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江苏省沭阳县高级中学2015-2016学年高二上学期数学期末复习综合练习(三)



江苏省沭阳中学高二数学期末复习综合练习(三) 班级___________________姓名_________________ 一、填空题 1 、 已 知 命 题 p : ? x1 , x2∈R , (f(x2) - f(x1))(x2 - x1)≥0 , 则 命 题 ? p 的 否 定 为 ______________________。? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1

))(x2-x1)≥0 2、抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程为_______________________。 y ? ?

1 16

3、已知 α :x≥a,β :|x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为 __________. (-∞,0] 4、设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列, 1 则 a1 的值为________.- 2

?y ? x ? 5、 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍, 则 a 的值是 ?x ? a ?
6、已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为_________________.18 7、 若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S9=-36, S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 8 、已知双曲线



1 4

. ?4 2

x2 y2 ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? ,两渐近线的夹角为 60? ,则双曲线的离心率为 2 a b

____________________ . 9 、 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n , 且 a1 ? 1 , an?1 ? 2S n , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 _______________. an ? ?

? 1, n ? 1 n?2 ?2 ? 3 , n ? 2
2

10 、 一 元 二 次 不 等 式 0 ? ax ? c ? 3 的 解 集 为 ?d , d ? 1? ? ?d ? 3, d ? 4? , 则 实 数

a ? _________________。 ? 1
???? ???? ? x2 y2 11、已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ⊥ PF2 . a b
若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________.3 12、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘心直径 40 mm ,满盘时直径 120 mm 。已知卫生纸的 厚度为 0.1mm ,则满盘时卫生纸的总长度大约____________ m (精确到 1m )。100

13 、 已知 x , y 满 足 _____________.20

1 2 3 x ?4? y ? 16 ? x 2 , 则 x ? y ? 10 的 最大 值 与最 小值 之和 为 4 4

14 、已知 ?an ? 为各项均为正整数的等差数列, a1 ? a27 ? 572,且存在正整数 m ,使得

a1 , a14 , am 成 等 比 数 列 , 则 所 有 满 足 条 件 的 ?an ? 中 , 公 差 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 为
_____________.21 二、解答题

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:方程 15、已知 m 为实常数.命题 p : 方程 2m m ? 6 x2 y2 ? ? 1表示双曲线. m ?1 m ?1
(1)若命题 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)若命题 q 为假命题,求 m 的取值范围; (3) 若命题 p 或 q 为真命题,且命题 p 且 q 为假命题,求 m 的取值范围.

?m ? 6 ? 0 ? 解: (1)据题意 ? 2m ? 0 ,解之得 0<m< 2 ; ? ?( m ? 6) ? 2m ?
故命题 p 为真命题时 m 的取值范围为 (0, 2); …………5 分 (2)若命题 q 为真命题,则 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 1 ,故命题 q 为假命题时 m 的 取值范围 (??, ?1] ? [1, ??) ;…………10 分

16、等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

解: (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

? a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 17、如图所示,直线 y=kx+b 与椭圆 +y =1 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S. 4

x2

2

(1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当 AB=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 解 (1)设点 A 的坐标为(x1,b),点 B 的坐标为(x2,b),
2 2

由 +y =1,解得 x1,2=±2 1-b , 4 1 2 2 2 所以 S= b|x1-x2|=2b 1-b ≤b +1-b =1. 2 当且仅当 b= 2 时,S 取到最大值 1. 2

x2

y=kx+b ? ? 2 (2)由?x 2 +y =1 ? 4 ?
2 2

得(4k +1)x +8kbx+4b -4=0,

2

2

2

Δ =16(4k -b +1).



AB= 1+k2|x1-x2|= 1+k2·
=2. 又因为 O 到 AB 的距离 d= 所以 b =k +1.
4 2 2 2

16?4k -b +1? 2 4k +1 ②

2

2

|b| 1+k
2

2S = =1,

AB



将③代入②并整理,得 4k -4k +1=0, 1 3 2 2 解得 k = ,b = ,代入①式检查,Δ >0. 2 2 故直线 AB 的方程是:y= 2 6 2 6 2 6 2 6 x+ 或 y= x- 或 y=- x+ 或 y=- x- . 2 2 2 2 2 2 2 2

