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2010年广东省高二数学水平测试题



秘密★ 启用前

2010 学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试



学(必修)

本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ?

x ? 1 的定义域为
B. ? ??,1? C. ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

A. ? ??,1?

2.直线 3 x ? y ? 0 的倾斜角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

B 3. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? , 集合 A ? ?2, 4, 6,8? , ? ?1,2,3,6,7? , A ? ? B ? 则 U
A. ?2, 4, 6,8? B. ?1,3,7? C. ?4,8? D. ?2,6?

?

?

4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛 甲 乙 5 7 8 得分的情况用如图 1 所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的 6 8 9 0 5 7 9 1 1 3 5 平均数分别为 4 2 5 A.14、12 B.13、12 C.14、13 D.12、14 图1

5.在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小于 1 的概率为 A.

? 4

B. 1 ?

?
4

C.

? 8

D. 1 ?

?
8

数学学业水平测试

第 1 页 共 10 页

6.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a-b 等于
?

A.1

B. 3

C.2

D.3

7.有一个几何体的三视图及其尺寸如图 2 所示 (单位:cm) ,则该几何体的表面积为 ... A. 12? cm
2

5

5

6

6

主视图
2 B. 15? cm

侧视图

? 2 C. 2 4 c m
2 D. 36? cm

俯视图
x

图2

?1? 8.若 2 ? x ? 3 , P ? ? ? , Q ? log2 x , R ? x , ?2?
则 P , Q , R 的大小关系是 A. Q ? P ? R B. Q ? R ? P C. P ? R ? Q D. P ? Q ? R

9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? 如图 3 所示,则函数 f (x ) 的解析式是 A. f ( x) ? 2sin ?

? ?

??

? 的图像 2?
1

y

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11

O

11? 12

x

B. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11
? ?

图3

C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?
? 6 ? ? 6 ?

D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

? ?

10.一个三角形同时满足:①三边是连续的三个自然数;②最大角是最小角的 2 倍,则这个 三角形最小角的余弦值为 A.

3 7 8

B.

3 4

C.

7 4

D.

1 8

数学学业水平测试

第 2 页 共 10 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1? 11. 圆心为点 ? 0, ?2 ? , 且过点 ? 4, 的圆的方程为
x 2



开始 输入 x

12.如图 4,函数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ,若输入的 x 值为 3, 则输出的 h ? x ? 的值为
2

.

f (x) ? g(x)
否 是

13.若函数 f ? x ? ? ? a ? 2 ? x ? ? a ? 1? x ? 3 是偶函数,则函 数 f ? x ? 的单调递减区间为 .

h(x) ? f (x) h(x) ? g(x)
输出 h(x) 结束 图4

? x ? y ? 2≥0, ? 14.设不等式组 ? x ? 3 y ? 6≥0, 表示的平面区域为 D,若直 ? x ? y≤0 ?
线 kx ? y ? k ? 0 上存在区域 D 上的点,则 k 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 sin ? A ? B ? ?

2 ,求 sin A 的值. 2

16. (本小题满分 12 分) 某校在高二年级开设了 A , B , C 三个兴趣小组,为了对兴趣小组活动的开展情况进 行调查,用分层抽样方法从 A , B , C 三个兴趣小组的人员中,抽取若干人组成调查 小组,有关数据见下表(单位:人) 兴趣小组 小组人数 24 36 48 抽取人数

A B C
(1)求 x , y 的值;

x
3

y

(2)若从 A , B 两个兴趣小组抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自兴趣小 组 B 的概率.

数学学业水平测试

第 3 页 共 10 页

17. (本小题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: PB ? 平面 ACE ; (2)若四面体 E ? ACD 的体积为

P

E

2 ,求 AB 的长. 3
B

A C 图5

D

18. (本小题满分 14 分)
2 已知数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? n .

(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和. an ? ?

19. (本小题满分 14 分) 直线 y ? kx ? b 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于 A 、 B 两点,记△ AOB 的面积为 S (其中 O 为 坐标原点) . (1)当 k ? 0 , 0 ? b ? 2 时,求 S 的最大值; (2)当 b ? 2 , S ? 1 时,求实数 k 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 ? 3a ? a ? R ? 在区间 ? ?1,1? 上有零点,求实数 a 的取值范
2

围.

数学学业水平测试

第 4 页 共 10 页

2010 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. x2 ? ? y ? 2? ? 25 (或 x2 ? y2 ? 4 y ? 21 ? 0 )
2

12.9 14. ? ,? 2

13. ? 0, ?? ? (或 ? 0, ?? ? )

?1 ? ?2 ?

