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上海市杨浦区2017届初三第二学期质量调研数学试卷及答案



杨浦区 2016 学年度第二学期初三质量调研 数 学 试 卷
(完卷时间 100 分钟 满分 150 分) 2017.4

考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一 律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、 选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中, 有且只有一个选项是正确的, 选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是 (A)实数; (B)有理数; (C)有序实数对; (D)有序有理数对.

2.化简 ?a3 所得的结果是 (A) a a ; (B) ?a ?a ; (C) a ?a ; (D) ?a a .

3.通常在频率分布直方图中,用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率. 因此, 频率分布直方图的纵轴表示 (A) 频数 ; 组距 (B) 频率 ; 组距 (C) 频率 ; 组数 (D) 频数 . 组数

4.如果用 A 表示事件“若 a ? b ,则 a +c ? b +c ” ,用 P(A)表示“事件 A 发生的概率” ,那 么下列结论中正确的是 (A)P(A)=1; (B)P(A)=0; (C)0<P(A)<1; (D)P(A)>1.

5.下列判断不正确的是 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (A)如果 AB ? CD ,那么 AB ? CD ;

? ? ? ? (B) a ? b ? b ? a ; ??? ? ??? ? (D) AB ? BA ? 0 .

? ? ? ? (C)如果非零向量 a ? k ? b ( k ? 0 ) ,那么 a // b ;
6.下列四个命题中真命题是 (A)矩形的对角线平分对角; (C)梯形的对角线互相垂直;

(B)平行四边形的对角线相等; (D)菱形的对角线互相垂直平分.

初三数学质量调研试卷—1—

二、 填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 请写出两个 不相等 的无理数,使它们的乘积为有理数,这两个数可以是 .. ... 8.化简: ▲ .

y?x ? x2 ? y 2



.
3

9. 在实数范围内分解因式: a ? 2a = 10.不等式组 ?

▲ .

.

? x ? 3 ? 7, 的解集是 ▲ ?3 ? x ? ?2
▲ .

11.方程 x 2 ? 5 ? 3 的解是

12.已知点 A(2,-1)在反比例函数 y ?

k (k ≠ 0)的图像上,那么当 x>0 时,y 随 x 的增 x

大而 ▲ . 13.如果将抛物线 y=x2 向左平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位,那么此时抛物线的表达 式是 ▲ . 14.右表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的 次数 40 50 60 70 次数及相应的人数. 则该班级女生本次练习中跳绳 次数的平均数是 ▲ . 人数 2 3 4 1 15.如图,已知:△ABC 中,∠C=90°,AC = 40, BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,AD:DC=5:3,则 D 点到 AB 的距离 16.正十二边形的中心角是 ▲ 度. ▲ .

17.如图,在甲楼的底部 B 处测得乙楼的顶部 D 点的仰角为 ? ,在甲楼的顶部 A 处测得乙 楼的顶部 D 点的俯角为 ? , 如果乙楼的高 DC=10 米, 那么甲楼的高 AB= (用含 ? , ? 的代数式表示). 18.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,CA=CB=4,将△ABC 翻折,使得点 B 与边 AC 的中 点 M 重合,如果折痕与边 AB 的交点为 E,那么 BE 的长为 A A D D B C 甲楼 B
(第 17 题图)







. C

乙楼 C A
(第 18 题图)

第 15 题图

B

三、 解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算: 27 2 ? ( ) ? 3 ? 8 ? ( 3 ? 2) .
0 2 1

1 3

?1

初三数学质量调研试卷—2—

20. (本题满分 10 分) 解方程:

3 1 ? ? 1. x ? 3 1? x

21. (本题满分 10 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分) 已知:如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,tanA= (1)求:△ABC 的面积; (2)若以 C 为圆心的圆 C 与直线 AB 相切,以 A 为圆心 的圆 A 与圆 C 相切,试求圆 A 的半径. A
(第 21 题图)

