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cxy反比例函数知识点总结及反比例函数练习题



第十三讲
课程目标

反比例函数

⑴理解反比例函数的概念和性质,会用待定系数法求反比例函数的解析式。 ⑵树立数形结合的数学思想,能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。 ⑶综合运用多种数学思想,逐步形成数学应用和建模的意识。 ⑴掌握反比例函数的概念及性质,确定反比例函数的解析式。 课程重点 ⑵理解函数图像的含义,学习从图像中获取

信息解决问题的能力。 ⑶能运用反比例函数的知识,解决实际应用的问题。 ⑴掌握反比例函数图像的几何意义,渗透数形结合的数学思想。 课程难点 ⑵运用类比和转化思想,解决实际问题及代几综合题。 反比例函数是八年级下的内容,经常与一次函数结合考查,也是中考出题的 热点篇章。本身蕴含诸多数学思想:方程思想、数形结合思想、分类讨论思 教学方法建议 想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点 的小专题。限于课堂容量,部分简单及非典型题将在课后作业中出现,建议 教师根据学生情况选择性讲授作为补充。 课堂精讲例题 A类 选材程度及数量 B类 C类 ( 3 )道 ( 2 )道 ( 2 )道 ( 2 )道 ( 10 )道 ( 10 )道 ( 2 )道 搭配课堂训练题 ( 2 )道 课后作业 ( 10 )道

第一部分 知识梳理
一、反比例函数的解析式
1.反比例函数的概念 一般地,函数 y ?
?1

k (k 是常数,k ? 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以 x

写成 y ? kx 的形式。自变量 x 的取值范围是 x ? 0 的一切实数,函数的取值范围也是一切 非零实数。 2.反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数 y ?

k 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的 x

一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质
1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第 二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x ? 0,函数 y ? 0,所以,它的 图象与 x 轴、 y 轴都没有交点, 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴, 但永远达不到坐标轴。 2.反比例函数的性质 反比例函数 k 的符号 k>0 y y

y?

k ( k ? 0) x
k<0

O 图像

x O x

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; 性质 ②当 k>0 时,函数图象的两个分支 分别在第一、三象限。在每个象限 内,y 随 x 的增大而减小。 ①y?

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k<0 时,函数图象的两个分支分 别在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。

k (k ? 0) 的图象是轴对称图形,对称轴为 y ? ? x(k>0) 或 x

y ? x(k<0)
对称性 ②y? ③y?

k (k ? 0) 的图象是中心对称图形,对称中心为原点(0,0) ; x k k 和y ? ? (k≠0)在同一坐标系中的图象关于 x 轴对称, x x

也关于 y 轴对称. 3.反比例函数中反比例系数的几何意义 ①过双曲线 y ?

k (k≠0) 上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线段,所得矩形(如图)面积为 k 。 x

②过双曲线 y ?

k (k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段,连接该点和原点,所得三 x
k 2


角形(如图)的面积为 ③双曲线 y ?

k (k≠0) 同一支上任意两点 P1 、 P2 与原点组成的 三角形(如图)的面积 x

=直角梯形 P1P2 Q2 Q1 的面积.

y
P B O A C Q

x

第二部分 例题与解题思路方法归纳
【例题 1】 已知函数 y ? ?m ? 1?x m 是( ) B.﹣2 C.± 2 D. ?
2

?5

是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则 m 的值

A.2 〖难度分级〗A 类

1 2

〖试题来源〗2010 年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数 y ?

k 1 (k ? 0) 。由于 ? x ?1 ,所以反比例函数也可以写成 x x

(1)k y ? x ?1 (k 是常数,k≠0)的形式,有时也以 xy=k(k 是常数,k≠0)的形式出现。 >0,反比例函数图象在一、三象限; (2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.本题 需要理解好反比例函数定义中的系数和指数, 同时需要掌握反比例函数的性质, 这样才能防 止漏解或多解。 〖解题思路〗根据反比例函数的定义 m ﹣5=﹣1,又图象在第二、四象限,所以 m+1<0, 两式联立方程组求解即可. 〖参考答案〗解:∵ 函数 y ? ?m ? 1?x
m2 ?5

2

是反比例函数,且图象在第二、四象限内,

?m 2 ? 5 ? ?1 ∴? ,解得 m=± 2 且 m<﹣1,∴ m=﹣2.故选 B. ?m ? 1<0

【课堂训练题】 1. (2000?甘肃)已知 y=y1+y2,y1 与 x 成正比例,y2 与 x﹣2 成反比例,且当 x=1 时,y=﹣1; 当 x=3 时,y=5.求 y 与 x 的函数关系式. 〖难度分级〗A 类 〖参考答案〗解:设 y1=k1x(k1≠0) ,y2=错误!未找到引用源。 ∴ y=k1x+错误!未找到引用源。 ∵ 当 x=1 时,y=﹣1;当 x=3 时,y=5, ∴?

?k1 ? k 2 ? ?1 ?k1 ? 1 ,∴ ? 。 ?3k1 ? k 2 ? 5 ?k 2 ? 2
2 。 x?2
k1 k 2 k1 k 与 y ? 2 ,如果存在函数 y ? (k1k2>0)则称函数 x x x

∴y?x?

