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江西省南昌三中2013届高三10月月考数学理试题


南昌三中 2013 届高三高三第二次月考 数学理试卷
命题:万里松

2012.10

审题:刘明和

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集U ? R , A ? { x | 2 A. { x | x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1}
?
x(x?2)

? 1}, B ? { x | y ? ln(1 ? x )} , 则图中阴影部分表 示的集合为 (



B. { x | 1 ? x ? 2} D. { x | x ? 1}
?
2

2.已知向量 a ? ( x ? 4,1), b ? ( x , 2 ), 则 x ? 4 是 a // b 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 sin ? ? cos ? ?
2 3

?

?

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(0 ? ? ?
2 3

4 3

?
4

) ,则 sin ? ? cos ? 的值为(
1 3


1 3

A.

B. ? )
? 0, 则
?

C.

D. ?

4.下列命题正确的是( A.已知 p :
1 x ?1

p:

1 x ?1

? 0

B.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?
2

?
2

成立
2

C.命题 p:对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 D.若 p 或 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 5. 函数 y ? cos 2 x 的图像可以看作由 y ? A.向左平移 C.向左平移
?
12
3 2 cos 2 x ? sin x cos x 的图像(

)得到

个单位长度 单位长度

B.向右平移 D.向右平移

?
12

个单位长度 单位长度

?
6

?
6

6.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 、 x 2 ,不等式
( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x ) ? 0 的解集为(



A. ? 1, ? ? ?

B. ? 0, ? ? ?

C. ? ? ? , 0 ?

D. ? ? ? ,1 ?

7.已知函数 f ( x ) ? ? cos(

x 4

?

?
3

) ,如果存在实数 x 1 、 x 2 ,使得对任意实数 x ,都有

f ( x 1 ) ? f ( x ) ? f ( x 2 ) ,则 x 1 ? x 2 的最小值是(

) D. ?

??? ? ??? ? 8. 已知 G 是 ? A BC 的重心,且 a G A ? b G B ?

A. 8?

B. 4 ?

C. 2 ?

???? ? 3 c G C ? 0 ,其中 a , b , c 分别为角 A,B,C 的

对边,则 cos C ? ( A.
5 6


3 2

B. ?

C.

3 2

D.

3 6

9. 已知函数 y ? f ( x ) 是定义在实数集 R 上的奇函数, 且当 x ? ( ? ? , 0) 时 xf ?( x ) ? f ( ? x ) 成 立 (其中 f ? ( x ) 是 f ( x ) 的导函数) 若 a ? , 则 a , b , c 的大小关系是( )
3 f ( 3 ) ,b ? f (1) ,c ? (lo g 2

1 4

) f (lo g 2

1 4

)

A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b 10.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应 数轴上的点 M ,如图 1;将线段 A B 围成一个圆,使两端点 A , B 恰好重合,如图 2; 再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为(0,1),如图 3.图 3 中直线 A M 与 x 轴交于点 N ( n , 0) ,则 m 的像就是 n ,记作 f ( m ) ? n 。则在下 列说法中正确命题的个数为 ( )

①f ?

?1? ? ? 1 ;② f ( x ) 为奇函数;③ f ( x ) 在其定义域内单调递增;④ f ( x ) 的图像关于点 ?4?

?1 ? ? , 0 ? 对称。 ?2 ?

A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知复数 z 满足 z ( 2 ? i ) ? 1 ? 2 i , 则 z ? ____________
2 2

D.4

12.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? 的值为__________
a 13.已知函数 f (x ) ?log ( 1 x ?ax ? )
2 2

在区间 ?? ,1?

?

3

? 上是增函数,则实数a 的取值范围是

14.如果函数 f ( x ) ? sin ( ? ? x ? 称轴,则 ? 的取值范围是

?
4

) ( ? ? 0 ) 在区间 ( ? 1, 0) 上有且仅有一条平行于 y 轴的对

15.在 ? A B C 中, O 为中线 A M 上一个动点,若 AM=4,则 O A ? ( O B ? O C ) 的最小值是____ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分为 12 分)点 M 是单位圆 O(O 是坐标原点)与 X 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ? MOP ? x ( 0 ? x ? ? ), OQ ? OP ? OM , 四边形 OMQP 的面积为 S,函数
f ( x ) ? OM ? OQ ? 3 S .求函数 f(x)的表达式及单调递增区间。

??? ?

??? ?

????

17. (本小题满分为 12 分)已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图 象上相邻的两个最低点间的距离为 2 ? 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 a ? ( ?
? ?
, 3 2 ), f ( a ?

?
3

)?

1 3

,求 sin ( 2 a ?

