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数学选修一2.1.2(一)



2.1.2(一)

2.1.2

椭圆的简单几何性质 第一课时

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【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解椭圆的简单几何性质. 2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题. 【看一看学法指导,学习更灵活】 通过观察椭圆的几何图形, 从整体上把握椭圆; 用坐标法研 究椭圆的性质,将几何关系转化为椭圆方程的特点.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

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图形

标准 方程

x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0)

y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)

填一填·知识要点、记下疑难点
范围

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-a≤x≤a -b≤y≤b

-b≤x≤b -a≤y≤a
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) ,长轴长= 2a (0,± a2-b2)

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顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)
短轴长= 2b (± a2-b2,0)

|F1F2|=2 a2-b2 对称轴: x轴、y轴 对称中心: 原点

c e=a∈ (0,1)

填一填·知识要点、记下疑难点
2.离心率的作用 当椭圆的离心率越

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接近1

,则椭圆越扁;当椭圆离心

率越 接近0 ,则椭圆越接近于圆.

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问题探究一 问题 1

椭圆的简单几何性质

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x2 y2 观察椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的形状,

你能从图中看出它的范围吗?它具有怎 样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

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答案 (1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b; (2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称; (3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b).

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问题 2 观察不同的椭圆,椭圆的扁平程度不一样,怎样刻 画椭圆的扁平程度呢?
答案

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x2 y2 在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,若保持 a 不变,改变 c,可以 a b 发现 c 越接近于 a,椭圆越扁平,可以用 a,c 两个量来刻 画椭圆的扁平程度.

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c 结论: 我们把椭圆的焦距与长轴长的比a称为椭圆的离心率, c 用 e 表示,即 e= . a e 越接近于 1,椭圆越扁;e 越接近于 0,椭圆越接近于圆.

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画板演示

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例 1 求椭圆 m2x2+4m2y2=1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦 点坐标、顶点坐标和离心率.
解 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1 (m>0)可转化为 x2 y2 + =1. 1 1 m2 4m2
1 1 ∵m <4m ,∴m2>4m2,∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半
2 2

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1 1 3 轴长 a= ,短半轴长 b= ,半焦距长 c= . m 2m 2m 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a=m,短轴长 2b=m,

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? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 焦点坐标为?- ,0?,? ,0?, ? ? 2m ? ?2m ?

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?1 ? ? 1 ? ? 1? ? 1? 顶点坐标为?m,0?,?-m,0?,?0,-2m?,?0,2m?. ? ? ? ? ? ? ? ?

3 c 2m 3 e=a= 1 = 2 . m 小结 已知椭圆的方程讨论其性质时, 应先将方程化成标准
形式,不确定的要分类讨论,找准 a 与 b,才能正确地写出 焦点坐标、顶点坐标等.

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跟踪训练 1 已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴 长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. x2 y2 解 把椭圆的方程化为标准方程 + =1. 9 4
可知此椭圆的焦点在 x 轴上,且长半轴长 a=3, 短半轴长 b=2; 又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5.
因此,椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4;两个焦点的坐 标分别是(- 5, ( 5, 四个顶点的坐标分别是(-3,0), 0), 0); c 5 (3,0),(0,-2),(0,2);离心率 e=a= 3 .

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问题探究二 问题 由椭圆的几何性质求方程

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椭圆的性质和椭圆方程有何联系?怎样通过椭圆几

何性质确定椭圆方程?

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答案

椭圆的焦点位置可以确定椭圆的类型和椭圆方程的

形式; 椭圆的标准方程中含有两个参数, 采用待定系数法求 标准方程,需要两个独立方程,根据椭圆的几何性质,一般 可以先确定焦点的位置, 再根据已知条件构造两个关于参数 的关系式,利用方程(组)求得参数.

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6 例 2 椭圆过点(3,0),离心率 e= 3 ,求椭圆的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程,

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又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.
①当椭圆的焦点在 x 轴上时,(3,0)为右顶点,则 a=3, c 6 6 6 ∵e= = ,∴c= a= ×3= 6, a 3 3 3 ∴b2=a2-c2=32-( 6)2=9-6=3, x2 y2 ∴椭圆的方程为 9 + 3 =1.

