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高中数学核心知识点常考题型精析:集合(文)


高中数学
一、选择题 共 15 小题

心知识点常考题型精析
2 2

集合



1.已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0,集合{a,b}={a ,b },则 a+b= A.2 B .1 C .0 D.﹣1 2.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U A∪B = A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0 x 1} 3.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA= A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} 4.设集合 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则 M∩N 中元素的个数 A.2 B .3 C .5 D.7 5.设常数 a∈R,集合 A={x| x﹣1 x﹣a ≥0},B={x|x≥a﹣1},若 A∪B=R,则 a 的 值范围 A. ﹣∞,2 B. ﹣∞,2] C. 2,+∞ D.[2,+∞ 2 6.若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0} 中只有一个元素,则 a= A.4 B .2 C .0 D.0 或 4 2 7.若全集 U={x∈R|x ≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA B.{x∈R|0≤x 2|} C.{x∈R|0 x≤2|} D.{x∈R|0≤x≤2|} A.{x∈R|0 x 2|} 2 8. 已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0, x∈R }, B={x|0 x 5, x∈N }, 则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数 A.1 B .2 C .3 D.4 2 9.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2 0},B={x|﹣1 x 1},则 A.A?B B.B?A C.A=B D.A∩B=? 10.已知集合 M={1,2,3,4},N={﹣2,2}, 列结论成立的是 A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2} 11.若 P={x|x 1},Q={x|x>1},则 A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP 12.在集合{a,b,c,d} 定 两种运算⊕和?如

那 d? a⊕c A .a B .b C .c D.d 13.设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足

x∈S 时,有 x ∈S.给出如

2

个命题 ①若 m=1,则 S={1} ②

若 m=﹣ ,则 ≤n≤1 ③若 n= ,则﹣

≤m≤0. 中 确命题的个数是

A.0 B .1 C .2 D.3 14. 50 学生参加 、乙两 体育活动, 人至少参加了一 ,参加 生有 25 ,则仅参加了一 活动的学生人数 A.50 B.45 C.40 D.35 15.设 Ak=A1∪A2∪A3∪…An,n∈N ,设集合 Ak={y|y=
*

的学生有 30

,参加乙 的学

, ≤x≤1,k=2,3,…,2015},则

Ak=

A .?

B.[2,

]C.{2} D.[2,

]

二、填空题

共 13 小题

16.已知集合{a,b,c}={0,1,2}, 列 个关系 ① a≠2 ② b=2 ③ c≠0 有 只有一个 确, 则 100a+10b+c 等于 _________ . 17.已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则 ?UA ∩B= _________ . 18.已知集合 A={x∈R||x﹣1| 2},Z 整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的和等于 _________ . 19.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, A∪B=R,则实数 a 的 值范围是 _________ . 20.若规定 E={a1,a2…a10}的子集
1 kn﹣1

E 的第 k 个子集, 中 k=2

k1﹣1

+2

k2﹣1

+2

k3﹣

+…+2 .则 1 {a1,a3}是 E 的第 _________ 个子集 2 E 的第 211 个子集是 _________ . 21.对于平面 的点集 Ω,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω,则称 Ω 面 4 个点集的图形如 阴影区域及 边界 中 凸集的是 _________ 的序号 .

平面 的凸集,给出平 写出所有凸集相应图形

22.若 U={n|n 是小于 9 的 整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U A∪B = _________ . * 23. 设全集 U=A∪B={x∈N |lgx 1}, 若 A∩?UB={m|m=2n+1, n=0, 1, 2, 3, 4}, 则集合 B= _________ . 24.某班有 36 学参加数学、物理、化学课外探究小 , 学至多参加两个小 ,已知参加数学、 物理、化学小 的人数 别 26,15,13, 时参加数学和物理小 的有 6 人, 时参加物理和化学小 的有 4 人,则 时参加数学和化学小 的有 _________ 人. 25.某班共 30 人, 中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱 球运动,8 人对这两 运动都 喜爱,则喜爱 篮球运动但 喜爱 球运动的人数 _________ . 26.设集合 A={x|log2x 1},B={x| 0},则 A∩B= _________ .

