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几何概型课件



几何概型
阿城二中数学组 林占生

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这是古典概型,它是这样定义的: (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.
其概率计算公式:
A包含的基本事件的个数

P(A)=

基本事件的总数

下面

是运动会射箭比赛的靶面,靶面半径为 10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ,假设 每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?
不是为古典概 型?

设“射中黄心”为事件A
A对应区域的面积 1 P( A) ? ? 试验全部结果构成区域 的面积 100

500ml水样中有一只草履虫,从中随机取 出2ml水样放在显微镜下观察,问发现草履 虫的概率?
不是古典概型!

设“在2ml水样中发现草履虫”为事 件A

A对应区域的体积 2 1 P( A) ? ? ? 试验全部结果构成区域 的体积 500 250

某人在7:00-8:00任一时刻随机到达单位, 问此人在7:00-7:10到达单位的概率?

设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
A对应区域的长度 1 P( A) ? ? 试验全部结果构成区域 的长度 6
不是古典概 型!

问此人在7:50-8:00到达单位的概率?

类比古典概型,这些实验有什么特点? 概率如何计算?

1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,随机射箭,
假设每箭都能中靶,射中黄心的概率
A对应区域的面积 1 P( A) ? ? 试验全部结果构成区域 的面积 100 500ml水样中有一只草履虫,从中随机取出2ml水样放 在显微镜下观察,发现草履虫的概率

2

P( A) ?

A对应区域的体积 1 ? 试验全部结果构成区域 的体积 250

3 某人在7:00-8:00任一时刻随机到达单位,此人
在7:00-7:10到达单位的概率 A对应区域的长度 1 P( A) ? ? 试验全部结果构成区域 的长度 6

几何概型定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积和体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型,简称几何 概型。
几何概型的特点:

(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

问题:(1)x的取值是区间[1,4]中的整数, 任取一个x的值,求 “取得值大于2”的概 率。

古典概型 P = 3/4

(2)x的取值是区间[1,4]中的实数,任取一 个x的值,求 “取得值大于2”的概率。

1

2

3

4

几何概型 P = 2/3
总长度3

? 问题3:有根绳子长为3米,拉直后 任意剪成两段,每段不小于1米的 概率是多少?
P(A)=1/3
思考:怎么把随机事件转化为线段?

例2(1)x和y取值都是区间[1,4]中的 整数,任取一个x的值和一个y的值,求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1

作直线 x - y=1
古典概型

P=3/8

-1

1

2

3

4

x

例2(2)x和y取值都是区间[1,4]中的实数, 任取一个x的值和一个y的值, 求 “ x – y ≥1 ”的概率。

y 4 3 2 1
E A B D C

作直线 x - y=1 几何概型

F

P=2/9

-1

1

2

3

4

x

练一练
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解:记“灯与两端距离都大于3m”为事件A,
由于绳长8m,当挂灯位置介于中间2m 时,事件A发生,于是

2 1 事件A发生的概率P( A)? ? 8 4

数学应用
例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机 向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
2a

解:

记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa2 π P(A)? ? ? 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4

应用巩固:
与长度成比例 (1)在区间(0,10)内的所有实数中随机取一个实数 a,

则这个实数a>7的概率为

0.3 .

与面积成比例 (2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏

着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004 与体积成比例

(3) 在1000mL的水中有一个草履虫,现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率.
0.002

七、课堂小结
?

几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

古典概型

几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性

相同 区别 求解方法

基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性

列举法

几何测度法

七、课堂小结

用几何概型解决实际问题的方法. (1)选择适当的观察角度,转化为几何概型. (2)把基本事件转化为与之对应区域的 长度(面积、体积) (3)把随机事件A转化为与之对应区域的 长度(面积、体积) (4)利用几何概率公式计算

练习
1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求汽 车在1~3分钟之间到达的概率。 分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则 3?1 2 P ( A) ? ? 5 5 2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事 件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

3.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位 置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事 件A发生的概率P(A)=1/3。

4.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点 M,求AM小于AC的概率。 分析:点M随机地落在线段AB上,故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’ 上时,AM<AC,故线段AC’即为区域d。 解: 在AB上截取AC’=AC,于是 P(AM<AC)=P(AM<AC’)

AC' AC 2 = = = AB AB 2
则AM小于AC的概率为
2 2

解:如图,当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界), 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心,2为半径的圆的外

部(含边界).
故所求概率

5.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线,则 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 解:记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长},取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解,有
1 P ( A) ? 3
B

.0 C E D

1 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3



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