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2014高考调研理科数学课本讲解



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选修 4-1 第 1 课时

几证选 何明讲

相三形判及关质 似角的定有性

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2013?考纲下载
理解相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理,证明直角 三角形射影定理.

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请注意!
此部分多和圆的有关知识,结合考查.

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1.平 线 分 段 理 行等线定 如一 果组 线截的段等那在 平行线 在 一条 直 上 得 线 相 , 么

其直上得线也等 他线截的段相. 推 1: 过 角 一 的 点 另 边 行 直 必 论 经三形边中与一平的线

平分 第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分 另一腰.
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2.平 线 线 成 例 理 行分段比定 三平线两直,得 条行截条线所的

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对应 线段成比例.

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成 比例 . 3.相似三角形的判定 判定定理1:两对应角 相等 ,两三角形相似. 判定定理2:两边对应成比例 且夹角 相等 ,两三角形相 似. 判定定理3:三边对应成比例 ,两三角形相似.
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4.直角三角形相似的判定 定理1:如果两个直角三角形有一个 锐 角对应相等,那么 它们相似. 定理2:如果两个直角三角形的两条 直角 边对应成比例 , 那么它们相似. 定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个三角形的 斜边 和一条 直角边 对应成比例,那么这两个直角 三角形相似.

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5.相 三 形 性 定 似角的质理 1 相三形应的、应线比对角分 ( 似角对高比对中的和应平线 ) 的都于 比等

相似 比;

(2)相似三角形周长的比等于 相似 比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的 平方 ;

(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似 比,外 接圆的面积比等于相似比的 平方 .

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6.直角三角形的射影定理和逆定理 (1)定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影 的比例 中项 ;两直角边分别是它们在斜边上 射影 与 斜边 的 比例中项. (2)逆定理:如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边 上的射影的 比例中项 ,那么这个三角形是直角三角形.

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1. 三 形 边 的 分 为 若角三上高别 6、4、3,则 a∶b∶c= A.1∶2∶3 C.2∶3∶4
答案 C

a、b、c, 三 长 别 这边分为 ( B.6∶4∶3 D.3∶4∶6 )

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解析 由三角形面积公式: 1 1 1 ×6a= ×4b= ×3c,∴6a=4b=3c. 2 2 2 k k k 设 3c=k,则 a=6,b=4,c=3. k k k ∴a∶b∶c=6∶4∶3=2∶3∶4.

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2.如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,DE∥ AD BC,且 =2,那么△AE D DB 与四边形 DC BE 的面积比是( )

2 A.3 4 C.5

2 B.5 4 D.9
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答案

C

解析

AD AD 2 ∵ =2,∴ = . DB AB 3 4 =5.

S△A S△A 4 D E D E 故 = ,∴ S△ABC 9 S四边形D B C E

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3.如图, 在△ABC 中,AE=ED=DC,FE∥MD∥BC,FD 的延长线交 BC 的延长线于点 N,且 EF=1,则 BN=( )

A.2 C.4

B.3 D.6

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答案

C

解析 ∵FE∥MD∥BC,AE=ED=DC, EF AE 1 EF ED 1 ∴ = = , = = . BC AC 3 CN DC 1 EF EF 1 ∴EF=CN,∴BN= = . BC+CN 4 ∴BN=4EF=4. (或由△FDE≌△NDC?EF=CN).

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4.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,CD⊥AB 于 D,已知 AC= 4,AD=2,则 BD 的长是________.
答案 6

解析

由直角三角形射影定理,得 AC2=AD· AB.

AC2 42 ∴AB= = =8,∴BD=AB-AD=8-2=6. AD 2

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5.(2012· 北京理)如图,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则 ( )

A.CE· CB=AD· DB B.CE· CB=AD· AB C.AD· AB=CD2 D.CE· EB=CD2
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答案

A

解析

在直角三角形 ABC 中, 根据直角三角形射影定理可

得 CD2 =AD· DB,再根据切割线定理可得 CD2 =CE· CB.所以 CE· CB=AD· DB.