27.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A k+1?A,那 称 k 是 A 的一个“孤立元”, 给定 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, S 的 3 个元素构成的所有集合中, 含“孤立元”的集合共有 _________ 个. 2 28.已知集合 A={x||x﹣a|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0}.若 A∩B=?,则实数 a 的 值范围是 _________ . 、解答题 共 2 小题 29.已知集合 Sn={X|X= x1,x2,…,xn ,xi∈{0,1},i=1,2,…,n} n≥2 对于 A= B= b1,b2,…bn, ∈Sn,定 A B 的差 A﹣B= |a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…,|an﹣bn| a1,a2,…an,,

A

B 之间的距离



n=5 时,设 A= 0,1,0,0,1 ,B= 1,1,1,0,0 ,求 d A,B 证明 ?A,B,C∈Sn,有 A﹣B∈Sn, d A﹣C,B﹣C =d A,B 证明 ?A,B,C∈Sn,d A,B ,d A,C ,d B,C 个数中至少有一个是偶数. 30.已知集合 A={x| x﹣2 x﹣3a﹣1 0},y=lg 的定 域 集合 B.

1 若 A=B,求实数 a 2 是否 在实数 a 使得 A∩B=?,若 在,则求出实数 a 的值,若

在,说明理 .

高中数学

心知识点常考题型精析
参考答案 试题解析

集合



一、选择题 共 15 小题 2 2 1.已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0,集合{a,b}={a ,b },则 a+b= B .1 C .0 A .2 考点 题 析 解答 集合的相等. 集合. 据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.
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D .﹣1

解 则

据集合相等的条件可知,若{a,b}={a ,b }, ①或 ②,

2

2

①得



点评

ab≠0, a≠0 b≠0,即 a=1,b=1, 时集合{1,1} 满足条件. 2 2 2 2 ②得,若 b=a ,a=b ,则两式相 得 a ﹣b =b﹣a,即 a﹣b a+b =﹣ a﹣b , 互异的复数 a,b, a﹣b≠0,即 a+b=﹣1, 故选 D. 本题 要考查集合相等的应用, 据集合相等得到元素相 是解决本题的关键,注意要进行 类讨论.

2.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U A∪B = A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} 考点 题 析 解答

D.{x|0

x

1}

点评

交、并、补集的混合运算. 集合. 先求 A∪B,再 据补集的定 求 CU A∪B . 解 A∪B={x|x≥1 或 x≤0}, CU A∪B ={x|0 x 1}, 故选 D. 本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法.
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3.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA= A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} 考点 题 析 解答 补集及 运算. 集合. 据全集 U 以及 A,求出 A 的补集即可. 解 全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6}, ?UA={2,4,7}. 故选 C. 题考查了补集及 运算,熟 掌握补集的定 是解本题的关键.
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D.{2,5,7}

点评

4.设集合 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则 M∩N 中元素的个数 B .3 C .5 A .2 考点 题 析 解答 集合中元素个数的最值 交集及 运算. 集合. 据 M N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可. 解 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7}, M∩N={1,2,6},即 M∩N 中元素的个数 3. 故选 B. 题考查了交集及 运算,熟 掌握交集的定 是解本题的关键.
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D .7

