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圆锥曲线



圆锥曲线
复习策略
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等 价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决这类问题常用定义法和待定 系数法. 圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用、与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参 数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、向量等知 识的横向联系

,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进 行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的 完整. 圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容.圆锥曲线试题的类型、特点与学习 的方法主要归结如下: 1.求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,试题一般涉及量较多,计算量大.要 求较强的运算能力.在计算中,首先要明确运算方向,还要注意运算合理,运算的技巧,使 运算简练. 2.试题注重对解析几何基本方法的考查,要求会建立适当的直标坐标系,把平面几何 问题转化为代数问题. 3.注意用圆锥曲线的定义解题.有关圆锥曲线上的点到焦点的距离,到准线的距离, 离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解. 4.对称问题是高考的热点,注意关于原点,x 轴、y 轴,关于直线 y=±x 对称的两曲 线方程的特点. 5.一些试题将解析几何问题与数列问题,极限问题,不等式问题,函数问题综合在一 起,对解决数学综合问题的能力要求更高,此时要充分利用解几的特点,运用数形结合,用 代数的方法解决几何的问题.

典例剖析
例 1 双曲线
x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦点距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1, a 2 b2
4 5

0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? c. 求双曲线的离心率 e 的取值范 围. 解析 直线 l 的方程为
x y ? ? 1 ,即 a b
bx ? ay ? ab ? 0.

由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ? 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ? , a2 ? b2 2ab 2ab 4 2ab 4 ? c, 即 s ? d1 ? d 2 ? ? . 由 s ? c, 得 2 2 5 c 5 c a ?b
b(a ? 1)

b(a ? 1) a2 ? b2



5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .
5 ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 4

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0. 解不等式,得

所以 e 的取值范围是

5 ? e ? 5. 2

点评 本题主要考查点到直线的距离、 双曲线的基础知识. 解题突破口: 只要直接用已知 “到 直线 l 的距离之和 s ? c. ” 这个条件列出只含有 a、 不等式 ,再通过变形为一个只有 e ? c 的不等式,解不等式即可求双曲线的离心率 e 的取值范围. 例2 设双曲线 C:
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B. a2
5 PB. 求 a 的值. 12 4 5

c a

(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

解析(I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组 ? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ? 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
?1 ? a 2 ? 0. ? 所以? 4 解得0 ? a ? 2且a ? 1. ?4a ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0. ?

双曲线的离心率
e? 1? a2 ? a 1 6 ? 1.? 0 ? a ? 2且a ? 1,? e ? 且e ? 2 2 2 a 6 , 2 ) ? ( 2 ,??). 2

即离心率e的取值范围为 (

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P(0,1)
? PA ? 5 5 5 PB,? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1).由此得 x1 ? x2 . 12 12 12

由于 x1+x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0,
17 2a 2 x2 ? ? . 12 1? a 2 17 由a ? 0, 所以a ? . 13 所以 5 2 2a 2 2a 2 289 x2 ? ? .消去, x 2 , 得 ? ? 2 12 60 1? a 1? a 2

点评本题主要考查直线和双曲线的概念和性质, 平面向量的运算等解析几何的基本思想和综 合解题能力. 解题突破口:因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点 A、B.故将问题 转化为方程及函数问题解决. 例 3(1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的标准方程; (2)已知椭圆 C 的方程是
x2 y2 B ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) . 设斜率为 k 的直线 l ,交椭圆 C 于 A 、 a2 b2

两点, AB 的中点为 M . 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上; (3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作 图步骤,并在图中标出椭圆的中心. x2 y2 解析 (1)设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0 , ∴ a b

即椭圆的方程为 a2 ? b2 ? 4,

x2 y2 4 2 ( 在椭圆上, ∴ 2 ? ?1, ? 2 ? 1 , ∵ 点 ? 2,? 2 ) b ? 4 b2 b ?4 b
2

解得 b 2 ? 4 或 b 2 ? ?2 (舍),由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 与椭圆 C 的交点 A ( x1 ,

x2 y2 ? ? 1. 8 4

y1 )、 B ( x2 ,

y 2 ),

? y ? kx ? m ? 则 有 ? x2 , 解 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0 , ∵ ? ? 0 , ∴ y2 ? 2 ?1 ?a2 b ?
m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 ,即 ? b 2 ? a 2 k 2 ? m ? b 2 ? a 2 k 2 .
则 x1 ? x2 ? ?
? a 2 km ?? 2 ? b ? a2k 2 , ?
2

2a 2 km , b2 ? a 2k 2
? ?. ? ?

y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ?