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例 1 1 如图 AD 是△ABC 的中线, 是 CA 边 三 分 , ( ) E 的等点 BE 交 AD 于点 F,则 AF∶FD 为 ( )

A.2∶1 C.4∶1

B.3∶1 D.5∶1

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【解析】 要求 AF∶FD 的比,需要添加平行线寻找与之相 等的比.注意到 D 是 BC 的中点,可过 D 作 DG∥AC 交 BE 于 1 1 G,则 DG= EC.又 AE=2EC,故 AF∶FD=AE∶DG=2EC∶ 2 2 EC=4∶1.
【答案】 C

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2 如右图,DE∥BC,DF∥AC,AD=4 ( ) c m DE=5 c m ,则线段 BF 的长为

,BD=8 c m ( )



A.5 c m C.9 c m

B.8 c m D.1 c 0 m

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【解析】 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形 DECF 是平行四边形. BF BD ∴FC=DE=5 cm.∵DF∥AC,∴ = . FC DA BF 8 即 5 =4,∴BF=10 cm.
【答案】 D

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探究 1

本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用. 解

题关键是通过作辅助线, 发现其中的平行关系进行推理求解. 另 外,本题还可以过 D 点作 BE 的平行线进行推理求解.

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思考题 1

如右图,已知 M、N 分别是?ABCD 的边 AB、

边 CD 的中点,CM 交 BD 于点 E,AN 交 BD 于点 F.请你探讨 BE、EF、FD 三条线段之间的关系,并给出证明.

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【思路】 在△CDE 中,N 是边 CD 的中点,只要证明 NF ∥CE,即可由推论 1 得 DF=EF.同理可得 BE=EF,由此得出 三者之间的关系.

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【解析】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,M、N 分别是边 AB、CD 的中点, ∴四边形 AMCN 是平行四边形. ∵在△CDE 中,N 是 CD 的中点,且 FN∥CE, ∴F 是 DE 的中点,即 DF=EF. 同理在△ABF 中,M 是 AB 的中点,且 AF∥MC, ∴E 是 BF 的中点,即 EF=BE. 故 BE=EF=DF.

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例 2 1 如图,BD、CE 是△ABC 的高.求证:△ADE∽ ( ) △ABC.

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【思路】 由于△ADE 与△ABC 有一公共顶点 A,可根据 “对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相 似.”去证明.

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【证明】

∵BD、CE 是△ABC 的高,

∴∠AEC=∠ADB=90° . 又∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB. AD AE AD AB ∴ = ,从而 = . AB AC AE AC 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.

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2 22 ( (1 ) 0·

苏北四市调研)如 , 图在

△ABC 中,D 是 AC 中点, S△F B E
D F C E

E 是 BD 三等分点,AE 的延长线交 BC 于 F,求 S四 边 形

的值.

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【析 解】

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BF BE 1 过 D 点 DM∥AF 交 BC 于点 M,则BM=BD=3. 作 S△BEF 1 ∵EF∥DM,∴ = ,即 S△BDM=9S△BEF. S△BDM 9

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∵D 是 AC 的中点,DM∥AF, BM 3 ∴FM=MC,∴MC=2. S△D 2 2 M C ∴ = ,即 S△D = S△B =6S△F . M C M B E 3 3 D S△B D M ∴S 四 边 形
D E F C

=14S△F ,∴ B E S四 边 形

S△F B E
D F C E

1 = . 14

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探 究 2 1 判两三形似注结图性灵 ( 定个角相要意合形质活 ) 选判定. 择定理 相三形判 似角的定 定可要时到先两三形 理能同用,证个角

相,此铺,证两三形似 似以作垫再另个角相. 2 相三形质作 ( 似角性的用 ) ①可 来 明 段 比 、 相 ; 用证线成例角等 ②可 接 明 段 等 间证线相; ③为 算 段 度 角 大 创 条 ; 计线长及的小造件 ④可 算 长 特 线 长 . 计周、征段等
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思考题 2 1 △ABC 是一块锐角三角形材料,边 BC=12 ( ) cm,高 AD=8 c m ,把加成方零,正形一 要它工正形件使方的 AB、AC 上 求 个 方 ,这正形

边在 BC 上 其 两 顶 分 在 ,余个点别 的边长.