点评

5.设常数 a∈R,集合 A={x| x﹣1 x﹣a ≥0},B={x|x≥a﹣1},若 A∪B=R,则 a 的 值范围 A. ﹣∞,2 B. ﹣∞,2] C. 2,+∞ D.[2,+∞ 考点 题 析 并集及 运算 一元二 等式的解法. 等式的解法及应用 集合. a>1 时,代入解集中的 等式中,确定出 A,求出满足两集合的并集 R 时的 a 的范围 a=1 时,易 得 A=R, 符合题意 a 1 时, 求出集合 A, 列出关于 a 的 等式, 求出 等式的解集得到 a 的范围. 综 ,得到满足题意的 a 范围. 解 a>1 时,A= ﹣∞,1]∪[a,+∞ ,B=[a﹣1,+∞ , 若 A∪B=R,则 a﹣1≤1, 1 a≤2 a=1 时,易得 A=R, 时 A∪B=R a 1 时,A= ﹣∞,a]∪[1,+∞ ,B=[a﹣1,+∞ , 若 A∪B=R,则 a﹣1≤a,显然成立, a 1 综 ,a 的 值范围是 ﹣∞,2]. 故选 B. 题考查了并集及 运算,二 等式,以及 等式恒成立的条件,熟 掌握并集的定 是解本题的关键.
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解答

点评

6.若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0} 中只有一个元素,则 a= B .2 C .0 A .4 考点 题 析 解答

2

D .0 或 4

点评

元素 集合关系的判断. 集合. a 零时,方程 成立, 符合题意, a 等于零时,方程是一元二 方程只需判别式 零即可. 解 a=0 时,方程 1=0 成立, 满足条件 2 a≠0 时,△=a ﹣4a=0,解得 a=4 故选 A. 本题 要考查了元素 集合关系的判定,以及 的个数 判别式的关系,属于基础题.
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7.若全集 U={x∈R|x ≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA A.{x∈R|0 x 2|} B.{x∈R|0≤x 2|} C.{x∈R|0 考点 题 析 解答

2

x≤2|}

D.{x∈R|0≤x≤2|}

补集及 运算. 集合. 先一元二 等式的解法以及带绝对值 等式的解法求出全集 U 以及集合 A, 再结合补集的定 求出结论. 2 解 因 全集 U={x∈R|x ≤4}={x|﹣2≤x≤2}, |x+1|≤1?﹣1≤x+1≤1?﹣2≤x≤0,
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点评

集合 A={x∈R||x+1|≤1}={x|﹣2≤x≤0}, 所以 ?UA={x|0 x≤2}. 故选 C. 本题考查了一元二 等式的解法以及带绝对值 等式的解法,集合的交、并、补的运算,熟 掌握 等 式的解法是解决 题的关键.
2

8.已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0 B .2 A .1 考点 题 析 解答

x

5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数 C .3 D .4

点评

集合的包含关系判断及应用. 集合. 先求出集合 A,B A?C?B 可得满足条件的集合 C 有{1,2,},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}, 可求 解 题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, A?C?B, 满足条件的集合 C 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个, 故选 D. 本题 要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是 A?C?B 找出符合条件的集合.
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9.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2 0},B={x|﹣1 B.B?A A.A?B 考点 题 析 解答

2

x 1},则 C.A=B D.A∩B=?

集合的包含关系判断及应用. 集合. 先求出集合 A,然 据集合之间的关系可判断 解 题意可得,A={x|﹣1 x 2}, B={x|﹣1 x 1},
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在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素 一定在集合 B 中,例如 x= B?A. 故选 B. 本题 要考查了集合之间关系的判断,属于基础试题.

点评

10.已知集合 M={1,2,3,4},N={﹣2,2}, 列结论成立的是 B.M∪N=M A.N?M C.M∩N=N 考点 题 析 解答

D.M∩N={2}

点评

集合的包含关系判断及应用. 集合. M={1,2,3,4},N={﹣2,2},则可知,﹣2∈N,但是﹣2?M,则 N?M,M∪N={1,2,3,4,﹣2}≠M, M∩N={2}≠N, 而可判断. 解 A、 M={1,2,3,4},N={﹣2,2},可知﹣2∈N,但是﹣2?M,则 N?M,故 A 错误 B、M∪N={1,2,3,4,﹣2}≠M,故 B 错误 C、M∩N={2}≠N,故 C 错误 D、M∩N={2},故 D 确. 故选 D. 本题 要考查了集合的包含关系的判断,解题的关键是熟 掌握集合的基本运算.
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11.若 P={x|x A.P?Q

1},Q={x|x>1},则 B.Q?P

C.?RP?Q

D.Q??RP

考点 题 析 解答

集合的包含关系判断及应用. 集合.