3 ,AB=14. 4

C

B

22. (本题满分 10 分,第(1) 、 (2)小题各 2 分,第(3)小题 6 分) 水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果,批发该种水果 x 千克时,在甲、乙两 家商店所花的钱分别为 y1 元和 y2 元, 已知 y1 、y2 关于 x 的函数图像分别为如图所示的折线 OAB 和射线 OC. (1) 当 x 的值为 (2) 当 x 的值为 时,在甲乙两家店所花钱一样多? 时,在乙店批发比较便宜? y(元) C B A x (千克)

(3) 如果批发 30 千克该水果时,在甲店批发比在乙店批 发便宜 50 元,求射线 AB 的表达式,并写出定义域. 200

O 10 20
(第 22 题图)

23. (本题满分 12 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 5 分) 已知:如图,四边形 ABCD 中,DB⊥BC, DB 平分∠ADC,点 E 为边 CD 的中点,AB⊥BE. (1)求证: BD 2 ? AD ? DC ; (2)联结 AE,当 BD=BC 时,求证:ABCE 为平行四边形. A B

D

E
(第 23 题图)

C

初三数学质量调研试卷—3—

24. (本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 5 分) 如图, 已知抛物线 y ? ax 2 ? x ? c 的对称轴为直线 x=1, 与 x 轴的一个交点为 A (-1, 0) , 顶点为 B. 点 C(5,m)在抛物线上,直线 BC 交 x 轴于点 E. (1) 求抛物线的表达式及点 E 的坐标; (2) 联结 AB,求∠B 的正切值; (3) 点 G 为线段 AC 上一点,过点 G 作 CB 的垂线交 x 轴于点 M(位于点 E 右侧) , y 当△CGM 与△ABE 相似时,求点 M 的坐标. C

A

O B

E

x

(第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 已知:以 O 为圆心的扇形 AOB 中,∠AOB=90° ,点 C 为 ? AB 上一动点,射线 AC 交射 线 OB 于点 D,过点 D 作 OD 的垂线交射线 OC 于点 E,联结 AE. (1) 如图 1,当四边形 AODE 为矩形时,求∠ADO 的度数; (2) 当扇形的半径长为 5,且 AC=6 时,求线段 DE 的长; (3) 联结 BC,试问:在点 C 运动的过程中,∠BCD 的大小是否确定?若是,请求出它 的度数;若不是,请说明理由. A C E A C D O B
(备用图) (第 25 题图)

E D

O

B
(图 1)

初三数学质量调研试卷—4—

杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议 2017.4
四、 选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. C; 2.B; 3. B; 4. A; 5. D;6. D 五、 填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.略; 10. 4 ? x ? 5 ; 13. y ? ( x ? 4) ? 2 ;
2

?1 ; x? y 11. 2或-2 ;
8. 14. 54; 17. 10 ? 10cot ? tan ? ;

9. a(a ? 2)(a ? 2) ; 12. 增大; 15. 15; 18.

16. 30;

5 2 . 3

六、 解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 解:原式= 27 ? 3 ? 3 ? 1 ? (7 ? 4 3) ???????????????????(6 分) = 3 3 ? 1 ? 1 ? 7 ? 4 3 ??????????????????????(2 分) = 7 3 ? 7 ????????????????????????????(2 分) 20. (本题满分 10 分) 解:去分母得 3(1 ? x) ? ( x ? 3) ? (1 ? x)( x ? 3) . 整理得 解得 ???????????????(3 分)

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . ?????????????????????(3 分) ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 .
????????????????????(1 分)

????????????????????(2 分) x1 ? ?1 ,x1 ? 3 . 经检验 x1 ? ?1 , x1 ? 3 都是原方程的根.?????????????????(1 分) 21. (本题满分 10 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分) 解: (1)作 CH⊥AB,垂足为点 H. ∵tanA=