2b 2 m , ∴ AB 中点 M 的坐标为 b2 ? a 2k 2

b2m b ? a2k 2

∴ 线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b 2 x ? a 2 k y ? 0 上.

B CD (3) 如图, 作两条平行直线分别交椭圆于 A 、 和 C、D , 并分别取 AB 、 的中点 M、N ,
连接直线 MN ; 又作两条平行直线 (与前两条直线不平行) 分别交椭圆于 A1 、B1 和 C1、D1 , 并分别取 A1 B1 、C1 D1 的中点 M 1、N1 , 连接直线 M 1 N 1 , 那么直线 MN 和 M 1 N 1 的交点 O 即 为椭圆中心.

例 4 已知椭圆

x2 y 2 6 ,过点 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a 2 b2 3

A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(I)求椭圆方程; (II)已知定点 E(-1,0),若直线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭 圆交于 C、D 两点,试判断:是否存在 k 的值,使以 CD 为 直径的圆过点 E?若存在,求出这个值,若不存在,说明理 由. 解析(I) e ?
c ? a a2 ? b2 6 a2 ? b2 2 ? ,? ? , a 3 a2 3

? a 2 ? 3b 2 ,即a ? 3b. 过 A(0,-b),B(a,0)的直线为
把 a= 3 b 代入,即 x- 3 y- 3 b=0,又由已知
x2 ? y 2 ? 1. 3

x y ? ? 1, a b
3 , 2

| ? 3b | 1 ? ( 3)2

?

解得 b=1, ∴a= 3 .所求方程为

(II)设(x1,y1), D(x2, y2).

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 3 消去 y, 得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0. ? y ? kx ? 2. ? 必须1 ? 3k 2 ? 0且? ? (12k ) 2 ? 36(1 ? ① 2 ) ? 0,? k ? ?1或k ? 1 3k

要存在 k 的值使以 CD 为直径的圆过 E 点,即要使 CE⊥DE.要使 k 满足①且使
y1 y ? 2 ? ?1,即x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? y1 y2 ? 0 x1 ? 1 x2 ? 1
? y1 ? kx1 ? 2, y2 ? kx2 ? 2.



∴②式即
? x1 ? x2 ?

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 5 ? 0



?12k 9 , x1 x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 7 满足①. 6 7 . 6

代入③得 9k 2 ? 9 ? 24k 2 ? 12k ? 5 ? 15k 2 ? 0,? k ?

∴存在 k 的值使以 CD 为直径的圆过 E 点,这个值是

点评(1) 直接由已知条件求得 (2) 有关直线与圆锥曲线问题一般联立直线与圆锥曲线方程 组然后由直线与椭圆交于 C、 两点得△>0, 使以 CD 为直径的圆过 E 点, D 即要使 CE⊥DE, 利用韦达定理解决此类问题. 例 5 已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭 圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3 , ?1) 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值.

解析(I)设椭圆方程为

x2 y2 ? =1(a>b>0),F(c,0). 则直线 AB 的方程为 y=x-c, a2 b2

x2 y2 代入 2 ? 2 =1,化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.令 A(x1,y1),B(x2,y2), a b
则 x1+x2=

a c ?a b 2a 2 c ,x1x2= . 2 2 a ?b a2 ? b2
2 2 2 2

由 OA ? OB =(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), OA ? OB 与 a 共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0. 又 即 ∴ y1=x1-c,y2=x2-c, ∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, ∴ x1+x2=

3c . 2

2a 2 c 3c ,所以 a2=3b2. ? a 2 ? b2 2

c= a 2 ? b 2 ?