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利用集合的补集的定 求出 P 的补集 利用子集的定 解 P={x|x 1}, CRP={x|x≥1}, Q={x|x>1},

判断出 Q?CRP.

点评

Q?CRP, 故选 D. 本题考查利用集合的交集、补集、并集定 求交集、补集、并集 利用集合包含关系的定 判断集合的包 含关系.

12.在集合{a,b,c,d} 定 两种运算⊕和?如

那 d? a⊕c A .a 考点 题 析 解答

B .b

C .c

D .d

点评

集合的含 . 新定 集合. 先计算 a⊕c 的结果,再计算 d? a⊕c 的值. 解 表可知 a⊕c =c, 故 d? a⊕c =d?c=a, 故选 A. 本题考查集合的含 , 确理解 2 种运算⊕和?,属于基础题.
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13.设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足 则 ≤n≤1 ③若 n= ,则﹣ A .0 考点 题 析 ≤m≤0. B .1

x∈S 时,有 x ∈S.给出如 中 确命题的个数是 C .2

2

个命题 ①若 m=1,则 S={1} ②若 m=﹣ ,

D .3

元素 集合关系的判断 集合的确定性、互异性、无序性. 集合. 据题中条件 “
2

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x∈S 时, 有 x ∈S”对 个命题一一进行验证即可 对于①m=1, 得

, ②





对于③若

,则

,最 解出

等式, 据解出的结果

四个命题的结论对照,即可

得出 确结果有几个.

解答

解 定 设非空集合 S={x|m≤x≤n}满足 x∈S 时,有 x ∈S 知,符合定 的参数 m 的值一定大于等于 1 2 2 或小于等于 0,惟如 才能保证 m∈S 时,有 m ∈S 即 m ≥m,符合条件的 n 的值一定大于等于 0,小于等于 2 2 1,惟如 才能保证 n∈S 时,有 n ∈S 即 n ≤n, 对各个命题进行判断 对于①m=1,m =1∈S 故必有
2

2

可得 n=1,S={1},

②m=﹣ ,m = ∈S 则

2

解之可得 ≤n≤1

对于③若 n= ,则

解之可得﹣

≤m≤0,

点评

所以 确命题有 3 个. 故选 D 本小题考查集合的运算及 等式和 等式 的解法.属于创新题,解答的关键是对新定 的概念的 确理 解,列出 等关系转化 等式 题解决. 的学生有 30 ,参加乙 的学生有 25

14. 50 学生参加 、乙两 体育活动, 人至少参加了一 ,参加 ,则仅参加了一 活动的学生人数 B.45 C.40 A.50 考点 题 析 解答

D.35

点评

集合的包含关系判断及应用. 集合. 据题意,结合交集 并集的元素数目的关系,C A +C B =C A∩B +C A∪B ,首先可求出两 活动都参加的人数,然 计算仅参加了一 活动的学生人数. 解 据题意,两 活动都参加的人数=30+25﹣50=5, 仅参加了一 活动的学生人数=50﹣5=45, 故选 B. 本题考查集合间的关系及元素数目的运算,注意两个集合的交集 并集的元素数目的关系.
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15.设 A .?

Ak=A1∪A2∪A3∪…An,n∈N ,设集合 Ak={y|y= B.

*

, ≤x≤1,k=2,3,…,2015},则 D.

Ak=

[2,

]

C.{2}

[2,

]

考点 题 析

并集及 运算. 探究型 函数的性质及应用
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集合. Ak,利用并集的运算求出即可.