2.定义:已知反比例函数 y ?

y?

k1 k 2 x

为这两个函数的中和函数。

(1)试写出一对函数,使得它的中和函数为 y ? y 随 x 的增大而增大。 (2)函数 y ? 求当 y ?

2 ,并且其中一个函数满足:当 x<0 时, x

?3 ? 12 k 和y? 的中和函数 y ? 的图象和函数 y=2x 的图象相交于两点,试 x x x

k 的函数值大于 y=2x 的函数值时 x 的取值范围。 x

〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)∵ 试写出一对函数,使得它的中和函数为错误!未找到引用源。 , 并且其中一个函数满足:当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大. ∴ 答案不唯一,如错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。等; y=

?3 x

(2)∵错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的中和函数错误!未找到引用源。 ,

6 ? ?y ? 联立方程组 ? x , ? y ? 2 x ?
解之得两个函数图象的交点坐标为( 3 , 2 3 ) ( ? 3 ,? 2 3 ) ,结合图象得到当 y ? 的函数值大于 y=2x 的函数值时 x 的取值范围是 x< ? 3 或 0<x< 3 .

k x

【例题 2】如图所示是反比例函数 y ?

2n ? 4 的图象的一支,根据图象回答下列问题: x

(1)图象的另一支在哪个象限?常数 n 的取值范围是什么? (2)若函数图象经过点(3,1) ,求 n 的值; (3)在这个函数图象的某一支上任取点 A(a1,b1)和点 B(a2,b2) ,如果 a1<a2,试比 较 b1 和 b2 的大小.

〖难度分级〗B 类 〖试题来源〗2010 年肇庆市中考数学试题 〖选题意图〗 本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法, 需要 熟练掌握. 〖解题思路〗 (1)根据反比例函数图象的性质,这一支位于第一象限,另一支一定位于第三 象限; (2)把点的坐标代入反比例函数求出 n 值,即可求出函数解析式; (3)根据反比例函数图象的性质,当 k>0 时,在每个象限内,函数值 y 随 x 增大而减小。 〖参考答案〗解: (1)图象的另一支在第三象限.由图象可知,2n﹣4>0,解得:n>2 (2)将点(3,1)代入 y ? (3)∵ 2n﹣4>0, ∴ 在这个函数图象的任一支上,y 随 x 增大而减小, ∴ 当 a1<a2 时,b1>b2. 【课堂训练题】 1.如图是反比例函数 y ?

2n ? 4 2n ? 4 得: 1 ? ,解得:n=错误!未找到引用源。 ; x 3

m?5 的图象的一支. x

(1)求 m 的取值范围,并在图中画出另一支的图象; (2)若 m=﹣1,P(a,3)是双曲线上点,PH⊥ y 轴于 H,将线段 OP 向右平移 3PH 的长度 至 O′P′,此时 P 的对应点 P′恰好在另一条双曲线 y ? 面积为 ,k= . (直接填写答案)

k 的图象上,则平移中线段 OP 扫过的 x

〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)由反比例函数的图象可知 m﹣5<0,即 m<5. (2)∵m=﹣1,∴反比例函数 y ? 把 P(a,3)代入上式得 a=﹣2. 向右平移 3PH,可得 P′坐标为(4,3) ,第一象限内抛物线解析式为 y ?

m?5 ?6 的解析式为 y ? , x x 12 . x

S?oo'p′p =S?A′PP′A=2×3+4×3=18.
则平移中线段 OP 扫过的面积为 18,k=12.

2. (2006?临沂)我们学过二次函数的图象的平移,如:将二次函数 y ? 3x 的图象向左平
2

移 2 个单位,再向下平移 4 个单位,所图象的函数表达式是 y ? 3( x ? 2) ? 4 。
2

类比二次函数的图象的平移,我们对反比例函数的图象作类似的变换:

( 1 )将 y= 错误!未找到引用源。的图象向右平移 1 个单位,所得图象的函数表达式 为 ,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数表达式为 ; 平

(2)函数 y=错误!未找到引用源。的图象可由 y=错误!未找到引用源。的图象向 移

个单位得到;y=错误!未找到引用源。的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎

样的变换得到; (3)一般地,函数 y=错误!未找到引用源。 (ab≠0,且 a≠b)的图象可由哪个反比例函数 的图象经过怎样的变换得到?

〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)可设新反比例函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。 ,可从原反比 例函数找一点 (1,1) ,向右平移 1 个单位得(2,1) ,代入解析式可得:a=﹣1.故所得图象的函数表达 式为错误!未找到引用源。 ;再向上平移 1 个单位,所得图象的函数表达式为错误!未找到 引用源。 . (2)先把函数化为标准反比例的形式 y=错误!未找到引用源。+1,然后即可根据反比例函 数图象平移的性质解答:y=错误!未找到引用源。可转化为错误!未找到引用源。 . 故函数 y=错误!未找到引用源。的图象可由 y=错误!未找到引用源。的图象向上移 1 个单 位得到;y=错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象先 向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到. (3)函数错误!未找到引用源。 (ab≠0,且 a≠b)可转化为错误!未找到引用源。 . 当 a>0 时,错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象向 左平移 a 个单位,再向上平移 1 个单位得到; 当 a<0 时,错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象向 右平移﹣a 个单位,再向上平移 1 个单位得到. 【例题 3】在反比例函数 y ? (1)求 k 的取值范围; (2)在曲线上取一点 A,分别向 x 轴、y 轴作垂线段,垂足分别为 B、C,坐标原点为 O, 若四边形 ABOC 面积为 6,求 k 的值. 〖难度分级〗B 类 〖试题来源〗2009 年湖南省湘西自治州中考数学试题 〖选题意图〗 主要考查了反比例函数 y ?

