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(课件2)2.3直线、平面垂直的判定及其性质



直线与平面垂直的判定

一、直线与平面垂直的定义
? 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一 条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂直,记作 l ⊥α。(如图) ? 直线 l 叫做平面α的垂线。 ? 平面α叫做直线 l 的垂面。 ? 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。

l

P

r />α

注:画直线与水平平面垂直时,要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
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二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那 么这条直线垂直于这个平面。

三、线面垂直判定定理的证明
已知:m ? α,n ? α,m ∩ n = B,l ⊥ m, l ⊥ n。 求证: l ⊥α。

l

B m
α

n

l

l

B m
α

n

l

B m
α

n

l

B m
α

n

g

l

B m
α

g

n

g

l

AB=A’B

A

B m
α

g

n

A’

l

AB=A’B

A

B m
α

g

n

A’

l

AB=A’B

A

B m
α

g

n

A’

l

A

B m
α

g

n

A’

A

l

B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

l ⊥m
B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

l ⊥m
B m
α

C A’

l⊥ ?m

A

l

AC=A’C
B m
α

C A’

A

l

AD=A’D
B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

B m
α

g

n D

C

E

CD=CD
A’

A

l

△ACD≌△A’CD
B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

∠ACE=∠A’CE
m
α

B g n D

C

E
A’

AC=A’C CE=CE

A

l

B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

B m
α

g

n D

C

E
A’

△ACE≌△A’CE

A

l

AE=A’E

B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

AE=A’E AB=A’B

B m
α

g

n D

C

E
A’

A

l

AE=A’E AB=A’B

B g
α

E
A’

A

l

AE=A’E AB=A ? ’B
B

l ⊥g

E
α

g

A’

直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那 么这条直线垂直于这个平面。
注:m ? α n?α m∩n=B l⊥m l⊥n

?

l ⊥α

小结
这个定理还说明这样一个事实,的确 存在着和一个平面内一切直线都垂直的直 线,从而得证了直线和平面垂直的合理性。 这个定理不仅提供了判定直线和平面 垂值得一种方法,而且还是证明直线和直 线互相垂直的一种常用的方法,即要想证 明a⊥b,只需证a与b所在平面内的两条相 交直线垂直(或证b与a所在平面内的两条 相交直线垂直)。

练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线, 能否判断这条直线和这个平面垂直?

2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线, 能否判断这条直线和这个平面垂直? 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线,能否判断这条直线和这个平面垂直?

练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直,其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面?为什么? 5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边, 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直?为什么?

例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 (此定理可看作线面垂直的判定公理二) a b 已知:a∥b,a ⊥α 求证:b⊥α α

m
n

证明:在平面α内作两条相交直线m,n ∵ a⊥α

∴ a⊥m ,a⊥n
∵ b∥a ∴ b⊥m ,b⊥n ∴ b⊥α α

a

b m
n

例2 已知:b?α,c ? α,b∩c=E, β∩γ=a,c⊥β,d⊥γ。 a 求证:a⊥α。

β

γ

α

b

E

c

证明: ∵ ∴ ∵ ∴ ∵

b⊥β, β∩γ=a, b⊥a ; c⊥γ,β∩γ=a, c⊥a ; β b∩c=E, b?α, c?α, b α ∴ a⊥α。

a

γ

E

c

例3 已知:正方体 中,AC是面对角线, D′ BD’是与AC 异面的 A′ 体对角线。 求证:AC⊥BD’

C′ B ′ C

D A

B

证明: 连接BD ∵正方体ABCD-A’B’C’D’ ∴DD’⊥正方体ABCD A’ ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD’∩BD=D ∴AC⊥△D’DB ∴AC⊥BD’ A

D’ B’ D

C’

C

B

A

l

B m
α

g

n D

C

E
A’



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