据基本 等式和函数的单调性求出集合 Ak,再 题意表示出 解答 解 所以 因 , ≤x≤1,k=2,3,…,2015, = ≥2 =2,

仅 所以函数 y=

时,即

时 等号,

在[ ,1] 的最小值是 2, 在[ ,1] 单调递增, ,即集合 Ak=[2,
*

对号函数的单调性知,函数 y= 所以 x=1 时 到最大值 =

]

k≥2 ,



Ak=A1∪A2∪A3∪…An,n∈N ,

Ak={2},

所以

Ak=A1∪A2∪A3∪…A2015={2}∪[2,

]∪…∪[2,

]

=[2,

],

点评

故选 D. 本题是探究型的题目,考查基本 等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用,以及并集的运算.

二、填空题 共 13 小题 16. 已知集合{a, b, c}={0, 1, 2}, 等于 201 . 考点 题 析 解答

则 100a+10b+c 列 个关系 ① a≠2 ② b=2 ③ c≠0 有 只有一个 确,

点评

元素 集合关系的判断. 集合. 据集合相等的条件,列出 a、b、c 所有的 值情况,再判断是否符合条件,求出 a、b、c 的值 代入式子 求值. 解 {a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c 的 值有以 情况 a=0 时,b=1、c=2 或 b=2、c=1, 时 满足条件 a=1 时,b=0、c=2 或 b=2、c=0, 时 满足条件 a=2 时,b=1、c=0, 时 满足条件 a=2 时,b=0、c=1, 时满足条件 综 得,a=2、b=0、c=1,代入 100a+10b+c=201, 故答案 201. 本题考查了集合相等的条件的应用,以及 类讨论思想,注意列举时按一定的 序列举,做到 漏.
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17.已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则 ?UA ∩B= 考点 题 析 解答

{6,8} .

点评

交、并、补集的混合运算. 集合. 先求出集合 A 的补集,再利用交集的定 求 CUA ∩B 解 题意 U={2,3,6,8},集合 A={2,3}, CUA={6,8}, 又 B={2,6,8}, 故 CUA ∩B={6,8} 故答案 {6,8}. 本题考查交、并、补集的混合运算, 确解答本题关键是掌握并理解补集 交集的定 ,并能 据所给的 规则进行 确运算.
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18.已知集合 A={x∈R||x﹣1| 2},Z 考点 题 析 解答

整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的和等于 3 .

点评

交集及 运算. 集合. 先 据绝对值 等式求出集合 A, 然 据交集的定 求出 A∩Z, 最 求出集合 A∩Z 中所有元素的和即可. 解 A={x∈R||x﹣1| 2}={x|﹣1 x 3}, 而 Z 整数集,集合 A∩Z={0,1,2}, 故集合 A∩Z 中所有元素的和等于 0+1+2=3, 故答案 3. 本题属于以绝对值 等式 依托,求集合的交集的基础题, 时考查了集合中元素的和.
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19.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 考点 题 析 解答

A∪B=R,则实数 a 的 值范围是

a≤1 .

集合关系中的参数 值 题. 集合. 利用数轴,在数轴 画出集合,数形结合求得两集合的并集. 解 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, A∪B=R,如图,故 a≤1 时,命题成立. 故答案 a≤1.
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点评

本题属于以数轴

,求集合的并集的基础题, 是高考常会考的题型. E 的第 k 个子集, 中 k=2
k1﹣1 k2﹣1 k3﹣1

20. 若规定 E={a1, a2…a10}的子集 1 {a1,a3}是 E 的第 5 个子集 2 E 的第 211 个子集是 {a1,a2,a5,a7,a8} . 考点 题 析 子集 真子集. 集合.
k1﹣1