三、解答题 15.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? , 由角 A , B , C 成等差数列,得 2B ? A ? C . 解得 B ?

?

3



(2)方法 1:由 sin ? A ? B ? ? 所以 C ?

2 2 2 ,即 sin ?? ? C ? ? ,得 sin C ? . 2 2 2

?
4

或C ?

由(1)知 B ?

?
3

3? . 4

,所以 C ?

?
4

,即 A ?

5? . 12

所以 sin A ? sin

5? ?? ? ? ? sin ? ? ? 12 ?4 6?

? sin
?

?
4

cos

?

? cos sin 6 4 6

?

?

2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 . 4
2 , 2

?

方法 2:因为 A , B 是△ ABC 的内角,且 sin ? A ? B ? ? 所以 A ? B ?

?
4

或 A? B ?

3? . 4
第 5 页 共 10 页

数学学业水平测试

由(1)知 B ?

?
3

,所以 A ? B ?

3? 5? ,即 A ? . 4 12
? ?

以下同方法 1. 方法 3:由(1)知 B ?

?
3

,所以 sin ? A ?

??

2 . ?? 3? 2

即 sin A cos

?
3

? cos A sin

?
3

?

2 . 2



1 3 2 . sin A ? cos A ? 2 2 2

即 3cos A ? 2 ? sin A. 即 3cos A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin A .
2 2
2 2 因为 cos A ? 1 ? sin A ,

所以 3 1? sin2 A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin2 A. 即 4sin A ? 2 2 sin A ?1 ? 0 .解得 sin A ?
2

?

?

2? 6 . 4

因为角 A 是△ ABC 的内角,所以 sin A ? 0 . 故 sin A ?

2? 6 . 4

16.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分. 解: (1)由题意可得,

x 3 y ? ? , 24 36 48

解得 x ? 2 , y ? 4 . (2)记从兴趣小组 A 中抽取的 2 人为 a1 , a2 ,从兴趣小组 B 中抽取的 3 人为 b1 , b2 ,

b3 ,则从兴趣小组 A , B 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 ? a1 , a2 ? ,

? a1 , b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? ,? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? ,? b1, b2 ? ,? b1 , b3 ? ,? b2 , b3 ?
共 10 种. 设选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的事件为 X ,则 X 包含的基本事件有 ? b1 , b2 ? ,

? b1 , b3 ? , ? b2 , b3 ? 共 3 种.
数学学业水平测试 第 6 页 共 10 页

所以 P ? X ? ?

3 . 10 3 . 10

故选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的概率为

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力.满分 14 分. P (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 EO , 因为 ABCD 是正方形,所以点 O 是 BD 的中点. 因为点 E 是 PD 的中点, 所以 EO 是△ DPB 的中位线. 所以 PB ? EO . 因为 EO ? 平面 ACE , PB ? 平面 ACE , 所以 PB ? 平面 ACE . B (2)解:取 AD 的中点 H ,连接 EH , 因为点 E 是 PD 的中点,所以 EH ? PA . 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 EH ? 平面 ABCD . 设 AB ? x ,则 PA ? AD ? CD ? x ,且 EH ? 所以 VE ? ACD ? A O O H C D

E

1 1 PA ? x . 2 2

解得 x ? 2 . 故 AB 的长为 2.

1 S?ACD ? EH 3 1 1 ? ? ? AD ? CD ? EH 3 2 1 1 1 2 ? ?x?x? x ? x3 ? . 6 2 12 3

18. 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力. 满 分 14 分. 解: (1)因为数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,
n ?1 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 . 2 因为数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? n .

所以当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? ? n ?1? ? 2n ?1 ,
2

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ? 2 ?1 ?1 , 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ?1. 数学学业水平测试 第 7 页 共 10 页

(2)由(1)可知,

bn 2n ? 1 ? n?1 . an 2

设数列 ? 则

? bn ? ? 的前 n 项和为 Tn , ? an ?
① ②

3 5 7 2n ? 3 2n ?1 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? n?2 ? n?1 , 2 4 8 2 2 1 1 3 5 7 n2 ? 3 n? 2 1 即 Tn ? ? ? ? ? ? ? n?1 ? n , 2 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 2n ?1 ①-②,得 Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? n?2 ? 2 2 4 8 2 2n
?1? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 1 1? 2
n ?1

?

2n ? 1 2n

? 3?
所以 Tn ? 6 ? 故数列 ?