6a , 3

故离心率 e=

c 6 . ? a 3

(II)证明:由(I)知 a2=3b2,所以椭圆

x2 y2 ? 2 =1 可化为 x2+3y2=3b2. 设 OM =(x,y),由 2 a b

已知得 (x,y)=λ (x1,y1)+μ (x2,y2), x=λ x1+μ x2, ∴ y=λ y1+μ y2. ∵M(x,y)在椭圆上,∴(λ x1+μ x2)2+3(λ y1+μ y2)2=3b2.
2 2 2 2 即λ 2( x1 +3 y1 )+μ 2( x2 +3 y 2 )+2λ μ (x1x2+3y1y2)=3b2,



由(I)知 x1+x2=

3 3 1 c,a2= c2,b2= c2. 2 2 2

∴x1x2=

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 ? c. a 2 ? b2 8
3 2 9 2 c - c +3c2=0. 2 2

∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=

又 x12 ? 3y12 =3b2, x22 ? 3y 22 =3b2,代入①得λ 2+μ 2=1.故λ 2+μ 2 为定值,定值为 1. 点评本小题主要考查直线方程、 平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识, 考查综合运用 数学知识解决问题及推理的能力. 例 6 已知椭圆 C1 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 4

C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个 交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围.
2 2 解析(Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4

(II)将 y ? kx ? 2代入

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得
?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0,



1 k2 ? . 4


x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

将y ? kx ? 2代入

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

?1 ? 3k 2 ? 0, ? ? ?? 2 ? (?6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ? 1 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 3
设A( x A , y A ), B( x B , y B ), 则x A ? x B ? 6 2k ?9 , x A ? xB ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

由OA ? OB ? 6得x A x B ? y A y B ? 6, 而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? (kx A ? 2 )(kxB ? 2 )

? (k 2 ? 1) x A xB ? 2 k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

于是
k2 ?

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
13 1 或k 2 ? . 15 3



由①、②、③得
1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15

故 k 的取值范围为 (?1,?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? ) ? ( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

例 7 已知点 A(-2, 3 ), 是椭圆 F

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点, M 在椭圆上移动, 点 当|MA|+2|MF| 16 12
y M A O F P x

取最小值时,求点 M 的坐标. 解析设直线 L 是椭圆的右准线,MP⊥L,垂足为 P, 则

MF MP

=e,即 | MP |? | MF | .

1 e

由已知可得:a=4,b=2 3 , 所以 c=2,e=

c 1 ? ,故 MP ? 2 MF , a 2

L

从而|MA|+2|MF|=|MA|+|MP|≥|AP|. 当且仅当 M,A,P 三点共线且 M 是 AP 内分点时,取等号,此时点 M 的纵坐标为 3 , 代入已知椭圆方程,得 2,取 x = 2 3 . 所以当|MA|+2|MF|取最小值时,点 M 的坐标为(2 3 , 3 ).

x2 3 ? ? 1 ,解之得 x= ?2 3 ,由于 M 点是 AP 的内分点,故 x>- 16 12

→ → → → 例 8 如图,已知点 P(3,0),点 A、B 分别在 x 轴负半轴和 y 轴上,且BP·BA=0,AC=2BA, 当点 B 在 y 轴上移动时,记点 C 的轨迹为 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)已知向量→=(1,0),→=(0,1),过点 Q(1,0)且以向量→+k→(k∈R)为方向向量的直 i j i j → → 线 l 交曲线 E 于不同的两点 M、N,若 D(-1,0),且DM·DN>0,求 k 的取值范围. y B A 0 C → 解析(1)设 A(a,0)(a<0=,B(0,b),C(x,y)则AC=(x-a,y), → → BA=(a,-b),BP=(3,-b),

P

x

?3a +b=0 ? → → → → ∵BP·BA=0,AC=2BA,∴?x-a=2a ?y=-2b ?
消去 a、b 得:y2=-4x , ∵a<0, ∴x=3a<0. 故曲线 E 的方程为 y2=-4x ( x ? 0)

2

→ (2)设 R(x,y)为直线 l 上一点,由条件知QR=λ(→+k→) i j
?x-1=λ 即(x-1,y)=λ(1,k)∴? ,消去 λ 得 l 的方程为:y=k(x-1) ?y=kλ ?y=k(x-1) 由? 2 ?k2x2-2(k2-2)x+k2=0 ?y =-4x