k 的图象的每一条曲线上,y 都随 x 的增大而减小. x

k 中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 x x

轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想, 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴 作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S=错误!未找到引用源。|k|. 〖解题思路〗 (1)直接根据反比例函数的性质求解即可,k>0; (2)直接根据 k 的几何意义 可知:过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,所以|k|=6,而 k>0,则 k=6.

〖参考答案〗解: (1)∵ y 的值随 x 的增大而减小,∴ k>0. (2)由于点 A 在双曲线上,则 S=|k|=6,而 k>0,所以 k=6. 【课堂训练题】 1. (2009?莆田)如图,在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1=A1A2 =A2A3=A3A4=A4A5,过点 A1、A2、A3、A4、A5 分别作 x 轴的垂 线与反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (x≠0)的图象相交于点 P1、P2、P3、P4、P5, 得直角三角形 OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5,并设 其面积分别为 S1、S2、S3、S4、S5,则 S5 的值为 〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所 围成的直角三角形面积 S 是个定值,S=错误!未找到引用源。|k|. 所以 S1=1,S2=错误!未找到引用源。S1=错误!未找到引用源。 ,S3=错误!未找到引用源。 S1=错误!未找到引用源。 ,S4=错误!未找到引用源。S1=错误!未找到引用源。 ,S5=错误! 未找到引用源。S1=错误!未找到引用源。 . 2. 如图, 已知 A、 C 两点在双曲线上, 点 C 的横坐标比点 A 的横坐标多 2, AB⊥ x 轴, CD⊥ x 轴,CE⊥ AB,垂足分别是 B、D、E. (1)当 A 的横坐标是 1 时,求△ AEC 的面积 S1; (2)当 A 的横坐标是 n 时,求△ AEC 的面积 Sn; (3)当 A 的横坐标分别是 1,2,…,10 时,△ AEC 的面积相应的是 S1,S2,…,S10,求 S1+S2+…+S10 的值. .

〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)∵ 点 A 的坐标为(1,1) , ∴ 反比例函数的比例系数 k 为 1× 1=1; ∵ A 的横坐标是 1,点 C 的横坐标比点 A 的横坐标多 2,

∴ 点 A 的纵坐标为 1,点 C 的横坐标为 3,纵坐标为错误!未找到引用源。 , ∴ △ AEC 的面积 S1=错误!未找到引用源。× AE× EC=错误!未找到引用源。× 2× (1﹣错误! 未找到引用源。 )=错误!未找到引用源。 ; (2)由(1)可得当 A 的横坐标是 n 时,△ AEC 的面积 Sn=错误!未找到引用源。× 2× (错 误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。 )=错误!未找到引用源。 ; (3)解法一:S1+S2+…+S10 =(1﹣错误!未找到引用源。 )+(错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。 )+ (错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。 )+(错误!未找到引用源。﹣错误!未 找到引用源。 )+(错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。 )+…+(错误!未找到引 用源。﹣错误!未找到引用源。 ) =1+错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 . 【例题 4】已知反比例函数 y ?

k ?1 ,k 为常数,k≠1. x

(1)若点 A(1,2)在这个函数的图象上,求 k 的值; (2)若在这个函数图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小,求 k 的取值范围; (3)若 k=13,试判断点 B(3,4) ,C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由. 〖难度分级〗A 类 〖试题来源〗2010 年天津市中考数学试题 〖选题意图〗此题是一道基础题,考查了三方面的内容:① 用待定系数法求函数解析式; ② 反比例函数的性质;③ 反比例函数图象上点的坐标特点. 〖解题思路〗 (1)将点 A(1,2)代入解析式即可求出 k 的值; (2)根据反比例函数的性质,判断出图象所在的象限,进而可求出 k 的取值范围; (3)将 k=13 代入 y=错误!未找到引用源。 ,得到反比例函数解析式,再将 B(3,4) ,C (2,5)代入解析式解答即可. 〖参考答案〗解: (1)∵ 点 A(1,2)在这个函数的图象上,∴ 2=k﹣1,解得 k=3. (2)∵ 在函数错误!未找到引用源。图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小,∴ k﹣1>0, 解得 k>1. (3)∵ k=13,有 k﹣1=12,∴ 反比例函数的解析式为错误!未找到引用源。 , 将点 B 的坐标代入错误!未找到引用源。 ,可知点 B 的坐标满足函数关系式,

