 时,得 b2 ? 16 ? 4t ; n ? 3 时,得 b3 ? 12 ? 2t , 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 。-------------------8 分 而当 t ? 3 时, 2n 2 ? (3 ? bn )n ?

3 bn ? 0 ,得 bn ? 2n 。-------------------10 分 2

由 bn ?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列。-------------------12 分 (3)由题意知, c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,? 则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去;-------------------13 分 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立;-------------------14 分 当 m ? 3 时,若 cm ?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm ?1 ,不合题意,舍去;从而 cm ?1 必是数列 ?an ? 中的某一 项

ak ?1





Tm ? a1 ? 2 ? ? 2? a 2 ? ? ? ? ? a 3 ?2? ? ?2 ? ? ? ak ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 2 ? ? ? a 4 ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ?2 ?
b1个 b个 2 b个 3 bk 个

2

? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bk )

? 2(2k ? 1) ? 2 ?

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 -------------------16 分 2
k ?1

又 2cm ?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1 ,所以 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2
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-7-

即 2k ? k 2 ? k ? 1 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? k ? k ? k (k ? 1)
k 2

因为 2 ? 1 ( k ? N ) 为奇数,而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。
k * 2

即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm ?1

-------------------17 分

综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 。-------------------18 分

20.

(2)? f (| x |) 为偶函数,? f (| x |) ? 0 恒成立等价于 f ( x ) ? 0 对 x ? 0 恒成立

? ? 当 x ? 0 时, f ( x ) ? e ? k ,令 f ( x ) ? 0 ,解得 x ? ln k
x

(1)当 ln k ? 0 ,即 k ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ln k ) 减,在 (ln k ,?? ) 增

? f ( x )min ? f (ln k ) ? k ? kl ln k ? 0 ,解得 1 ? k ? e ,? 1 ? k ? e
? (2)当 ln k ? 0 ,即 0 ? k ? 1 时, f ( x ) ? e ? k ? 0 ,? f ( x ) 在 [0,?? ) 上单调递增,
x

? f ( x )min ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合,? 0 ? k ? 1
综上, 0 ? k ? e 。 (3) F ( x ) ? e ? e
x ?x

(10 分)

, F (1) ? e ? e ?1 , F ( n) ? e n ? e ? n

F (1) ? F ( n) ? e n ? 1 ? e ?1? n ? e 1? n ? e ?1? n ? e n ? 1 ? 2 F ( 2) ? F ( n ? 1) ? e n ? 1 ? e ?2 ? n ? e 2 ? n ? e ?1? n ? e n ? 1 ? 2
。。。 。。。
用心 爱心 专心 -8-

F ( n) ? F (1) ? e n ? 1 ? 2
? F (1)F ( 2)? F ( n) ? (e n ? 1 ? 2) 2 。
n

(16 分) 附加题

21.A.证明:因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. ???????????????????????3 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.??????????????????????10 分

?a B. (1)设 A?1 = ? ?c

b? ? a b ? ?1 ?2 ? ? a ? 3b ?2a ? 7b ? ?1 0 ? ? ,则 ? c d ? ?3 ?7 ? = ?c ? 3d ?2c ? 7 d ? = ?0 1 ? . d? ? ? ? ? ? ? ? ?

?a ? 3b ? 1, ?a ? 7, ??2a ? 7b ? 0, ?b ? ?2, ?7 ?2 ? ? ? ∴? 解得 ? ∴ A?1 = ? ? .--------6 分 ? 3 ?1? ?c ? 3d ? 0, ?c ? 3, ??2c ? 7 d ? 1. ?d ? ?1. ? ?
?7 ?2 ? ?3? ?19 ? (2) X ? ? ? ? ? ? ? ? .---------------10 分 ? 3 ?1? ?1? ? 8 ?
C.解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x 4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 . --------------6 分

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 -------8 分
??? ??? ? ? ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

-----------------------10 分

D.选修 4-5 不等式选讲 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ .-------------4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. -------------------7 分 x y z 1 1 1 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 ? ? ≥ ? ? . ---------- 10 分 yz zx xy x y z 22. (1)令 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ,令 x ? 2 , 则

?a
i ?0

n

i

? 3n ,∴ S n ? 3n ? 2n ;

----------------------3 分

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-9-

(2)要比较 S n 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,即比较: 3n 与 (n ? 1)2 ? 2n 的大小,
n 2 n 2

当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;当 n ? 2,3 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;
n n 2 n n 2



n ? 4,5





n 3n ? (n ? 1) 2 ? 2 2 n



-----------------------------------5 分 猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明:
n n 2

由上述过程可知, n ? 4 n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k (k ? 4) n ? k , (k ? 4) 时结论成立,即 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ,
n n 2

两边同乘以 3 得: 3 而

k ?1

? 3[(k ? 1)2k ? 2k 2 ] ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ? [(k ? 3)2 k ? 4k 2 ? 4k ? 2]

(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 2)2 k ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0
∴3
k ?1

? [(k ? 1) ? 1]2k ?1 ? 2(k ? 1) 2

即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n 成立.
n n 2

综上得,当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;
n n 2

当 n ? 2,3 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;当 n ? 4, n ? N 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n
n n 2 n n

?

2

--10 分

(23)依题意,可设所求抛物线的方程为 y =2px(p>0) , 2 2 因抛物线过点(2,4) ,故 4 =4p,p=4,抛物线方程为 y =8x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k PA ?

2

y1 ? 4 y1 ? 4 8 ? 2 ? , x1 ? 2 y1 y1 ? 4 ?2 8

同理 k PB ? ∵kPA+kPB=0, ∴

8 8 , k AB ? . y2 ? 4 y1 ? y2

8 8 8 8 + =0,∴ = ,y1+4= -y2-4,y1+y2= -8 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 ? 4 ? y2 ? 4

∴ k AB ? ?1 . 即直线 AB 的斜率恒为定值,且值为-1. (3)∵kPAkPB=1,∴

8 8 · =1,∴y1y2+4(y1+y2)-48=0. y1 ? 4 y2 ? 4

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- 10 -

直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

y2 8 ( x ? 1 ) ,即(y1+y2)y-y1y2=8x. y1 ? y2 8

将-y1y2=4(y1+y2)-48 代入上式得 (y1+y2)(y+4)=8(x+6),该直线恒过定点(-6,-4) ,命题得证.

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