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2016年天津市高考数学试卷(文科)



2016 年天津市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2016?天津)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( ) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】根据题意,将集合 B 用列举法表示出来,可得 B={1,3,5},由交集的定义计算 可得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={1,2,3},而 B={y|y=2x﹣1,x∈A}, 则 B={1,3,5}, 则 A∩B={1,3}, 故选:A. 【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B 的表示方法. 2. (2016?天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输 的概率为( A. B. ) C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件. ∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P= + = . 故选:A. 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系,然后选择合 适的概率公式,属于基础题. 3. (2016?天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视 图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

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A. B. C. D. 【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出答案. 【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C,

棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1, 故选 B. 【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于基础题.

4. (2016?天津)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的焦距为 2 )

,且双曲线的一条渐

近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( A. ﹣y =1
2

B.x ﹣

2

=1

C.



=1 D.



=1

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法. 【分析】利用双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直

线 2x+y=0 垂直,求出几何量 a,b,c,即可求出双曲线的方程. 【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,

∴c= , ∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,
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∴ = , ∴a=2b, 2 2 2 ∵c =a +b , ∴a=2,b=1, ∴双曲线的方程为 =1.

故选:A. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的几何量是关 键. 5. (2016?天津)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】应用题;转化思想;分析法;简易逻辑. 【分析】直接根据必要性和充分判断即可. 【解答】 解: 设 x>0, y∈R, 当 x=0, y=﹣1 时, 满足 x>y 但不满足 x>|y|, 故由 x>0, y∈R, 则“x>y”推不出“x>|y|”, 而“x>|y|”?“x>y”, 故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件, 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 6. (2016?天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, 若实数 a 满足 f(2 A. (﹣∞, )
|a﹣1|

)>f(﹣

) ,则 a 的取值范围是(



B. (﹣∞, )∪( ,+∞)

C. ( , ) D. ( ,+∞)

【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的对称性可知 f(x)在(0,+∞)递减,故只需令 2 < 即可. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵2 ∴2
|a﹣1| |a﹣1| |a﹣1|

>0,f(﹣ < =2 , . .

)=f(

) ,

∴|a﹣1| 解得

故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题.

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7. (2016?天津)已知△ ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点, 连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 A.﹣ B. C. D. ? 的值为( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】由题意画出图形,把 【解答】解:如图, 、 都用 表示,然后代入数量积公式得答案.

∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点,且 DE=2EF, ∴ = = = ? = = = . = =

故选:B. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题.
2

8. (2016?天津)已知函数 f(x)=sin

+ sinωx﹣ (ω>0) ,x∈R,若 f(x)在区间(π, ) D. (0, ]∪[ , ]

2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是( A. (0, ]

B. (0, ]∪[ ,1) C. (0, ]

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.

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【分析】函数 f(x)=

,由 f(x)=0,可得

=0,

解得 x= ω?

?(π,2π) ,因此 ∪ ∪ ∪…= + sinωx﹣ = =0, , ∪ ,即可得出.

【解答】解:函数 f(x)= = + sinωx

由 f(x)=0,可得

解得 x= ∴ω?

?(π,2π) , ∪ ∪ ∪…= ∪ ,

∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点, ∴ω∈ ∪ .

故选:D. 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 二.填空题(共 6 小题) 9. (2016?天津)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 1 . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由(1+i)z=2, 得 ,

∴z 的实部为 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 10. (2016?天津)已知函数 f(x)=(2x+1)e ,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值 为 3 . 【考点】导数的运算. 【专题】计算题;函数思想;定义法;导数的概念及应用. 【分析】先求导,再带值计算. x 【解答】解:∵f(x)=(2x+1)e , x x ∴f′(x)=2e +(2x+1)e ,
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x

∴f′(0)=2e +(2×0+1)e =2+1=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 11. (2016?天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 4 .

0

0

【考点】程序框图. 【专题】转化思想;综合法;算法和程序框图. 【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出 S 的值. 【解答】解:第一次循环:S=8,n=2; 第二次循环:S=2,n=3; 第三次循环:S=4,n=4, 结束循环,输出 S=4, 故答案为:4. 【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题. 12. (2016?天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为 (x﹣2) +y =9 .
2 2

)圆 C 上,且圆心到直线

【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;直线与圆. 【分析】由题意设出圆的方程,把点 M 的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线的距离列式 求解. 2 2 2 【解答】解:由题意设圆的方程为(x﹣a) +y =r (a>0) , 由点 M(0, )在圆上,且圆心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ,

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,解得 a=2,r=3.
2 2

∴圆 C 的方程为: (x﹣2) +y =9. 2 2 故答案为: (x﹣2) +y =9. 【点评】本题考查圆的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题. 13. (2016?天津)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED, 则线段 CE 的长为 .