∴ 点 B 在函数错误!未找到引用源。的图象上, 将点 C 的坐标代入错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用源。 ,可知点 C 的坐标不满 足函数关系式, ∴ 点 C 不在函数错误!未找到引用源。的图象上. 【课堂训练题】 1. (2008?肇庆)已知点 A(2,6) 、B(3,4)在某个反比例函数的图象上. (1)求此反比例函数的解析式; (2)若直线 y=mx 与线段 AB 相交,求 m 的取值范围. 〖难度分级〗A 类 〖参考答案〗解: (1)设所求的反比例函数为 y=错误!未找到引用源。 ,依题意得:6=错误! 未找到引用源。 ;∴ k=12. ∴ 反比例函数为 y=错误!未找到引用源。 . (2)设 P(x,y)是线段 AB 上任一点,则有 2≤x≤3,4≤y≤6; ∵ m=错误!未找到引用源。 ,∴ 错误!未找到引用源。≤m≤错误!未找到引用源。 . 所以 m 的取值范围是错误!未找到引用源。≤m≤3. 2. (2009?长春)如图,点 P 的坐标为(2,错误!未找到引用源。 ) ,过点 P 作 x 轴的平行线 交 y 轴于点 A,交双曲线 y=错误!未找到引用源。 (x>0)于点 N;作 PM⊥ AN 交双曲线 y=错误!未找到引用源。 (x>0)于点 M,连接 AM.已知 PN=4. (1)求 k 的值. (2)求△ APM 的面积.

〖难度分级〗A 类 〖参考答案〗解: (1)∵ 点 P 的坐标为(2,错误!未找到引用源。 ) ,∴ AP=2,OA=错误! 未找到引用源。 . ∵ PN=4,∴ AN=6,∴ 点 N 的坐标为(6,错误!未找到引用源。 ) . 把 N(6,错误!未找到引用源。 )代入 y=错误!未找到引用源。中,得 k=9. (2)∵ k=9,∴ y=错误!未找到引用源。 . 当 x=2 时,y=错误!未找到引用源。 .∴ MP=错误!未找到引用源。﹣错误!未找到引用源。

=3. ∴ S△ APM=错误!未找到引用源。× 2× 3=3. 【例题 5】如图,A、B 两点在函数 y=错误!未找到引用源。 (x>0)的图象上. (1)求 m 的值及直线 AB 的解析式; (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影 部分(不包括边界)所含格点的个数.

〖难度分级〗B 类 〖试题来源〗2009 年北京市高等中学招生考试 〖选题意图〗 本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质,综合性较强,体现了数形结 合的思想. 〖解题思路〗 (1)将 A 点或 B 点的坐标代入 y=错误!未找到引用源。求出 m,再将这两点 的坐标代入 y=kx+b 求出 k、b 的值即可得到这个函数的解析式; (2)画出网格图帮助解答. 〖参考答案〗解: (1)由图象可知,函数错误!未找到引用源。 (x>0)的图象经过点 A(1, 6) , 可得 m=6. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b. ∵ A(1,6) ,B(6,1)两点在函数 y=kx+b 的图象上,

? k ? ?1 ?k ? b ? 6 ∴? ,解得 ? . ?b ? 7 ?6k ? b ? 1
∴ 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+7; (2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3. 【课堂训练题】 1.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x﹣5 交 x 轴于 A,交 y 轴于 B,点 P(0,﹣1) , D 是线段 AB 上一动点,DC⊥ y 轴于点 C,反比例函数错误!未找到引用源。的图象经过点

D. (1)若 C 为 BP 的中点,求 k 的值.

(2)DH⊥ DC 交 OA 于 H,若 D 点的横坐标为 x,四边形 DHOC 的面积为 y,求 y 与 x 之 间的函数关系式.

〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)∵ B 点是直线 y=﹣x﹣5 与 y 轴的交点, ∴ x=0,y=﹣5,即 B 点坐标为(0,5) , ∵ 点 P(0,﹣1) ,C 为 BP 的中点,∴ C 点的坐标为(0,﹣3) , ∴ D 点纵坐标为﹣3,即﹣3=﹣x﹣5,x=﹣2,∴ D 点坐标为(﹣2,﹣3) , ∵ D 在反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象上,∴ k=(﹣2)× (﹣3)=6. (2)∵ D 点的横坐标为 x,∴ 其纵坐标为﹣x﹣5, ∵ D 点在第三象限,∴ x<0,﹣x﹣5<0, ∴ y=|x|?|﹣x﹣5|=﹣x?(x+5)=﹣x ﹣5x. 2. (2006?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=﹣x 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到直线 l, 直线 l 与反比例函数错误!未找到引用源。的图象的一个交点为 A(a,3) ,试确定反比例 函数的解析式. 〖难度分级〗A 类 〖参考答案〗解:依题意得,直线 l 的解析式为 y=x. 因为 A(a,3)在直线 y=x 上,则 a=3. 即 A(3,3) .
2

又因为 A(3,3)在 y=错误!未找到引用源。的图象上,可求得 k=9, 所以反比例函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。 . 3. (2009?兰州)如图,已知 A(﹣4,n) ,B(2,﹣4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比 例函数 y=错误!未找到引用源。的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB 的面积; (3)求方程 kx+b﹣错误!未找到引用源。=0 的解(请直接写出答案) ; (4)求不等式 kx+b﹣错误!未找到引用源。<0 的解集(请直接写出答案) . 〖难度分级〗B 类 〖参考答案〗解: (1)∵ B(2,﹣4)在函数 y=错误!未找到引用源。的图象上,∴ m=﹣8. ∴ 反比例函数的解析式为:y=﹣错误!未找到引用源。 . ∵ 点 A(﹣4,n)在函数 y=﹣错误!未找到引用源。的图象上, ∴ n=2,∴ A(﹣4,2) , ∵ y=kx+b 经过 A(﹣4,2) ,B(2,﹣4) ,