+2

+2

+…+2

kn﹣1

. 则

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解答

点评

1 k=2 +2 +2 +…+2 到启发, 据集合元素的特征,将 用二进制表示出来,0 出 现,1 出现,进而可得答案 2 十进制 211 等于二进制 11010011,将 对应的集合写出即可. 解 1 {a1,a3}={a3,a1}化成二进制 101 0 出现,1 出现 , 这 a3 出现,a2 出现,a1 出现,所以是 101 二进制的 101 等于十进制 5,故第一个空填 5 故答案 5. 2 十进制 211 等于二进制 11010011, 即对应集合{a8,a7,a5,a2,a1}, 又 {a8,a7,a5,a2,a1}={a1,a2,a5,a7,a8} 故第二空填{a1,a2,a5,a7,a8}. 故答案 {a1,a2,a5,a7,a8}. 本题是转化思想的 型题目,注意 题目的条件中寻找突破点,进而结合题意解题,解题中,特别注意 原题的验证. 4个

k2﹣1

k3﹣1

kn﹣1

21.对于平面 的点集 Ω,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω,则称 Ω 平面 的凸集,给出平面 点集的图形如 阴影区域及 边界 中 凸集的是 ②③ 写出所有凸集相应图形的序号 .

考点 题 析 解答

点评

元素 集合关系的判断. 新定 集合. 凸集的定 ,可 一些线段试一 ,若有 在图形内部的点即可排除. 解 ①中 最 边的点和最右边的点的连线, 在集合中,故 凸集 ④中 两圆的公 线, 在集合中,故 凸集 ②③显然符合. 故答案 ②③. 本题 新定 题, 确理解定 是解决 题的关键,难度 大.
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22.若 U={n|n 是小于 9 的 整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U A∪B = {2,4,8} . 考点 题 析 解答 全集及 运算 补集及 运算. 集合.

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点评

先求出满足条件的全集 U,进而求出满足条件的集合 A 集合 B,求出 A∪B ,易 据全集 U 求出?U A∪B . 解 U={n|n 是小于 9 的 整数}, U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 则 A={1,3,5,7},B={3,6,9}, 所以 A∪B={1,3,5,7,9}, 所以?U A∪B ={2,4,8}. 本题考查的知识点是并集运算和补集运算,运算的关键是准确列举出满足条件的集合.
*

23.设全集 U=A∪B={x∈N |lgx 考点 题 析 解答

1},若 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B= {2,4,6,8} .

点评

交、并、补集的混合运算 集合的包含关系判断及应用. 集合. 解对数 等式得全集,结合 A∩?UB 得集合?UB, 而求得 B. * * 解 U=A∪B={x∈N |lgx 1}={x∈N |x 10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 又 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9}, ?UB={1,3,5,7,9}, B={2,4,6,8}, 故填 {2,4,6,8}. 题属于以 等式 依托,考查集合的交集、补集的基础题, 是高考常会考的题型.
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24.某班有 36 学参加数学、物理、化学课外探究小 , 学至多参加两个小 ,已知参加数学、物理、 化学小 的人数 别 26,15,13, 时参加数学和物理小 的有 6 人, 时参加物理和化学小 的有 4 人,则 时参加数学和化学小 的有 8 人.

考点 题 析 解答

Venn 图表达集合的关系及运算. 集合. 画出表示参加数学、物理、化学课外探究小 集合的 Venn 图,结合图形进行 析求解即可. 解 条件知, 学至多参加两个小 , 故 可能出现一 学 时参加数学、物理、化学课外探究小 , 设参加数学、物理、化学小 的人数构成的集合 别 A,B,C, 则 card A∩B∩C =0,card A∩B =6,card B∩C =4, 公式 card A∪B∪C =card A +card B +card C ﹣card A∩B ﹣card A∩C ﹣card B∩C 知 36=26+15+13﹣6﹣4﹣card A∩C 故 card A∩C =8 即 时参加数学和化学小 的有 8 人. 故答案 8.
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点评

本小题 要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化 转化思想.属于基础题. 球运动,8 人对这两 运动都 喜爱,则喜爱篮球运动

25.某班共 30 人, 中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱 但 喜爱 球运动的人数 12 . 考点 题 析