3 ,∴设 CH=3x,那么 AH=4x. ??????????????(1 分) 4

∵∠ABC=45° ,∴BH=CH=3x. ??????????????????(1 分) ∵AB=14,∴3x+4x=14. ?????????????????????(1 分) ∴x=2,即 CH=6. ????????????????????????(1 分) ∴△ABC 的面积等于 42. ?????????????????????(1 分) (2)设圆 A 的半径为 RA,圆 C 的半径为 RC. ∵以 C 为圆心的的圆 C 与直线 AB 相切, ∴RC=CH=6. ???????????????????????????(1 分) ∵圆 A 与圆 C 相切,∴AC= RA+ RC,或 AC= RA- RC. ?????????(2 分) ∵CH=6,AH=8,∴AC=10. ∴10= RA+6,或 10= RA-6. ∴RA=4 或 16. ??????????????????????????? (2 分) 即圆 A 的半径为 4 或 16.
初三数学质量调研试卷—5—

22. (本题满分 10 分,第(1) 、 (2)小题各 2 分,第(3)小题 6 分) 解:(1) x=20?????????????????????????????(2 分) (2) 0<x<20 ????????????????????????????? (2 分) (3) 因为射线 OC 过点(20,200) ,所以射线 OC 的表达式是 y2=10x,????(1 分) 过点(30,0)作 y 轴的平行线交 OC 于点 E,交 AB 于点 F, 所以 E(30,300) ,??????????????????????????(1 分) 所以 F(30,250)??????????????????????????(1 分) 设射线 AB 的表达式为 y1=kx+b(k≠0) 所以 ?

?250 ? 30k ? b, ?????????????????????????? (1 分) ?200 ? 20k ? b

解得 ?

?k ? 5, 所以射线 AB 的表达式为 y ? 5x ? 100( x ? 10) ?????? (1 分, 1 分) ?b ? 100.

23. (本题满分 12 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 5 分) (1) 证明:∵BD⊥BC,∴∠DBE+∠EBC=90° . ∵AB⊥BE, ∴∠DBE+∠ABD=90° . ∴∠EBC=∠ABD. ??????? (1 分) ∵E 为边 CD 的中点,∴ BE ?

1 DC ,即 BE=EC,???????(1 分) 2

∴∠EBC=∠C. ∴∠C=∠ABD. ????????????????(1 分) ∵BD 平分∠ADE, ∴∠ADB=∠BDC. ?????????????? (1 分) ∴△ABD∽△BCD. ?????????????????????(1 分) ∴

AD BD ? .???????????????????????(1 分) BD DC
2

∴ BD ? AD ? DC .?????????????????????(1 分) (2) 证明: ∵△ABD∽△BCD,∴∠A=∠DBC. ∵BD⊥BC,∴∠DBC=90° . ∴∠A=90° . ∵BD=BC,E 为边 CD 的中点,∴BE⊥DC,即∠BED=90° . ∵AB⊥BE,即∠ABE=90° ,∴ABED 为矩形. ∵BD⊥BC,E 为边 CD 的中点,∴ BE ? 1 DC ? DE , 2 ∴ABED 为正方形. ?????????????????????? (2 分) ∴AE⊥BD,且 AE=BD. ∵BD⊥BC,∴AE//BC. ∵BD=BC,∴AE=BC. ????????????????????(2 分) ∴ABCE 为平行四边形. ???????????????????? (1 分)
初三数学质量调研试卷—6—

24. (本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 5 分) 解: (1)∵抛物线 y ? ax 2 ? x ? c 的对称轴为直线 x=1,∴ a ? ∵抛物线与 x 轴的一个交点为 A(-1,0) ,∴ c ? ? ∴抛物线的表达式为 y ?

1 . 2

3 . 2

1 2 3 x ? x ? .?????????????????? (2 分) 2 2

∴顶点 B(1,-2). ?????????????????????????(1 分) ∵点 C(5,m)在抛物线上,∴ m ? 6 . ∴C 点坐标为(5,6). 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0) , 则?