? k ? ?1 ?? 4 k ? b ? 2 ∴? ,解之得: ? . ?b ? ?2 ?2k ? b ? ?4
∴ 一次函数的解析式为:y=﹣x﹣2. (2)∵ C 是直线 AB 与 x 轴的交点,∴ 当 y=0 时,x=﹣2. ∴ 点 C(﹣2,0) , ∴ OC=2. ∴ S△ AOB=S△ ACO+S△BCO=错误!未找到引用源。× 2× 2+错误!未找到引用源。× 2× 4=6. (3)x1=﹣4,x2=2. (4)﹣4<x<0 或 x>2. 【例题 6】 水产公司有一种海产品共 2104 千克, 为寻求合适的销售价格, 进行了 8 天试销, 试销情况如下:

观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量 y(千克)与销售价格

x(元/千克)之间的关系.现假定在这批海产品的销售中,每天的销售量 y(千克)与销售 价格 x(元/千克)之间都满足这一关系. (1)写出这个反比例函数的解析式,并补全表格; (2)在试销 8 天后,公司决定将这种海产品的销售价格定为 150 元/千克,并且每天都按这 个价格销售,那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出? (3)在按(2)中定价继续销售 15 天后,公司发现剩余的这些海产品必须在不超过 2 天内 全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新的价格销售,那么新确定的 价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务? 〖难度分级〗C 类 〖试题来源〗2009 年衢州市中考数学试题 〖选题意图〗 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定 两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式. 〖解题思路〗 (1)根据图中数据求出反比例函数,再分别将 y=40 和 x=240 代入求出相对应 的 x 和 y; (2)先求出 8 天销售的总量和剩下的数量 m,将 x=150 代入反比例函数中得到一天的销售 量 y,错误!未找到引用源。即为所需要的天数; (3)求出销售 15 天后剩余的数量除 2 得到后两天每天的销售量 y,将 y 的值代入反比例函 数中即可求出 x. 〖参考答案〗解: (1)∵ xy=12000,函数解析式为错误!未找到引用源。 , 将 y=40 和 x=240 代入上式中求出相对应的 x=300 和 y=50, 故填表如下:

; (2)销售 8 天后剩下的数量 m=2104﹣(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600, 当 x=150 时,错误!未找到引用源。=80.∴ 错误!未找到引用源。=1600÷ 80=20, 所以余下的这些海产品预计再用 20 天可以全部售出. (3) 1600﹣80× 15=400,400÷ 2=200, 即如果正好用 2 天售完,那么每天需要售出 200 千克. 当 y=200 时,错误!未找到引用源。=60.

所以新确定的价格最高不超过 60 元/千克才能完成销售任务. 【课堂训练题】 1.(2008 四川省巴中市) 为预防“手足口病” ,某 校对教室进行“药熏消毒” .已知药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量 y (mg)与燃烧时 间 x (分钟)成正比例;燃烧后, y 与 x 成反比例. 现测得药物 10 分钟燃完,此时教室内每立方米空 气含药量为 8mg.据以上信息解答下列问题: (1)求药物燃烧时 y 与 x 的函数关系式. (2)求药物燃烧后 y 与 x 的函数关系式. (3)当每立方米空气中含药量低于 1.6mg 时,对人体方能无毒害作用,那么从消毒开始, 经多长时间学生才可以回教室? 〖难度分级〗C 类 〖参考答案〗解: (1)设药物燃烧阶段函数解析式为 y ? k1 x(k1 ? 0) ,

4 4 .? 此阶段函数解析式为 y ? x 5 5 k (2)设药物燃烧结束后的函数解析式为 y ? 2 (k2 ? 0) , x
由题意得: 8 ? 10k1 , k1 ? 由题意得: 8 ?

k2 80 k2 ? 80 .? 此阶段函数解析式为 y ? 10 , x 80 ? 1.6 x

(3)当 y ? 1.6 时,得

x ? 0 , 1.6 x ? 80 , x ? 50
? 从消毒开始经过 50 分钟后学生才可回教室.
2.(2009 辽宁省大连市) 甲、乙两车间生产同一种零件,乙车间比甲车间平均每小时多生 产 30 个,甲车间生产 600 个零件与乙车间生产 900 个零件所用的时间相等,设甲车间平均 每小时生产 x 个零件,请按要求解决下列问题: (1)根据题意,填写下表: 车间 甲车间 零件总个数 600 平均每小时生产零件个数 x 所用时间

600 x

乙车间

900

________

________

(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件? 〖难度分级〗C 类 〖参考答案〗解: (1) x ? 30 , (2)根据题意,得

900 ; x?3

600 900 ,解得 x ? 60 . ? x x ? 30

x ? 30 ? 90 .经检验 x ? 60 是原方程的解,且都符合题意.

