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北师大版高中数学必修5第一章 数列数列在日常经济生活中的应用习题3


[学业水平训练] 1. 某人在一年 12 个月中, 每月 10 日向银行存入 1 000 元, 假设银行的月利率为 5?(按 单利计算),则到第二年的元月 10 日,此项存款一年的利息之和是( ) A.5(1+2+3+?+12)元 B.5(1+2+3+?+11)元 C.1 000[1+5?+(5?)2+?+(5?)11]元 D.1 000+[1+5?+(5?)2+?+(5?)12]元 解析:选 A.存款利息是以 5 为首项,5 为公差的等差数列,12 个月的存款利息之和为 5(1+2+3+?+12)元,故选 A. 2.某林厂年初有森林木材存量 S 立方米,木材以每年 25%的增长率生长,而每年末要 砍伐固定的木材量 x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加 50%,则 x 的值是 ( ) S A. 32 S C. 36 S B. 34 S D. 38

解析: 选 C.一次砍伐后木材的存量为 S(1+25%)-x; 二次砍伐后木材存量为[S(1+25%) -x](1+25%)-x = 25 5 S S- x-x=S(1+50%),解得 x= . 16 4 36

3.某工厂 2012 年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到 2020 年年底在原有基础上 翻两番,则总产值年平均增长率为( )
1 1

A.24-1
1

B.25-1
1

C.34-1

D.35-1
8
1 4

解析: 选 A.设 2012 年年底总产值为 a, 年平均增长率为 x, 则 a(1+x) =4a, 得 x=2 - 1,故选 A. 4.某工厂购买一台机器价格为 a 万元,实行分期付款,每期付款 b 万元,每期为一个 月,共付 12 次,如果月利率为 5?,每月复利一次,则 a,b 满足( ) a A.b= 12 a(1+5?) C.b= 12 a(1+5‰)12 ∴b< ,显然 12b>a, 12 a(1+5‰)12 a 即 <b< . 12 12 5.某人为了观看 2012 年奥运会,从 2005 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储 蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2012 年 a(1+5?)12 B.b= 12 a(1+5?)12 a D. <b< 12 12

解析:选 D.∵b(1+1.005+1.0052+?+1.00511)=a(1+0.005)12,∴12b<a(1+0.005)12,

将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 a C. [(1+p)7-(1+p)] p a D. [(1+p)8-(1+p)] p

)

解析:选 D.2005 年存入的 a 元到 2012 年所得的本息和为 a(1+p)7,2006 年存入的 a 元到 2012 年所得的本息和为 a(1+p)6,依此类推,则 2011 年存入的 a 元到 2012 年的本息 和为 a(1+p),每年所得的本息和构成一个以 a(1+p)为首项,1+p 为公比的等比数列,则 a(1+p)[1-(1+p)7] a 到 2012 年取回的总额为 a(1+p)+a(1+p)2+?+a(1+p)7= = [(1 p 1-(1+p) +p)8-(1+p)]. 6.某人买了一辆价值 10 万元的新车,专家预测这种车每年按 10%的速度折旧,n 年后 这辆车的价值为 an 元,则 an=________,若他打算用满 4 年时卖掉这辆车,他大约能得到 ________元. 解析:n 年后这辆车的价值构成等比数列{an},其中,a1=100 000×(1-10%),q=1- 10%,∴an=100 000×(1-10%)n,∴a4=100 000×(1-10%)4=65 610(元). 答案:100 000×(1-10%)n 65 610 7.已知一个正方形的边长为 1 cm,以它的对角线为边作一个新的正方形,再以新的正 方形的对角线为边作正方形,这样继续下去,共作了 6 个正方形,那么第六个正方形(包括 已知正方形)的边长是________,这 6 个正方形的面积和是________. 解析:由题意知所作正方形的边长依次构成一个等比数列,首项为 1 (cm),公比为 2, 故 a6=a1q5=1×( 2)5=4 2 (cm),则第六个正方形的边长为 4 2 cm.这 6 个正方形的面积 1(1-26) 依次也构成一个等比数列,首项为 1 cm2,公比为 2 cm2,则 S6= =63(cm2). 1-2 答案:4 2 cm 63 cm2 8.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日添增一倍多,问君 每日读多少?”(注: 《孟子》全书约 34 685 字, “一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读 了________字. 解析:设第一日读的字数为 a,由“每日添增一倍多”得此数列是以 a 为首项,公比为 a(1-23) 2 的等比数列,可求得三日共读的字数为 =7a=34 685,解得 a=4 955,则 2a= 1-2 9 910,即该君第二日读的字数为 9 910. 答案:9 910 9.工薪阶层的张某欲从银行贷款,购买一套自己满意的住房.按规定,政策性住房贷 款的年息为 9.6%,最长年限为 10 年,可以分期付款.张某根据自己的实际情况估计每年最 多可偿还 5 000 元,打算 10 年还清.如果银行贷款利率按单利计算,那么张某最大限额的 - 贷款是多少?如果银行贷款利率按复利计算呢?(参考数据:(1.096) 10=0.399 85) 5 000 解:按单利计算,由于一年后偿还的 5 000 元相当于贷款时的 元;两年后偿还 1+0.096 的 5 000 元相当于贷款时的 5 000×( 5 000 元,?,所以,张某的最大限额贷款为: 1+0.096×2

1 1 1 1 + + +?+ ) 1+0.096 1+0.096×2 1+0.096×3 1+0.096×10

≈33 854(元). 如果银行贷款利率按复利计息,则最大限额贷款应为:

5 000×[

1 1 1 1 + + +?+ ] 1+0.096 (1+0.096)2 (1+0.096)3 (1+0.096)10
-10

1-(1.096) =5 000× 0.096

≈31 258(元).