2n ? 3 . 2n?1

2n ? 3 , 2n

? bn ? 2n ? 3 ? 的前 n 项和为 6 ? n?1 . 2 ? an ?

19.本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力.满分 14 分. 解: (1)当 k ? 0 时,直线方程为 y ? b , 设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,
2 2 由 x ? b ? 4 ,解得 x1, ? ? 4 ? b2 , 2

所以 AB ? x2 ? x1 ? 2 4 ? b .
2

所以 S ? ? AB ? b

1 2

? b 4 ? b2 b2 ? 4 ? b2 ≤ ? 2. 2
当且仅当 b ?

4 ? b2 ,即 b ? 2 时, S 取得最大值 2 .

(2)设圆心 O 到直线 y ? kx ? 2 的距离为 d ,则 d ? 因为圆的半径为 R ? 2 , 所以

2 k 2 ?1



AB 2

? R2 ? d 2 ? 4 ?

2k 4 ? . k ?1 k 2 ?1
2

数学学业水平测试

第 8 页 共 10 页

于是 S ?

1 AB ? d ? 2

2k k 2 ?1

?

2 k 2 ?1

?

4k k 2 ?1

?1,

即 k ? 4 k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 2 ? 3 .
2

故实数 k 的值为 2 ? 3 , 2 ? 3 , ?2 ? 3 , ?2 ? 3 . 20.本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨 论的数学思想方法.满分 14 分. 解法 1:当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? 1,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,是区间 ? ?1,1? 上的零点. 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上有零点分为三种情况: ①方程 f ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,1? 上有重根, 令 ? ? 1 ? 4a ? ?1 ? 3a ? ? 0 ,解得 a ? ? 当a ? ? 当a ?

1 1 或a ? . 6 2

1 时,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 3 ,不是区间 ? ?1,1? 上的零点. 6

1 时,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,是区间 ? ?1,1? 上的零点. 2

②若函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上只有一个零点,但不是 f ? x ? ? 0 的重根, 令 f ?1? f ? ?1? ? 4a ? 4a ? 2 ? ≤ 0 ,解得 0 ? a ≤

1 . 2

③若函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上有两个零点,则

?a ? 0, ?a ? 0, ? ? 2 2 ?? ? ?12a ? 4a ? 1 ? 0, ?? ? ?12a ? 4a ? 1 ? 0, ? ? 1 1 ? ? 或 ?? 1 ? ? ? 1, ? 1, ?? 1 ? ? 2a 2a ? ? ? f ?1? ? 0, ? f ?1? ? 0, ? ? ? f ?- 1? ? 0. ? f ?- 1? ? 0. ? ?
解得 a ?? . 综上可知,实数 a 的取值范围为 ?0, ? . 2 解法 2:当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ? 1,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,是区间 ? ?1,1? 上的零点. 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ax ? x ? 1 ? 3a 在区间 ? ?1,1? 上有零点 ? x2 ? 3 a ? 1? x 在区
2

? 1? ? ?

?

?

间 ? ?1,1? 上有解 ? a ?

1? x 在区间 ? ?1,1? 上有解. x2 ? 3
第 9 页 共 10 页

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问题转化为求函数 y ?

1? x 在区间 ? ?1,1? 上的值域. x2 ? 3
t

设 t ? 1? x ,由 x ? ? ?1,1? ,得 t ? ?0, 2? .且 y ? 而y?

?1 ? t ?

2

?3

? 0.

t

?1 ? t ?

2

?3

?

1 . 4 t ? ?2 t

设 g ?t ? ? t ?

4 ,可以证明当 t ? ? 0, 2? 时, g ? t ? 单调递减. t

事实上,设 0 ? t1 ? t2 ? 2 , 则 g ? t1 ? ? g ? t2 ? ? ? t1 ?

? ?

4? ? 4 ? ? t1 ? t2 ?? t1t2 ? 4 ? , ? ? ? t2 ? ? ? t1 ? ? t2 ? t1t2

由 0 ? t1 ? t2 ? 2 ,得 t1 ? t2 ? 0 , 0 ? t1t2 ? 4 ,即 g ? t1 ? ? g ? t2 ? ? 0 . 所以 g ? t ? 在 t ? ? 0, 2? 上单调递减. 故 g ? t ? ? g ? 2? ? 4 . 所以 y ?

1 1 ? . g ?t ? ? 2 2
? 1? ? ?

故实数 a 的取值范围为 ?0, ? . 2

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