答:甲车间每小时生产 60 个零件,乙车间每小时生产 90 个零件. 【例题 7】问题情境:已知矩形的面积为 a(a 为常数,a>0) ,当该矩形的长为多少时,它 的周长最小?最小值是多少? 数学模型: 设该矩形的长为 x,周长为 y,则 y 与 x 的函数关系式 为 y=2(x+错误!未找到引用源。 ) (x>0) . 探索研究: (1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先 探索函数 y=x+错误!未找到引用源。 (x>0)的图象和性质.① 填写下表, 画出函数的图象; x y … … 1 2 3 4 … …

② 观察图象,写出该函数两条不同类型的性质; ③ 求函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的最大 (小) 值时, 除了通过观察图象, 还可以通过配方得到. 请 你通过配方求函数 y=x+错误!未找到引用源。 (x>0)的最小值. 解决问题: (2)用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案. 〖难度分级〗C 类 〖试题来源〗2011 年南京市中考数学试题(有改动) 〖选题意图〗本题主要考查对完全平方公式,反比例函数的性质,二次函数的最值,配方法 的应用, 一次函数的性质等知识点的理解和掌握, 能熟练地运用学过的性质进行计算是解此 题的关键. 〖解题思路〗 (1)① 把 x 的值代入解析式计算即可;② 根据图象所反映的特点写出即可;③
2

根据完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,进行配方即可得到最小值;

2

2

2

? (2)根据完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,进行配方得到 y ? 2[? x ? ? ?
2 2 2

a? ? ? 2 a ] ,即 x? ?

2

可求出答案. 〖参考答案〗解: (1)① 故答案为:错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,2,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . 函数 y=x+错误!未找到引用源。的图象如图: ② 答:函数两条不同类型的性质是:当 0<x<1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x=1 时,函数 y=x+错误!未找到引用源。 (x>0)的最小值是 2.

1 ③ 解: y ? x ? ? x
当 x?

? x?

2

? 1? ? ? ? 2? x ? 1 ? 2? x ? 1 ?? x ? ?? ? x? x x ? ? ? ?

2

1? ? ? 2, x? ?

2

1 ? 0 ,即 x=1 时,函数 y=x+错误!未找到引用源。 (x>0)的最小值是 2, x

答:函数 y=x+错误!未找到引用源。 (x>0)的最小值是 2. (2)答:矩形的面积为 a(a 为常数,a>0) , 当该矩形的长为 a 时,它的周长最小,最小值是 4 a . 【课堂训练题】 1.已知:A(a,y1) .B(2a,y2)是反比例函数 y ? (1)比较 y1 与 y2 的大小关系; (2)若 A、B 两点在一次函数 y ? ?

k (k>0)图象上的两点. x

4 x ? b 第一象限 3

的图象上(如图所示) ,分别过 A、B 两点作 x 轴的垂 线,垂足分别为 C、D,连接 OA、OB,且 S△ OAB=8, 求 a 的值; (3)在(2)的条件下,如果 3m=﹣4x+24, 3n ? 〖难度分级〗C 类 〖参考答案〗解: (1)∵ A、B 是反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (k>0)图象上的两 点,∴ a≠0, 当 a>0 时,A、B 在第一象限,由 a<2a 可知,y1>y2,

32 ,求使得 m>n 的 x 的取值范围. x

同理,a<0 时,y1<y2; (2)∵ A(a,y1) 、B(2a,y2)在反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (k>0)的图象上, ∴ AC=y1=错误!未找到引用源。 ,BD=y2=错误!未找到引用源。 ,∴ y1=2y2. 又∵ 点 A(a,y1) 、B(2a,y2)在一次函数 y=﹣错误!未找到引用源。a+b 的图象上,∴ y1= ﹣错误!未找到引用源。a+b,y2=﹣错误!未找到引用源。a+b, ∴ ﹣错误!未找到引用源。a+b=2(﹣错误!未找到引用源。a+b) ,∴ b=4a,∵ S△ AOC+S
ACBD=S△ AOB+S△ BOD,
梯形

又∵ S△ AOC=S△BOD,∴ S 梯形 ACBD=S△ AOB, ∴ 错误! 未找到引用源。 ( [ ﹣错误! 未找到引用源。 a+b) + (﹣错误! 未找到引用源。 a+b) ]?a=8, ∴ a =4,∵ a>0,∴ a=2. (3)由(2)得,一次函数的解析式为 y=﹣错误!未找到引用源。x+8,反比例函数的解析 式为:y=错误!未找到引用源。 , A、B 两点的横坐标分别为 2、4,且 m=﹣错误!未找到引用源。x+8,n=错误!未找到引 用源。 , 因此使得 m>n 的 x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的 取值范围,从图象可以看出 x<0 或 2<x<4. 2.如图,点 P 是反比例函数错误!未找到引用源。 (k1>0,x>0)图象上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,交反比例函数错误!未找到引用源。 (k2<0 且|k2|<k1, )的图象于 E、F 两点. (1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= (2)图 2 中,设 P 点坐标为(2,3) . ① 点 E 的坐标是( 源。 , ,错误!未找到引用源。 ) ,点 F 的坐标是(错误!未找到引用 (用含 k1、k2 的式子表示) ;
2

) (用含 k2 的式子表示) ;

② 若△ OEF 的面积为错误!未找到引用源。 ,求反比例函数错误!未找到引用源。的解析式.