2? 3

) 的值。

18. (本小题满分为 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 且当 x ? [ ? 1,1] 时, f ( x ) ? x 。
3

(1)求 f ( x ) 在 [1, 5] 上的表达式; (2)若 A ? ? x f ( x ) ? a , x ? R ? ,且 A ? ? ,求 a 的范围。 19.(本小题满分为 12 分)已知 x ? 1 是 f ( x ) ? 2 x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间 (2)设 g ( x ) ? f ( x ) ?
3 x b x ? ln x 的一个极值点。

,试问过点 ? 2, 5 ? 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 2 cos x ? m 。
2

(1)若 方 程 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f ( x ) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 m 的取值范围;

(2)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 A, B , C 所对的边,当(1)中的 m 取 最大值,且 f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时,求 a 的最小值。

21 . ( 本 小 题 满 分 为
f (x) ? mx ? m ?1 x ? ln x , g (x) ?

14
1 x

分 ) 已 知 m?R

, 函 数

? ln x .

姓名

(1)求 g ( x ) 的极值;
( g ( (2) y ? f x ) ? x ) 若

在 [1, ?? ) 上为单调递增函数, m 的取值范围; 求

班级

(3)设 h ( x ) ?

2e x

,若在 ?1, e ? ( e 是自然对数的底数)上至少存在一个

x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围。

学号

高三年级第二次考试数学(理)答卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11、 13、 15、

. . .

12、 14、

. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分为 12 分)点 M 是单位圆 O(O 是坐标原点)与 X 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ? MOP ? x ( 0 ? x ? ? ), OQ ? OP ? OM , 四边形 OMQP 的面积为 S,函数
f ( x ) ? OM ? OQ ? 3 S .求函数 f(x)的表达式及单调递增区间。

17. (本小题满分为 12 分)已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图 象上相邻的两个最低点间的距离为 2 ? 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 a ? ( ?
? ?
, 3 2 ), f ( a ?

?
3

)?

1 3

,求 sin ( 2 a ?

2? 3

) 的值。

18. (本小题满分为 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 且当 x ? [ ? 1,1] 时, f ( x ) ? x 。
3

(1)求 f ( x ) 在 [1, 5] 上的表达式; (2)若 A ? ? x f ( x ) ? a , x ? R ? ,且 A ? ? ,求 a 的范围。

19.(本小题满分为 12 分)已知 x ? 1 是 f ( x ) ? 2 x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间 (2)设 g ( x ) ? f ( x ) ?
3 x

b x

? ln x 的一个极值点。

,试问过点 ? 2, 5 ? 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 2 cos x ? m 。
2

(1)若方程 f ( x ) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 m 的取值范围;

(2)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 A, B , C 所对的边,当(1)中的 m 取最大值,且
f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时,求 a 的最小值。

21.(本小题满分为 14 分)已知 m ? R ,函数
f (x) ? mx ? m ?1 x ? ln x , g (x) ? 1 x ? ln x .

(1)求 g ( x ) 的极值; (2)若 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, ?? ) 上为单调递增函数,求 m 的取值范围; (3)设 h ( x ) ?
2e x

,若在 ?1, e ? ( e 是自然对数的底数)上至少存在一个 x 0 ,使得

f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围。

姓名

班级

学号

高三数学答案(理科)

1—5:BABDA 11. ? i
12.

6—10:CBAAB
4 5

13. [ 2 ? 2 3 ,2]

14.

?1 5? ? , ? ? 4 4?

15. _-8_

16.解:由题意可知:M(1,0)P(cosx,sinx)
? ? ? ? O Q ? (1 ? cos x , sin x ), O M ? O Q ? 1 ? cos x

又 S ? sin x ,? f ( x ) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ? 2 sin( x ? 令?
?
2 ? 2 k? ? x ?

?
6

) ? 1, ( 0 ? x ? ? )

?
6

?

?
2

? 2 k ? ,? ?

2? 3

? 2 k? ? x ? (0,

?
3

? 2 k? , k ? z

又 0 ? x ? ? ,? 函数 f ( x )的单调递增区间为

?
3

]

17.解:(Ⅰ)因为周期为 2 ? , 所以 ? ? 1 ,又因为 0 ? ? ? ? , f ? x ? 为偶函数, 所以 ? ?
?
2

,则 f ? x ? ? sin ? x ?
? ? ?

?

? ?

? ? co s x . 2 ?

(Ⅱ)因为 co s ? ? ? 又因为 sin ? 2 ? ?
? ?

? ?

? ? 2 2 1 ? ? 5? ? ? , ? ? ,又 ? ? ? ? 0, ? ,所以 sin ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 3 ? 6 ? ?

2 2 1 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? co s ? ? ? ? ? 2 ? 3 3 9 3 ? 3 ? 3 ? ? ?
?T ? 4

18.解.(1)? f ( x ? 2) ? ? f ( x )
3 ? X ? 5时 , 则 -1 ? x-4 ? 1 又 ? f ( x ? 4) ? f ( x )
1? x ? 3 时

? f ( x ? 4 ) ? (x ? 4 )
3 3

∴ f ( x) ? ( x ? 4)

3? x?5
3

则 ?1 ? x ? 2 ? 1

∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)
3

又∵ f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? ? ( x ? 2 )

1? x ? 3

即 f (x) ? ?