解答

点评

交、并、补集的混合运算. 应用题 集合. 设两者都喜 的人数 x 人,则只喜爱篮球的有 15﹣x 人,只喜爱 球的有 10﹣x 人, 可得 15﹣x + 10﹣x +x+8=30,解之即可两者都喜 的人数,然 即可得出喜爱篮球运动但 喜爱 球 运动的人数. 解 设两者都喜 的人数 x 人,则只喜爱篮球的有 15﹣x 人,只喜爱 球的有 10﹣x 人, 可得 15﹣x + 10﹣x +x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数 12 人, 故答案 12. 本题考查了集合的混合运算,属于应用题,关键是运用集合的知识求解实际 题.
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26.设集合 A={x|log2x 1},B={x|

0},则 A∩B= {x|0

x

1} .

考点 题 析

解答

交集及 运算 对数函数的定 域. 集合. 2 把集合 A 中的 1 log2 ,然 利用对数函数的定 域和对数函数 增函数即可求出 x 的范围即可得到集 合A 集合 B 中的 等式得到 x﹣1 x+2 异号,列出 等式求出解集即可得到集合 B,然 求出 A B 的交集即可. 2 解 已知,集合 A 中的 等式 log2x 1=log2 , 2>1 得到对数函数 增函数及对数函数的定 域 x
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>0 得到 0

x 2 而集合 B 中的 等式

0 可化 x 1}.



,解得﹣2 x 1,

则 A={x|0 x 2},B={x|﹣2 故答案 {x|0 x 1}. 点评

x 1},所以 A∩B={x|0

本题考查学生会求对数函数的定 域以及灵活运用对数函数的增 性解决实际 等式 x﹣a x﹣b 0 解,掌握交集的定 并会进行交集的运算.

题,理解 等式

0

27. 设 A 是整数集的一个非空子集, 对于 k∈A, 如果 k﹣1?A k+1?A, 那 称 k 是 A 的一个“孤立元”, 给定 S={1, 2,3,4,5,6,7,8}, S 的 3 个元素构成的所有集合中, 含“孤立元”的集合共有 6 个. 考点 题 析 解答 元素 集合关系的判断. 新定 集合. 列举几个特殊的集合体会孤立元的意 是解本题的关键. 解 依题意可知,没有 之相邻的元素是“孤立元”,因而无“孤立元”是指在集合中有 k 相邻的元素. 因 ,符合题意的集合是 {1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共 6 个. 故答案 6. 本题 要考查阅读 理解、信息迁移以及学生的学 潜力,考查学生 析 题和解决 题的能力.属于创 新题型.列举时要有一定的规律,可以 一端开始,做到 漏.
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点评

28.已知集合 A={x||x﹣a|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0}.若 A∩B=?,则实数 a 的 值范围是 考点 题 析 解答 空集的定 、性质及运算 集合的包含关系判断及应用. 集合. 化简 A B 两个集合,A∩B=?,本题 用 类, 形式可以看出,A 小就可以求出参数的范围了 解 集合 A={x||x﹣a|≤1}={x|a﹣1≤x≤a+1}, 2 B={x|x ﹣5x+4≥0}={x|x≥4 或 x≤1}. 又 A∩B=?,
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2

2,3



是空集,

,比较两个端点的大

, 解得 2 a 3, 即实数 a 的 值范围是 2,3 . 故应填 2,3 . 考查集合之间的关系,通过数轴进行集合包含关系的运算,要注意端点的“开 ”.

点评

、解答题 共 2 小题 29.已知集合 Sn={X|X= x1,x2,…,xn ,xi∈{0,1},i=1,2,…,n} n≥2 对于 A= b2,…bn, ∈Sn,定 A B 的差 A﹣B= |a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…,|an﹣bn| A B 之间的距离 .

a1,a2,…an,,B= b1,

n=5 时,设 A= 0,1,0,0,1 ,B= 1,1,1,0,0 ,求 d A,B 证明 ?A,B,C∈Sn,有 A﹣B∈Sn, d A﹣C,B﹣C =d A,B 证明 ?A,B,C∈Sn,d A,B ,d A,C ,d B,C 个数中至少有一个是偶数.