〖难度分级〗C 类 〖参考答案〗解: (1)∵ P 是点 P 是反比例函数 y ? ∴ S 矩形 PBOA=k1, ∵ E、F 分别是反比例函数 y ?

k1 (k1>0,x>0)图象上一动点, x

k2 (k2<0 且|k2|<k1, )的图象上两点, x

∴ S△ OBF=S△ AOE=错误!未找到引用源。|k2|, ∴ 四边形 PEOF 的面积 S1=S 矩形 PBOA+S△ OBF+S△ AOE=k1+|k2|, ∵ k2<0, ∴ 四边形 PEOF 的面积 S1=S 矩形 PBOA+S△ OBF+S△ AOE=k1+|k2|=k1﹣k2. (2)① ∵ PE⊥ x 轴,PF⊥ y 轴可知,P、E 两点的横坐标相同,P、F 两点的纵坐标相同, ∴ E、F 两点的坐标分别为 E(2,错误!未找到引用源。 ) ,F(错误!未找到引用源。 ,3) ; ② ∵ P(2,3)在函数 y=错误!未找到引用源。的图象上,∴ k1=6, ∵ E、F 两点的坐标分别为 E(2,错误!未找到引用源。 ) ,F(错误!未找到引用源。 ,3) ; ∴ PE=3﹣错误!未找到引用源。 ,PF=2﹣错误!未找到引用源。 , ∴ S△ PEF=错误!未找到引用源。 (3﹣错误!未找到引用源。 ) (2﹣错误!未找到引用源。 )= 错误!未找到引用源。 , ∴ S△ OEF=(k1﹣k2)﹣错误!未找到引用源。 =(6﹣k2)﹣错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , ∵ k2<0, ∴ k2=﹣2. ∴ 反比例函数错误!未找到引用源。的解析式为 y=﹣错误!未找到引用源。 .

第三部分 课后自我检测试卷
A 类试题:
1. (2010?丽江)反比例函数 y=错误!未找到引用源。和一次函数 y=kx﹣k 在同一直角坐标 系中的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

2.已知点 M(﹣3,y1) ,N(1,y2) ,P(3,y3)均在反比例函数 y=﹣错误!未找到引用 源。的图象上,试比较 y1,y2,y3 的大小关系是 3. (1)点(3,6)关于 y 轴对称的点的坐标是 . . . 。

(2)反比例函数错误!未找到引用源。关于 y 轴对称的函数的解析式为 (3) 反比例函数错误! 未找到引用源。 (k≠0) 关于 x 轴对称的函数的解析式是

4.在学习了函数 y=ax+b,y=ax,错误!未找到引用源。之后,几个同学讨论归纳了它们的 特性,得出了以下结论: ① 当 a>0 时,三种函数都经过第一,三象限; ② 函数 y=ax+b,y=ax 中自变量 x 可以是任意实数; ③ 当 a<0 时,函数 y=ax+b,y=ax 随 x 增大而减小; ④ 当 a>0 时,函数错误!未找到引用源。 ,y 随 x 增大而减小. 试判断哪几个结论是准确的,然后将错误的结论中选择一个说明理由并改正. 5.如图,点 A 是反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象上任意一点,延长 AO 交该图 象于点 B,AC⊥ x 轴,BC⊥ y 轴,求 Rt△ ACB 的面积.

6. (2010?贵港)已知点 P(1,2)在反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象上. (1)当 x=﹣2 时,求 y 的值; (2)当 1<x<4 时,求 y 的取值范围.

7.已知:反比例函数 y ? ?m ? 3?x m?2 的图象是双曲线. (1)求 m 的值; (2)若点(﹣2,y1) , (﹣1,y2) , (1,y3)都在双曲线上,试比较 y1,y2,y3 的大小关系.

8.已知 y=y1+y2,y1 与(x﹣1)成正比例,y2 与(x+1)成反比例,当 x=0 时,y=﹣3,当 x=1 时,y=﹣1. (1)求 y 的表达式; (2)求当 x ? ?

1 时 y 的值. 2

9.如图所示,在平面直角坐标系中,A 是反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (x>0)图 象上一点;作 AB 垂直 x 轴于 B 点,AC 垂直 y 轴于 C 点,正方形 OBAC 的面积为 16. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若点 P 在反比例函数的图象上,连 PO、PC 且 S△ PCO=6.求 P 点的坐标.

10.已知反比例函数错误!未找到引用源。 (k 为常数)的图象过点(2,2) . (Ⅰ )求这个反比例函数的解析式; (Ⅱ )当﹣3<x<﹣1 时,求反比例函数 y 的取值范围; (Ⅲ )若点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是这个反比例函数图象上的两点,且 x1<0<x2,试比 较 y1,y2 的大小,直接写结果.

B 类试题:

?a ? 1(a ≤ b) ? 11.(2010 内蒙古鄂尔多斯市) 定义新运算: a ? b ? ? a ,则函数 y ? 3 ? x 的 ?? (a ? b且b ? 0) ? b

图象大致是( y 2 3 O

) . y 2 3 x O y 2 3 x O y 2 3 x O

?1
A.

?1
B.

?1
C.