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【解析】

如 ,正 形 图设 方

PM QN

为加工成的正方形零件.△ABC 的

高 AD 与边 PN 相交于点 E,设正方形的边长为 xc. m

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∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC. 8-x x AE PN ∴AD=BC,即 8 =12, 解得 x=4 c.) m ( 8 .

答:加工成的正方形零件的边长为 c 8 m 4 .

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2 已如图 方 ( 知右, 形 ) 正

AC BD

的边长为 4, 为 AB 上的点, P ( )

且 AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,则 PQ 的长为

A.1 3 C.2

5 B.4 D. 2
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【解析】 ∵PQ⊥PC, ∴∠APQ+∠BPC=90° . ∴∠AQP=∠BPC. ∴Rt△APQ∽Rt△PBC. AP AQ ∴BC= BP . ∵AB=4,AP∶PB=1∶3, AP· BP 1×3 3 ∴PB=3,AP=1,∴AQ= BC = 4 =4. ∴PQ= AQ +AP =
2 2

9 5 16+1=4.
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【答案】 B
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例 3 1 如,知正形 ( 图已在方 )

AC BD

中,O 为 AB 的中点,

1 E 为 AD 上一点,且 AE=4AD,OK⊥EC.求证:OK2=KE· KC.

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【思路】 根据欲证式子的结构特征及题设,若能证得∠ COE=90° ,则结论可证.
【证明】

连接 OE、OC.

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1 1 方法一 ∵AE=4AD,OA=OB=2AD,BC=AB=AD,∴ AE OA 1 OB=BC =2. 又∵∠A=∠B=90° , ∴△EAO∽△OBC,∴∠AEO=∠BOC. 又∵∠AEO+∠AOE=90° , ∴∠AOE+∠BOC=90° ,∴∠EOC=90° . 在 Rt△EOC 中,∵OK⊥EC, ∴OK2=KE· KC(射影定理).
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方二 法

设 AB=BC=4a,由题意,AE=a,

OA=OB=2a,ED=3a.∴OE2=a2+(2a)2=5a2, OC2=OB2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2, EC2=ED2+CD2=(3a)2+(4a)2=25a2. ∴OE2+OC2=EC2. ∴△EOC 是直角三角形. 又∵OK⊥EC,∴OK2=KE· KC.

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2 如右图,BD、CE 分别是△ABC 的 边 的 , ( ) 两 上 高过 DG⊥BC 于 G,分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H.

D作

求证:①DG2=BG· CG; ②BG· CG=GF· GH.

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【证明】

①DG 为 Rt△BCD 斜边上的高,

∴由射影定理,得 DG2=BG· CG. ②∵DG⊥BC,∴∠ABC+∠H=90° . ∵CE⊥AB,∴∠ABC+∠ECB=90° . ∴∠ABC+∠H=∠ABC+∠ECB. ∴∠H=∠ECB. 又∵∠HGB=∠FGC=90° , ∴Rt△HBG∽Rt△CFG. BG GH ∴ = ,∴BG· CG=GF· GH. GF GC
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探究 3 (1)应用射影定理有两个条件:一是直角三角形; 二是斜边上的高. (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量. (3)利用直角三角形的射影定理可证明有关命题.

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思考题 3 如图 AC 为⊙O 的直径,BD⊥AC 于 P,PC= 2,PA=8,则 CD 的长为________,cos∠ACB=________.

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【解析】 由射影定理,得 CD2=CP· CA=2×10. ∴CD=2 5. CP 2 5 cos∠ACB=sin∠A=sin∠D=CD= = . 2 5 5 5 【答案】 2 5 5

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1.相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时,可选择判定定理 1,2; (2)已知有两边对应成比例时,可选择判定定理 2,3; (3)判定直角三角形相似时,首先看是否可以用判定直三角 形的方法来判定,如不能再考虑用判定一般三角形相似的方法 来判定.

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2.关于直角三角形射影定理 (1)射影定理的两个条件:一是直角三角形;二是斜边上的 高,二者缺一不可. (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量, 同时还可用于研究相似问题,比例式等问题.

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