18、已知某种稀有矿石的价值 y (单位:元)与其重量 ? (单位:克)的平方成正比,且 3 克 该种矿石的价值为 54000 元。 ⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位:克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1 : 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。 (注:价值损失的百分率 ? 略不计) 19、如图,椭圆 E :

原有价值 ? 现有价值 原有价值

?100% ;在切割过程中的重量损耗忽

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明:直 线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

解析:(I)由题意知

c 2 ? ,b ? 1, a 2

综合 a ? b ? c ,解得 a ?
2 2 2

2,

x2 ? y2 ? 1 . 所以,椭圆的方程为 2

(II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? 2k ? ? 2 ? k ? 4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

20、已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,在 a1 , a2 之间插入 1 个数,在 a2 , a3 之间插入 2 个数,在 a3 , a4 之间插入 3 个数,…,在 an , an?1 之间插入 n 个数,使得所有插入的数和原数列 ?an ?中的所有 项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 ?bn ?. (1)若 a4 ? 19,求 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 2S n ? ? ? bn ? ? (? , ? 为常数) ,求 ?an ? 的通项 公式. 20. 解: (1)设 {bn } 的公差为 d ,由题意:数列 {bn } 的前几项为:
b1 ? a1 ? 1, b2 , b3 ? a2 , b4 , b5 , b6 ? a3 , b7 , b8 , b9 , b10 ? a4 ? 19
a 4 为 {bn } 的第 10 项,则 b10 ? b1 ? 9d ,

……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

d ? 2 ,而 b1 ? 1 ,
故数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . (2)由 2Sn ? ? ? bn ? ? ( ? , ? 为常数) ,

得 2Sn ? ? ? (bn ? ? )2 ? bn 2 ? 2?bn ? ? 2 ,……① 当 n ? 1 得: 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? 2 ,……② 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? ? bn?12 ? 2?bn?1 ? ? 2 , ……③ ①-③得 2bn ? bn2 ? bn?12 ? 2? (bn ? bn?1 ) , 则 2bn ? d (bn ? bn ?1 ) ? 2? d ? d (2bn ? d ) ? 2? d , 若 d ? 0 ,则 bn ? b1 ? 1 ,代入④式,得 2 ? 0 ,不成立;

……7 分

……8 分 ……9 分 ……10 分

(法一)当 n ? 2 , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ? 常数……④恒成立,又 {bn } 为正项等差数列,
? 2 ? 2d ? 0, 1 当 d ? 0 时, bn 不为常数,则 ? 得 d ? 1, ? ? , 2 2 ?2? d ? d ? 0,

……11 分

代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法二) 2bn ? d (2bn ? d ) ? 2?d , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ,即 (2 ? 2d )[b1 ? (n ? 1)d ] ? 2? d ? d 2 , 则 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2? d ? d 2 对 n ≥2 恒成立,

? d ? 1, ?4d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) 2 ? 2 ?d ? d 2 , ? 令 n ? 2,3 ,得 ? 解得 ? 1 2 2 ?? , ?6d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 2 ?d ? d , ? ? 2

……11 分

【或者: 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2?d ? d 2 ? 常数,则 2d (1 ? d ) ? 0 ,得 d ? 1 ,

1 当 d ? 1 时,代入上式得 ? ? , 】 2
代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法三)由 2bn ? d (bn ? bn?1 ) ? 2? d (n ? 2) ,……④ 得 2bn?1 ? d (bn?1 ? bn?2 ) ? 2? d (n ? 3) ,……⑤

1 ④-⑤,得 2d ? 2d 2 , d ? 1 , 代入上式得 ? ? , 2
代入②式,得 ? ?

……11 分 ……12 分 ……13 分

1 . 4

所以等差数列 {bn } 的首项为 b1 ? 1 ,公差为 d ? 1 ,则 bn ? n .

设 {an } 中的第 n 项为数列 {bn } 中的第 k 项,则 a n 前面共有 {an } 的 n ?1项,又插入了

1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ?
故 an ? bk ? k ?

n(n ? 1) n2 ? n n(n ? 1) 项,则: k ? (n ? 1) ? …15 分 ?1 ? 2 2 2
……16 分

n2 ? n . 2

【说明】本题是原创题,考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推;考查一般与特殊思 想、转化与划归思想;考查运算能力;考查分析探究能力.



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