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②当椭圆的焦点在 y 轴上时,(3,0)为右顶点,则 b=3, c 6 6 ∵e=a= 3 ,∴c= 3 a, 2 2 1 2 ∴b =a -c =a -3a =3a ,
2 2 2 2

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y2 x2 ∴a2=3b2=27,∴椭圆的方程为 + =1. 27 9 x2 y2 y2 x2 综上可知,椭圆的标准方程是 9 + 3 =1 或27+ 9 =1.

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小结

在求椭圆方程时, 要注意根据题目条件判断焦点所在

的坐标轴, 从而确定方程的形式, 若不能确定焦点所在的坐 标轴,则应进行讨论,然后列方程确定 a,b.

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跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. 2 (1)长轴在 x 轴上,长轴的长等于 12,离心率等于 ; 3 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且椭圆过点(-2,-4).

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c 2 解 (1)由已知 2a=12,e=a=3, 得 a=6,c=4,从而 b2=a2-c2=20, 又长轴在 x 轴上, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为36+20=1.

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(2)∵2a=2×2b,∴a=2b,

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x2 y2 当焦点在 x 轴上时,设方程为4b2+b2=1, 4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴4b2+ b2 =1,∴b2=17. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为68+17=1, x2 y2 当焦点在 y 轴上时,设方程为b2+4b2=1,

4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴b2+4b2=1, x2 y2 ∴b2=8,∴椭圆的标准方程为 8 +32=1. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为68+17=1 或 8 +32=1.

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问题探究三 求椭圆的离心率 问题 要求椭圆的离心率,是否一定要确定 a、c 的值?
答案 求椭圆的离心率,常见的思路一般有两种: c 一是确定 a,c 的值,由公式 e= 求出; a 二是建立关于 a,b,c 的齐次等式方程,消去参数 b,两边 同除以 a 的最高次幂转化为 e 的方程,解方程求出离心率.

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例 3 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,A,B 是椭圆的顶点, P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥ AB,求此椭圆的离心率.

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x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1 (a>b>0).

如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c,

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? b2? x2 y2 b2 代入方程 2+ 2=1,得 y=± ,∴P?-c, a ?. a b a ? ?

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又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB.

|PF1| |AO| b2 b ∴ = ,∴ = ,∴b=2c. |F1F2| |OB| 2ac a c2 1 ∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴ 2= . a 5 1 5 5 ∴e =5,即 e= 5 ,所以椭圆的离心率为 5 .
2

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小结 求椭圆的离心率, 已有 a2=b2+c2, 再找到关于 a, b, c 的一个方程即可.

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跟踪训练 3

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x2 y2 过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的 a b

垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60° ,则椭圆 的离心率为 2 A. 2 3 B. 3 1 C.2 1 D.3 ( B )

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解析

由题意知点 P

? b2? b2 的坐标为?-c, a ?或(-c,- ), a ? ?

2c ∵∠F1PF2=60° ,∴ b2 = 3,即 2ac= 3b2= 3(a2-c2). a 3 2 ∴ 3e +2e- 3=0,∴e= 3 或 e=- 3(舍去).

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x2 y2 1.椭圆 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最 25 9 小距离分别是 A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1 ( D )

解析 因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9,最小距 离为 a-c=1.

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x2 y2 2.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 4 3 → FP → 点 P 为椭圆上的任意一点,则OP· 的最大值为( A.2 解析 B.3 C.6 D.8 )

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由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),

→ → 2 则OP· =(x0,y0)· 0+1,y0)=x0+x0+y2. FP (x 0 x2 y2 0 0 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 3 x2 0 → → ∴OP· =x0+x0+3(1- 4 ) FP 2

x2 1 0 = 4 +x0+3=4(x0+2)2+2.

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∵-2≤x0≤2,

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→ FP → ∴OP· 的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6.

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答案

C

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3.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 3 为 2 ,且 G 上一点到两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G x2 y2 的方程为______________. 36+ 9 =1
解析 x2 y2 依题意设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

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∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12,

3 ∴2a=12,即 a=6.∵椭圆的离心率为 2 , a2-b2 36-b2 3 3 ∴ a = 2 ,∴ = 2 ,∴b2=9, 6
x2 y2 ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9

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1.通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质;反之,由椭 圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程. 2.椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度,离心率从关于 a、 b、c 的一个方程即可求得.



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