……(*)∵直线 l 交曲线 E 与不同的两点 M、N

∴△>0 ? -1<k<1

??①

→ → 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则DM=(x1+1,y1),DN=(x2+1,y2) ∵M、N 在直线 y=k(x-1)上, ∴y1=k(x1-1),y2=k(x2-1) 2(k2-2) 又由(*),有 x1+x2= ,x1x2=2 k2 → → ∴DM·DN=(x1+1)(x2+1)+y1y2 =(x1+1)(x2+1)+k2(x1-1)(x2-1) =(k2+1)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+k2+1 8k2-4 = 2 k 8k2-4 1 由条件知: 2 >0 ?k2> k 2 由①②知:-1<k<- 2 2 或 <k<1. 2 2
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2

??②

点评利用化归思想把给出的平面向量条件转化为坐标来解决. 例 9 已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l 过点(0,-2 3 )和椭圆 C:

的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,满足 OM ? ON ? ∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 解析(I)解法一:直线 l : y ? 3x ? 2 3 , 过原点垂直 l 的直线方程为 y ? ? 解①②得 x ? . ∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,? ∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).
? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2.

4 6 cot 3

① ②

3 x, 3

3 2

a2 3 ? 2 ? ? 3. c 2

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2



解法二:直线 l : y ? 3x ? 3 3 .
p ?q ? ? 3? 2 ?2 3 解得 p=3. q ? 3 ? ? ?1. ? p ?

设原点关于直线 l 对称点为(p,q),则 ? 2 ?

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,
? a2 ? 3. c

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). 故椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1. 6 2

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2.



(II)解法一:设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③,整理得
(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0,

? x1 ? x2 ? ?

12k 2 12k 2 ? 6 , x1 ? x2 ? , 2 3k ? 1 3k 2 ? 1

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (?

12k 2 2 12k 2 ? 6 2 6 (1 ? k 2 ) ) ? 4? ? , 2 3k ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

点 O 到直线 MN 的距离 d ?
? OM ? ON ?

| 2k | 1? k 2

4 4 cos?MON 6 cot ?MON, 即 | OM | ? | ON | cos?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin?MON
4 2 4 6 ,? S ?OMN ? 6.? MN | ?d ? | 6, 3 3 3

? OM | ? | ON | sin?MON ? |

即 4 6 | k | k 2 ?1 ?

4 6 (3k 2 ? 1). 3

2 1 3 整理得 k 2 ? ,? k ? ? . 当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S?OMN ? 6. 3 3 3

故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或 y?? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0 所以所求直线方程为 y ?
3 2 3 3 2 3 x? ,或y?? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

解法二:设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m:y=k(x+2)代入③,整理得
(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0, ? x1 ? x2 ? ?

12k 2 , 3k 2 ? 1

∵E(-2,0)是椭圆 C 的左焦点, ∴|MN|=|ME|+|NE|
2 2 2 2 = e( a ? x1 ) ? e( a ? x2 ) ? c ( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2 ? (? 12k ) ? 2 6 ? 2 6 (2k ? 1) . 2

c

c

a

6

3k ? 1

3k ? 1

以下与解法一相同. 解法三:设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 ). 设直线 m : x ? ty ? 2 ,代入③,整理得 (t 2 ? 3) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0.
? y1 ? y2 ? 4t ?2 , y1 y2 ? 2 , t ?3 t ?3
2

|y1-y2|= ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 = (
? OM ? ON ?

4t 2 8 ) ? 2 ? 2 t ?3 t ?3

24t 2 ? 24 (t 2 ? 3) 2

4 4 cos?MON 6 cot ?MON, 即 | OM | ? | ON | cos?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin?MON
4 2 6 ,? S ?OMN ? 6. 3 3

? OM | ? | ON | sin?MON ? |

S?OMN ? S?OEM ? S?OEN ?

1 | OE | ? | y1 ? y2 |? 2

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2



24t 2 ? 24 2 = 6 ,整理得 t 4 ? 3t 2 . (t 2 ? 3) 2 3

解得 t ? ? 3, 或 t ? 0. 故直线 m 的方程为 y ?
3 2 3 3 2 3 x? ,或 y?? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

经检验上述直线方程为 OM ? ON ? 0.