所以如果银行贷款利率按单利计算,张某最大限额的贷款是 33 854 元,如果按复利计 算,张某最大限额的贷款是 31 258 元. 10.某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式,对购买一辆 10 万元的轿车在 1 年内将款全部付清的前提下,可以选择以下两种分期付款的方案购车: 方案 1:分 3 次付清,购买 4 个月后第 1 次付款,再过 4 个月第 2 次付款,再过 4 个月 第 3 次付款; 方案 2:分 12 次付清,购买 1 个月后第 1 次付款,再过 1 个月第 2 次付款,?,购买 12 个月后第 12 次付款. 规定分期付款中,每期付款额相同,月利率为 0.8%,每月利息按复利计算,即指上月 利息要计入下月本金,试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少? 解: 对于方案 1, 设每次付款额为 x1 万元, 那么 4 个月后, 第 1 次付款的本息和为 1.0088x1 万元, 第 2 次付款的本息和为 1.0084x1 万元, 第 3 次付款的本息和为 x1 万元,则 1.0088x1+1.0084x1+x1=10×1.00812. (1.0084)3-1 x1· =10×1.00812. 1.0084-1 10×1.00812·(1.0084-1) ∴x1= 1.00812-1 ≈ 10×1.1×0.0324 =3.564(万元). 0.1

付款总额约为 3×3.564=10.692(万元) 对于方案 2,设每次付款额为 x2 万元, 那么 1 月后,第 1 次付款的本息和为 1.00811x2 万元, 第 2 次付款的本息和为 1.00810x2 万元, ? 第 12 次付款的本息和为 x2 万元,则 1.00811x2+?+1.008x2+x2=10×1.00812. x2= ≈ 10×1.00812×0.008 1.00812-1

10×1.1×0.008 =0.88(万元). 0.1

付款总额约为 12×0.88=10.56(万元). 所以方案 2 付款总额较少. [高考水平训练] 1. 某商场今年销售计算机 5 000 台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起, 大约多少年可以使总销售量达到 30 000 台?(结果保留到个位)(参考数据: lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)( ) A.3 B.4

C.5 D.6 解析:选 C.设大约 n 年可使总销售量达到 30 000 台,由题意知:每年销售量构成一个 5 000(1-1.1n) 等比数列, 首项为 a1=5 000 台, 公比 q=1.1, Sn=30 000, ∴由 30 000= ?1.1n 1-1.1 lg 1.6 =1.6?n= ≈5,故选 C. lg 1.1 2.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质减 少到原来的 5%以下,则至少需过滤的次数为________.(参考数据:lg 2≈0.301 0) 解析:设原杂质数为 1,各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{an},则 a1=1-20%, 公比 q=1-20%,∴an=(1-20%)n,由题意可知(1-20%)n<5%,即 0.8n<0.05.两边取对数 lg 5-2 1-lg 2-2 -lg 2-1 lg 0.05 得 nlg 0.8<lg 0.05,∵lg 0.8<0,∴n> ,即 n> = = ≈ lg 0.8 lg 8-1 3lg 2-1 3lg 2-1 -0.301 0-1 ≈13.41,又 n∈N+,故 n=14,即至少需要过滤 14 次. 3×0.301 0-1 答案:14 3. 甲、 乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄, 甲存 5 年期定期储蓄, 年利率 4.75%, 乙存一年期定期储蓄, 年利率 3%, 并在每年到期时自动转存, 即将本息续存一年定期储蓄. 按 规定每次计息时,储户需要交纳利息的 20%作为利息税,若存满 5 年后两人同时取出存款, 则他们的本息和各是多少?哪种存款方式利息要高些? 解:甲存满 5 年后所得本息和为: 10 000+10 000×5×4.75%×80%=11 900(元). 乙存满 1 年后所得本息和为: 10 000+10 000×3%×(1-20%)=10 000(1+3%×80%), 2 年后所得本息和为:10 000(1+3%×80%)2, ? 各年的本息和构成公比为 1+3%×80%的等比数列,所以乙存满 5 年后所得本息和为: 10 000(1+3%×80%)5≈11 259(元). 显然甲存款方式利息更高些. 4. 某软件公司新开发一款学习软件, 该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的闯关 游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三 种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖励 4 慧币,以后每 一关比前一关多奖励 4 慧币;第三种,闯过第一关奖励 0.5 慧币,以后每一关比前一关奖励 翻一番(即增加 1 倍).游戏规定:闯关者需要在闯关前任选一种奖励方案. (1)设闯过 n(n∈N,且 n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币数依次为 An,Bn,Cn,试求 出 An,Bn,Cn 的表达式; (2)如果你能闯过 10 关,你会选择哪种奖励方案? 解:(1)第一种奖励方案:闯过各关所得慧币数构成常数列,所以 An=40n; 第二种奖励方案:闯过各关所得慧币数构成首项为 4,公差为 4 的等差数列,所以 Bn n(n-1) =4n+ ×4=2n2+2n; 2 第三种奖励方案:闯过各关所得慧币数构成首项为 0.5,公比为 2 的等比数列,所以 Cn 0.5(1-2n) n-1 1 = =2 - . 2 1-2

1 (2)当 n=10 时,A10=400,B10=2×102+2×10=220,C10=29- =511.5>400>220, 2 所以选择第三种奖励方案.


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