?6 ? 5k ? b ?k ? 2, ,∴ ? 即 BC 的表达式为 y=2x-4. ?b ? ?4. ??2 ? k ? b

∴E (2,0) . ????????????????????????????? (1 分) (2)作 CH⊥x 轴,垂足为 H,作 BP⊥x 轴,垂足为 P, ∵C(5,6) ,A(-1,0) ,∴CH=6=AH. ∴∠CAH=45° . ∵B(1,-2) ,A(-1,0) ,∴BP=2=AP. ∴∠BAP=45° . ∴∠CAB=90° . ???????????????????????????? (1 分) ∵CH=6=AH,CH⊥x 轴,∴ AC ? 6 2. ∵BP=2=AP,BP⊥x 轴,∴ AB ? 2 2. ∴ tan ?B ?

AC ? 3. ?????????????????????????(2 分) AB

(3)∵∠CAB=90° ,∴∠B+∠ACB=90° . ∵GM⊥BC, ∴∠CGM+∠ACB=90° . ∴∠CGM=∠B. ???????????? (1 分) ∵△CGM 与△ABE 相似,∴∠BAE=∠CMG 或∠BAE=∠MCG. 情况 1:当∠BAE=∠CMG 时, ∵∠BAE=45° ,∴∠CMG=45° . ∵GM⊥BC,∴∠MCE=45° . ∴∠MCE=∠EAB. ∵∠AEB=∠CEM,∴△ABE∽△CME. ?????????????????(1 分) ∴

BE AE 5 3 ? .即 .∴EM=5. ∴M(7,0). ???????????(1 分) ? EM CE EM 3 5

情况 2:当∠BAE=∠MCG 时, ∵∠BAE=∠CAM, ∴∠MCG=∠CAM. ∴MC=MA. ???????????? (1 分) 设 M(x,0) ,∵C(5,6) ,A(-1,0) ,∴ ( x ? 1) ? ( x ? 5) ? 6 . ∴x=5.
2 2 2

∴M(5,0). ????????????????????????????(1 分)

初三数学质量调研试卷—7—

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 解: (1)∵AODE 为矩形,∴AD=OE,且 AD=2AC,OE=2OC. ?????????(1 分)

? 上, ∵点 C 在 AB ∴OA=OC. ???????????????????? (1 分)
∴OE=2OC=2OA. ∴AD=2OA. ???????????????????(1 分) ∵AODE 为矩形,∴AO⊥OD. ∴∠ADO=30° . ?????????????????????????(1 分) (2)作 OH⊥AC,垂足为 H. ∵O 为圆心, ∴AH=HC. ??????????????????????? (1 分) ∵ AC=6,∴AH=3. ∵∠AOB=90° ,∴AO⊥OD. ∵ED⊥OD,∴AO//ED.

AC AO 6 ? . ∵AC=6, AO=5, CD= DE. ??????????????? (1 分) CD DE 5 AH AO 3 5 ? cos A ? ∵AO⊥OD,OH⊥AC,∴ . . ?????(1 分) ? 6 AO AD 5 6 ? DE 5 35 ∴DE= .?????????????????????????????? (2 分) 18
∴ (3)∠BCD 的大小不变. ?????????????????????????(1 分) 设∠A=α,∠OBC=β

? 上,∴OA=OC=OB. ∵O 为圆心,点 C 为 AB
∴∠ACO = ∠A =α, ∠OCB=∠OBC=β. ????????????????? (1 分) ∴∠AOC= 180? ? 2? ,∠BOC= 180? ? 2 ? .???????????????(1 分) ∵∠AOB=90° ,∴ 180? ? 2? + 180? ? 2 ? =90° . ∴ ? ? ? ? 135? .??????(1 分) ∴∠BCD= 180? ? (? ? ? ) ? 45? .???????????????????(1 分)

初三数学质量调研试卷—8—



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