所以所求直线方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或y?? x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 3

点评 本题主要考查椭圆及平面向量的基本知识, 平面解析几何的基本方法和综合解题能力. 例 10 设 P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线 C 上的点, 且 a1= OP 2, 1 a2= OP2 2, …, an= OPn Sn=a1+a2+…+an. ⑴ C 的方程为
x2 y2 =1,n=3. 点 P1(3,0) 及 S3=255, 求点 P3 的坐标;(只需写出一个) ? 100 25 x2 y2 ? ? 1 (a>b>0).点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化时, 求 a 2 b2
2

构成了一个公差为 d(d≠0) 的等差数列, 其中 O 是坐标原点. 记

⑵若 C 的方程为

Sn 的最小值; ⑶ 请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件 的点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件,并说明理由. 解析 本题主要考查等差数列、双曲线、抛物线、椭圆、函数的基础知识,同时考查抽象推 理和理性思维能力. 数列与圆锥曲线结合的综合题在高考中极为少见,本题改变了过去高 考试题中的纯数列问题,或将数列与函数、数列与不等式、数列与三角、数列与实际问题等 相联系的情况,而以圆锥曲线和点列为载体,灵活考查等差数列的定义、性质、通项、前" 项和,以及函数最值等基础知识.三个小题既相互独立,虽没有递进关系,却又形成一个整 体,各有侧重. (1) a1= OP 2=100,由 S3= 1
? x2 y2 ? ?1 ? 由 ?100 25 ? x 2 ? y 2 ? 70 3 ? 3
3 (a1+a3)=255,得 a3= 2
? x32 ? 60
2 ? y3 ? 10

OP3 3=70.

解得 ?

∴点 P3 的坐标可以为(2 15 ,

10 ).

(2) 【解法一】原点 O 到二次曲线 C: 为 a.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大距离 a 2 b2

∵a1= OP 2=a2, ∴d<0,且 an= OPn 2=a2+(n-1)d≥b2, 1 ∴
b2 ? a2 n(n ? 1) ≤d<0. ∵n≥3, >0 2 n ?1 b2 ? a2 n(n ? 1) d 在[ ,0]上递增, 2 n ?1
n(n ? 1) b 2 ? a 2 n(a 2 ? b 2 ) · = . n ?1 2 2

∴Sn=na2+

故 Sn 的最小值为 na2+

【解法二】对每个自然数 k(2≤k≤n),由 x 2 +y 2 =a2+(k-1)d k k

xk2 yk2 + =1 a2 b2

解得 y 2 = k

? b 2 (k ? 1)d , a2 ? b2 b2 ? a2 ≤d<0, k ?1

∵0< y 2 ≤b2,得 k



b2 ? a2 ≤d<0, n ?1

以下与解法一相同.

(3) 【解法一】若双曲线 C:

x2 y2 - 2 =1,点 P1(a,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充 a2 b

要条件是 d>0. ∵原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h∈[ a ,+∞],且 OP =a2, 1 ∴点 P1, P2,…Pn 存在当且仅当 OPn 2> OP 2,即 d>0. 1 【解法二】若抛物线 C:y2=2x,点 P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0.理由同上 【解法三】若圆 C:(x-a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 0<d≤

4a 2 . n ?1

∵原点 O 到圆 C 上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a , 且 OP =0, ∴d>0 且 OPn 2=(n-1)d≤4a2.即 0<d≤ 1
4a 2 . n ?1

点评 解答本题必须紧扣数列{an}是等差数列这个总条件,分别在三个圆锥曲线的情境中加
以充分运用.第(1)小题以双曲线为载体,将等差数列特殊化,使考生对本题首先有一个感 性认识,点 P3 的坐标可以在四种不同形式中任选一种;第(2)、(3)小题分别以抛物线、椭圆 为载体,研究点列 Pn(3≤ n∈N*)的一般性质.等差数列问题的解题依据,无非是定义、性 质,通项及求和公式.该题的解题策略主要是基本量思想,即用首项 a1 与公差 d 表示有关 量,展开探索.其中,证明等差数列问题,常见有三种方法:定义法、通项法、中项法.第 (3)小题可考虑函数思想方法,求 Sn 的最小值(al,n 为常数,n≥3,d 为变量),关键是要分 析出该函数的定义域,对考生的分析推理能力要求较高.

解题技巧
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到 “式” 中特定系数的等量关系, 通过解方程得到量的大小.

圆锥曲线
x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( 1. 若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m
A. 3 B. )

3 2

C .

8 3

D.