? ? ( x ? 2)3   1 ? x ? 3   ? 3 ? ( x ? 4 )    ? x ? 5 ?
3

(2)由题意可得 A ? ?

即 ? a ? f ( x ) m ax ∴a ? 1

由数形结合得: f ( x ) m ax ? 1

19.解: f ( x ) 的单调减区间为 ? 0,1 ? (2) g ( x ) ? f ( x ) ?
3 x ? 2 x ? ln x


y0 ? 5 x0 ? 2

设过点 ? 2, 5 ? 曲线 y ? g ( x ) 切线的切点坐标为 ? x 0 , y 0 ? ,∴ g '( x 0 ) ?



整理得 ln x 0 ?

2 x0

? 2 ? 0 (*)

设 h ( x ) ? ln x ?

2 x

? 2 ,令 h '( x ) ?

x?2 x
2

? 0 得 x ? 2 ,∴ h ( x ) 在 ? 0, 2 ? 上单调递减,

在 ? 2 , ? ? ? 上单调递增。 又 h ( ) ? 0, h ( 2 ) ? ln 2 ? 1 ? 0, h ( e ) ? 0 ,∴ h ( x ) 与 x 轴有两交点,即方程(*)有两
2

1

2

个解,那么过点 ? 2, 5 ? 曲线 y ? g ( x ) 切线有两条

20.解:(1) f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ? m ,? m ? 2 sin(2 x ?

?

? ?? ) ? 1 在 ? 0, ? 内有解 6 ? 2?

?0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

? 0 ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 3,? 0 ? m ? 3

(2)? m ? 3,? f ( A) ? 2 sin(2 A ?

?
6

) ? 2 ? ?1 ,

? sin(2 A ?

?
6

)?

1 2

,? 2 A ?

?
6

?

?
6

? 2 k? 或

2A ?

?
6

?

5? 6

? 2k? , ( k ? Z ) ? A ? (0, ? ) ? A ?

?
3

?A?

?
3

,? b ? c ? 2 ? 2 ab ,当且仅当 b ? c 时 bc 有最大值 1。

a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 3bc ? 4 ? 3bc ,
2 2 2 2

? a 有最小值 1,此时 b ? c ? 1

21.解: (1)由题意, x
g ?( x ) ? 0

? 0

, g ?( x ) ?

?

1 x
2

?

1 x

?

x ?1 x
2

,∴当 0 ?

x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0

;当 x

?1

时, 无

,所以, g ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ? ? ) 上是增函数,故 g ( x ) 极 小 值

? g (1) ? 1 .

极大值……………………………………………………4 分 (2)
[1, ? ? )
∵ f (x) ? g (x) ? mx ? m x ? 2 ln x

,∴[ f ( x ) ? g ( x )]? ?

mx ? 2x ? m
2

x
? 2x ? m ? 0

2

,由于
?

f (x) ? g (x)
2x



内为单调增函数,所以 m x 2
? ( 2x 1? x
2

在 [1, ? ? ) 上恒成立,即 m

1? x

2

在 [1, ? ? )

上恒成立,故 m

) m ax ? 1 ,所以 m

的取值范围是 [1, ? ? ) .…………………9 分
m x ? 2 ln x ? 2e x 2e x

(3)构造函数 F ( x ) ?

f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ?



当m 使得 当m
2

?0

时,由 x ? ?1, e ? 得, m x ?

m x

? 0

, ? 2 ln x ?

? 0

,所以在 ?1, e ? 上不存在一个 x 0 ,

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h ( x0 ) .
?0

时, F ? ( x ) ?

m?

m x
2

?

2 x

?

2e x
2

?

m x ? 2 x ? m ? 2e
2

x

2

,因为 x ? ?1, e ? ,所以 2 e ? 2 x

? 0



mx ? m ? 0

,所以 F ?( x ) ? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立,故 F ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递增,
m e ? ?4

F ( x ) m ax ? F ( e ) ? m e ? me ? m e ?4 ? 0

,所以要在 ?1, e ? 上存在一个 x 0 ,使得 F ( x ) ? 0 ,必须且只需
4e

,解得 m

e ?1
2

,故 m 的取值范围是 ( .
m ?

4e e ?1
2

, ?? )

.…………………14 分

另法:(Ⅲ)当 x

? 1 时, f (1) ? g (1) ? h (1)

当 x ? (1, e ] 时,由
2

f (x) ? g (x) ? h(x)
2

,得
? 0

2 e ? 2 x ln x x ?1
2

, 令 G ( x) ?

2 e ? 2 x ln x x ?1
2

,则

G ?( x ) ?

( ? 2 x ? 2 ) ln x ? ( 2 x ? 4 ex ? 2 ) ( x ? 1)
2 2

,所以 G ( x ) 在 (1, e ] 上递减,

G ( x ) m in ? G ( e ) ?

4e e ?1
2


f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) ,必须且只需 m ?
4e e ?1
2

综上,要在 ?1, e ? 上存在一个 x 0 ,使得




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