考点 题 析

交、并、补集的混合运算 子集 交集、并集运算的转换. 证明题 综合题 压轴题 集合. 题意中的定 和集合 A、 B 求出 A﹣B, 再 求出 d A,B A

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B 之间的距离公式



解答

据题意设出集合 A、B、C,则 ai,bi,ci∈{0,1} i=1,2,n ,故得 A﹣B∈Sn,再 ci=0 和 ci=1 两种情况求出 d A﹣C,B﹣C 和 d A,B 据题意设出集合 A、B、C,再 据 的结论,表示出 d A,B ,d A,C ,d B,C ,再 据集合的元素 “0,1”,确定所求 个数中至少有一个是偶数. 解 题意得,A﹣B= |0﹣1|,|1﹣1|,|0﹣1|,|0﹣0|,|1﹣0| = 1,0,1,0,1 , d A,B =|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|=3 证明 设 A= a1,a2,…,an ,B= b1,b2,…,bn ,C= c1,c2,…,cn ∈Sn 因 ai,bi∈{0,1},所以|ai﹣bi|∈{0,1} i=1,2,n 而 A﹣B= |a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…,|an﹣bn| ∈Sn 题意知 ai,bi,ci∈{0,1} i=1,2,n ci=0 时,||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi| ci=1 时,||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=| 1﹣ai ﹣ 1﹣bi |=|ai﹣bi| 所以 证明 设 A= a1,a2,…,an ,B= b1,b2,…,bn ,C= d A,B =k,d A,C =l,d B,C =h, 记 0= 0,0,…,0 ∈Sn, c1,c2,…,cn ∈Sn,

可知



|ai﹣bi|∈{0,1},

=k,

点评

所以|bi﹣ai| i=1,2,n 中 1 的个数 k,|ci﹣ai| i=1,2,n 中 1 的个数 l, 设 t 是使|bi﹣ai|=|ci﹣ai|=1 成立的 i 的个数.则 h=l+k﹣2t, 可知,k,l,h 个数 可能都是奇数, 即 d A,B ,d A,C ,d B,C 个数中至少有一个是偶数. 本题考查了利用新定 和集合的运算性质综合应用的能力,属于高难度题,需要认真审题,抓住新定 的 本质.

30.已知集合 A={x| x﹣2

x﹣3a﹣1

0},y=lg

的定 域 集合 B.

1 若 A=B,求实数 a 2 是否 在实数 a 使得 A∩B=?,若 在,则求出实数 a 的值,若 考点 题 析 函数的定 域及 求法 交集及 运算. 函数的性质及应用 集合. 1 集合 B 非空得出 a≠1, 对 3a+1

在,说明理 .

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2 的大小比较, 可 ①

时, ②

时, ③

时 3 种情况,利用 A=B 求得 a 的值

2 解答 解 ① 1

第 1 的 种情况,化简集合 A,再 条件 A∩B=φ 求得 a 的范围. 于函数的定 域是非空数集,故 a≠1. 时,A= 2,3a+1 ,B= 2a,a +1 ,
2

A=B 可得



方程 无解 ② 时,A=φ,A=B 可能

③ a=﹣1. 2 ① 又 ② ③ 又

时,A=

3a+1,2 ,B= 2a,a +1 ,

2

A=B 可得



时,A= 2,3a+1 ,B= 2a,a +1 , ,则 时,A=φ,则 A∩B=φ,符合题意 时,A= 3a+1,2 ,B= 2a,a +1 , .
2

2

A∩B=φ 可得 3a+1≤2a 或 a +1≤2,

2

A∩B=φ 可得 2≤2a 或 a +1≤3a+1,

2

,则

点评

a∈[0,1 时,A∩B=φ. . 本题 要考查函数的定 域的求法, 时考查集合 集合之间的关系,对于含有 母的函数定 域的求法, 通常要讨论.


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