2 3

2. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、Q 两 a 2 b2
) C. 2 D. 3

点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e =( A. 3 3. 已知双曲线 B.
2

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, 2 a b a2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 ( ) 2

△OAF 的面积为 A.30?

B.45? C.60? D.90? x2 y2 4.如图,双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任意一点,则分 a b 别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 5. 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? (OA ? OB), 则动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线
x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
1 2

其中真命题的序号为
2

(写出所有真命题的序号)

6. (已知抛物线 y =x+4 上一点 A(0,2)和两个动点 P、Q,当 PQ ? PA 时,点 Q 的纵坐 标取值范围是
2 2


x y ? ? 1 的 右焦点 ,且椭圆上 至少 有 21 个不同 的点 P1 (i ? 1,2,3?), 使 7 6

7. 设 F 是 椭圆

FP 、FP 、FP ,? 组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为 1 2 3



8. 已知圆 C1 的方程为(x-2) +(y-1) =

2

2

x y 20 ,椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 =1(a>b>0),C2 的 3 a b

2

2

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方 2 程和椭圆 C2 的方程.
离心率为

9.已知动圆过定点 ?

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和

? ,当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点
的坐标.

直线与圆锥曲线
1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、 两点, B 它们的横坐标之和等于 5, 则这样的直线 A.有且仅有一条
2

( B.有且仅有两条

) C.有无穷多条

D.不存在

2. 设椭圆

x ? y 2 ? 1 的两个焦点是 F1 ( ?c,0) 与 F2 (c,0) (c>0),且椭圆上存在点 P,使得直线 PP1 m ?1

与直线 PF2 垂直.则实数 m 的取值范围为( A. m≥2 B. m≥1

). C. m>2 D .m>1

3.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合, 则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是( A. 2 3 ? 6 B. 21 C. 18? 12 2 ) D.21 )

4.已知 A,B,C 为双曲线 x2-y2=1 的右支上不同的三点,则 ?ABC 为(

A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不确定 2 5. 给定抛物线 C: =4x, 是 C 的焦点, y F 过点 F 斜率为 1 直线 l 与 C 相交于 A、 两点. B 则
OA 与 OB 夹角的大小为
2 6. 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? , l ? 与椭圆 x 2 ? y ? 1的交点为 A、 , 若 B、

4

点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为

1 的点 P 的个数为 2

.

2 2 7.点 P(-3,1)在椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经 2 2

a

b

直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

.

8. 已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 4

C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个 交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

9. 设圆锥曲线 C 的焦点 F(1,0),相应准线是 y 轴,过焦点 F 并与 x 轴垂直的弦长为 2 2. (1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)若圆锥曲线 C 上有且仅有两个不同的点关于过点 F 的直线对称,求直线 l 的斜率的取值 范围.

轨迹问题
1. 已知点 A(?2,0) 、 B (3,0) ,动点 P( x, y)满足 PA? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ( )

D.抛物线

2. 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一支 3.设 A1、A2 是椭圆 ) B.椭圆 D.抛物线

x2 y2 ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 9 4 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( ) x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 C. 9 4
A. 4. 设 F1 为椭圆 C1 :

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 ? ?1 D. 9 4
B.
( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 的左焦点, M 是 C1 上任意一点, P 是线段 F1 M 的中 16 12

点.则动点 P 的轨迹 C 的方程( A
x2 16

)

?

y2 9

?1

B

x2 9

?

y2 16

?1

C

x2 4

?

y2 3

?1

D

x2 3

?

y2 4

?1

5.过定点 M(m,n)作直线交圆 x2+y2=1 于 A,B,过 A,B 分别引圆的切线交于点 N,则 点 N 的轨迹方程为_________________. 6.双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥ 1P,A2Q⊥ 2P, A A a 2 b2
.

A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,则 Q 点的轨迹方程为

7.设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,则 P 点的轨迹为

.

8. 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ? x 2 上异于坐标原点

O 的两不同动点A、B满足 AO ? BO (如图所示) 求 ?AOB 得重心 G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程.

y
A

B O 第 8 题图 4 9. 设椭圆方程为 x 2 ? P 满足 OP ? 迹方程;
y2 过点 M (0, 的直线 l 交椭圆于点 A、 O 是坐标原点, 点 1) B, ?1 , 4

x

1 1 1 (OA ? OB ) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求:动点 P 的轨 2 2 2



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