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;直线与圆. 【分析】由 BD=ED,可得△ BDE 为等腰三角形,过 D 作 DH⊥AB 于 H,由相交弦定理求 得 DH,在 Rt△ DHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE. 【解答】解:如图, 过 D 作 DH⊥AB 于 H, ∵BE=2AE=2,BD=ED, ∴BH=HE=1,则 AH=2,BH=1, ∴DH =AH?BH=2,则 DH= 在 Rt△ DHE 中,则 由相交弦定理可得:CE?DE=AE?EB, ∴ 故答案为: . .
2

, ,

【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应用,是中档题.

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14. (2016?天津)已知函数 f(x)=

(a>0,且 a≠1)在 R [ ,

上单调递减, 且关于 x 的方程|f (x) |=2﹣ 恰有两个不相等的实数解, 则 a 的取值范围是 ) .

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由减函数可知 f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或等于第二 段上的最大值,作出|f(x)|和 y=2﹣ 的图象,根据交点个数判断 3a 与 2 的大小关系,列 出不等式组解出. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的单调递减函数, 2 ∴y=x +(4a﹣3)x+3a 在(﹣∞. ,0)上单调递减,y=loga(x+1)+1 在(0,+∞)上单调 递减, 且 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于 f(0) .



,解得 ≤a≤ .

作出 y=|f(x)|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示:

∵|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解, ∴3a<2,即 a 综上, . .

故答案为[ , ) .

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【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图象判断端点 值的大小是关键,属于中档题. 三.解答题(共 6 小题) 15. (2016?天津) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 asin2B= (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 【考点】解三角形. 【专题】对应思想;综合法;解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB; (2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算. 【解答】解: (1)∵asin2B= bsinA, ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA, ∴cosB= ,∴B= . , = .

bsinA.

(2)∵cosA= ,∴sinA=

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题. 16. (2016?天津)某化工厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料,生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示: A B C 4 8 3 甲 5 5 10 乙 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥 料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车品乙种肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料,求出此最大利润. 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】函数思想;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)根据原料的吨数列出不等式组,作出平面区域; (2)令利润 z=2x+3y,则 y=﹣ 解. ,结合可行域找出最优解的位置,列方程组解出最优

【解答】解: (1)x,y 满足的条件关系式为:



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作出平面区域如图所示:

(2)设利润为 z 万元,则 z=2x+3y. ∴y=﹣ x+ . ∴当直线 y=﹣ x+ 经过点 B 时,截距 最大,即 z 最大. 解方程组 得 B(20,24) .

∴z 的最大值为 2×20+3×24=112. 答:当生产甲种肥料 20 吨,乙种肥料 24 吨时,利润最大,最大利润为 112 万元. 【点评】本题考查了简单的线性规划的应用,抽象概括能力和计算求解能力,属于中档题. 17. (2016?天津)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABNCD,EF∥AB, AB=2,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点. (1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形,再根据线面 平行的判定定理即可证明; (2)根据余弦定理求出 BD= ,继而得到 BD⊥AD,再根据面面垂直的判定定理即可证 明;
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(3)先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角,再根 据余弦定理和解直角三角形即可求出答案. 【解答】证明: (1)BD 的中点为 O,连接 OE,OG,在△ BCD 中, ∵G 是 BC 的中点, ∴OG∥DC,且 OG= DC=1, 又∵EF∥AB,AB∥DC, ∴EF∥OG,且 EF=0G, 即四边形 OGEF 是平行四边形, ∴FG∥OE, ∵FG?平面 BED,OE?平面 BED, ∴FG∥平面 BED; (2)证明:在△ ABD 中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°, 由余弦定理可得 BD= ,仅而∠ADB=90°, 即 BD⊥AD, 又∵平面 AED⊥平面 ABCD, BD?平面 ABCD,平面 AED∩平面 ABCD=AD, ∴BD⊥平面 AED, ∵BD?平面 BED, ∴平面 BED⊥平面 AED. (Ⅲ)∵EF∥AB, ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角, 过点 A 作 AH⊥DH 于点 H,连接 BH, 又平面 BED∩平面 AED=ED, 由(2)知 AH⊥平面 BED, ∴直线 AB 与平面 BED 所成的为∠ABH, 在△ ADE,AD=1,DE=3,AE= ∴sin∠ADE= ∴AH=AD? , , = , ,由余弦定理得 cos∠ADE= ,

在 Rt△ AHB 中,sin∠ABH=

∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值

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【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面所成的角, 考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题. 18. (2016?天津)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N ) ,且 (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N ,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1) b
* n *



=

,S6=63.

}的前 2n

项和. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q,利用求和公式解出 a1,得出通项 公式; (2)利用对数的运算性质求出 bn,使用分项求和法和平方差公式计算. 【解答】解: (1)设{an}的公比为 q,则 ﹣ = ,即 1﹣ = ,

解得 q=2 或 q=﹣1. 若 q=﹣1,则 S6=0,与 S6=63 矛盾,不符和题意.∴q=2, ∴S6=
n﹣1

=63,∴a1=1.

∴an=2 . (2)∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项, ∴bn= (log2an+log2an+1)= (log22 ∴bn+1﹣bn=1. ∴{bn}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列. 设{(﹣1) bn }的前 n 项和为 Tn,则 2 2 2 2 2 2 Tn=(﹣b1 +b2 )+(﹣b3 +b4 )+…+(﹣b2n﹣1 +b2n ) =b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n
n 2 n﹣1

+log22 )=n﹣ .

n

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=
2

=

=2n . 【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中档题.

19. (2016?天津)设椭圆

+

=1(a>

)的右焦点为 F,右顶点为 A,已知

+

=

,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ,转化为关于 a

的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ,联立直线方程和椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所在直线方程,求出 H 的坐标,由 BF⊥HF,得 ,整理得到 M 的

坐标与 k 的关系,由∠MOA=∠MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的等式求得 k 的值. 【解答】解: (1)由 + = ,



+ =




2 2

=
2



∴a[a ﹣(a ﹣3)]=3a(a ﹣3) ,解得 a=2. ∴椭圆方程为 ;

(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) , 设 B(x1,y1) ,M(x0,k(x0﹣2) ) , ∵∠MOA=∠MAO, ∴x0=1, 再设 H(0,yH) ,

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联立
2 2

,得(3+4k )x ﹣16k x+16k ﹣12=0.
2 2

2

2

2

2

△ =(﹣16k ) ﹣4(3+4k ) (16k ﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 ,







MH 所在直线方程为 y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0) , 令 x=0,得 yH=(k+ )x0﹣2k, ∵BF⊥HF, ∴ ,

即 1﹣x1+y1yH=1﹣

[(k+ )x0﹣2k]=0,

整理得:

=1,即 8k =3.

2

∴k=﹣

或 k=



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整体运算” 思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题. 20. (2016?天津)设函数 f(x)=x ﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0) ,其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0; (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【专题】压轴题;转化思想;分类法;导数的综合应用. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,讨论 a≤0 时 f′(x)≥0,f(x)在 R 上递增;当 a>0 时, 由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间; (2)由条件判断出 a>0,且 x0≠0,由 f′(x0)=0 求出 x0,分别代入解析式化简 f(x0) ,f (﹣2x0) ,化简整理后可得证; (3)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,根据极值点与区间的关系对 a 分三种情况讨 论,运用 f(x)单调性和前两问的结论,求出 g(x)在区间上的取值范围,利用 a 的范围 化简整理后求出 M,再利用不等式的性质证明结论成立. 3 2 【解答】解: (1)若 f(x)=x ﹣ax﹣b,则 f′(x)=3x ﹣a,
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3

分两种情况讨论: ①、当 a≤0 时,有 f′(x)=3x ﹣a≥0 恒成立, 此时 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞) , ②、当 a>0 时,令 f′(x)=3x ﹣a=0,解得 x= 当 x> 当﹣ 或 x<﹣ <x<
2 2 2

或 x=



时,f′(x)=3x ﹣a>0,f(x)为增函数,
2

时,f′(x)=3x ﹣a<0,f(x)为减函数, ) , ( ,+∞) ,减区间为(﹣ , ) ;

故 f(x)的增区间为(﹣∞,﹣

(2)若 f(x)存在极值点 x0,则必有 a>0,且 x0≠0, 由题意可得,f′(x)=3x ﹣a,则 x0 = , 进而 f(x0)=x0 ﹣ax0﹣b=﹣
3 3 2 2

x0﹣b,

又 f(﹣2x0)=﹣8x0 +2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0) , 由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数 x1,满足 f(x1)=f(x0) ,其中 x1≠x0, 则有 x1=﹣2x0,故有 x1+2x0=0; (Ⅲ)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,max{x,y}表示 x、y 两个数的最大值, 下面分三种情况讨论: ①当 a≥3 时,﹣ ≤﹣1<1≤ ,

由(I)知 f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1) ,f(﹣1)], 因此 M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}= 所以 M=a﹣1+|b|≥2 ②当 a<3 时, =f ( ) , f (1) ≤ ) ,f(﹣ )], |,| , , |} , = , ,

由 (Ⅰ) 、 (Ⅱ) 知, f (﹣1) ≥

所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f( 因此 M=max{|f( =max{| |,| )|,|f(﹣ |}= )|}=max{|

③当 0<a< 时,

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由 (Ⅰ) 、 (Ⅱ) 知, ( f ﹣1) <

=f (

) , ( f 1) >

=



所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1) ,f(1)], 因此 M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|> , 综上所述,当 a>0 时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 . 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分类讨论的思 想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运算能力,属于难题.

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