?1
D.

x

k 1 12.(2010 湖北省黄石市) 如图,反比例函数 y ? ( k ? 0) 与一次函数 y ? x ? b 的图象 x 2
相交, 于两点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 线段 AB 交 y 轴于 C , 当 x1 ? x2 ? 2 且 AC ? 2 BC 时,

k、 b 的值分别为(
1 ,b ? 2 2 1 1 C . k ? ,b ? 3 3
A. k ?

)

4 9 4 1 D . k ? ,b ? 9 3

B. k ? ,b ? 1

13.两个反比例函数错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。在第一象限内的图象 如图所示,点 P 在错误!未找到引用源。的图象上,PC⊥ x 轴于点 C,交错误!未找到引用 源。的图象于点 A,PD⊥ y 轴于点 D,交错误!未找到引用源。的图象于点 B,当点 P 在错 误!未找到引用源。的图象上运动时,以下结论: ① △ ODB 与△ OCA 的面积相等; ② 四边形 PAOB 的面积不会发生变化; ③ PA 与 PB 始终相等; ④ 当点 A 是 PC 的中点时,点 B 一定是 PD 的中点. 其中一定正确的是 14.两个反比例函数 y ? . (把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分) .

3 6 , y ? 在第一象限内的图象,如图,点 P1,P2,P3,…,P2005 x x 3 6 在反比例函数 y ? , y ? 图象上,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3,…,x2005,纵坐标 x x
分别为 1,3,5,…,共 2005 个连续奇数,过点 P1,P2,P3,…,P2005 分别作 y 轴的平行 线,与 y ?

3 的图象交点,依次是 Q1(x1,y1) ,Q1(x2,y2) ,Q1(x3,y3) ,…,Q1(x2005, x


y2005) ,y2005=

15. (2009?天津)已知图中的曲线是反比例函数 y ?

m?5 (m 为常数)图象的一支. x

(Ⅰ )这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数 m 的取值范围是什么; (Ⅱ )若该函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象在第一象内限的交点为 A,过 A 点作 x 轴 的垂线,垂足为 B,当△ OAB 的面积为 4 时,求点 A 的坐标及反比例函数的解析式.

16.函数 y ?

6 的图象如图所示. x

(1)Pn(x,y) (n=1,2,…)是第一象限内图象上的点,且 x,y 都是整数.求出所有的 点 Pn(x,y) ; (2)若 P(m,y1) ,Q(﹣3,y2)是函数错误!未找到引用源。图象上的两点,且 y1>y2, 求实数 m 的取值范围.

17. 如图,正方形 ABCD 的顶点 C 在反比例函数 y ?

k ?x>0? 上,把该正方形 ABCD 绕其 x

顶点 C 顺时针旋转 180° 得四边形 A′B′CD′,A′D′边恰好在 x 轴正半轴上,已知 A(﹣1,6) .

(1)求 k 的值; (2)若 A′B′与 y ?

k ?x>0? 交于点 E,求△ BCE 的面积. x

18. (2009?肇庆)如图,已知一次函数 y1=x+m(m 为常数)的图象与反比例函数 y 2 ? 为常数,k≠0)的图象相交点 A(1,3) . (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点 B 的坐标; (2)观察图象,写出使函数值 y1≥y2 的自变量 x 的取值范围.

k (k x

19.(2009?广安)如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=错误!未找到引用源。的 图象相交于点 A(﹣1,2) 、点 B(﹣4,n) (1)求此一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△ AOB 的面积.

20.将 x ?

3 1 代入反比例函数 y ? ? 中,所得函数值记为 y1,又将 x=y1+1,代入函数中, 4 x

所得函数值记为 y2,再将 x=y2+1 代入函数中,所得函数值记为 y3,…,如此继续下去. (1)完成下表:

y1

y2

y3

y4

y5

?

4 3


(2)观察上表规律,请你猜想 y2011 的值为

C 类试题:
21.如图,已知△ OP1A1、△ A1P2A2、△ A2P3A3、…均为等腰直角三角形,直角顶点 P1、P2、 P3、…在函数 y=错误!未找到引用源。 (x>0)图象上,点 A1、A2、A3、…在 x 轴的正半 轴上,则点 P2011 的横坐标为 _________ .

22.已知点 P 是 x 轴正半轴的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PA 交双曲线 y=错误!未找 到引用源。于点 A, 连接 OA. (1) 如图甲, 当点 P 在 x 轴的正方向上运动时, Rt△ AOP 的面积大小是否变化答: (请

填“变化”或“不变化”) 。若不变,请求出 Rt△ AOP 的面积=错误!未找到引用源。 ;若改变, 试说明理由(自行思索,不必作答) ; (2)如图乙,在 x 轴上的点 P 的右侧有一点 D,过点 D 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B,连 接 BO 交 AP 于 C,设△ AOP 的面积是 S1,梯形 BCPD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小关系 是 S1 S2(请填“>”、“<”或“=”) .

23. (2011?宁波)正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (x >0) 的图象上, 顶点 A1、 B1 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上, 再在其右侧作正方形 P2P3A2B2, 顶点 P3 在反比例函数 y=错误!未找到引用源。 (x>0)的图象上,顶点 A2 在 x 轴的正半轴

上,则点 P3 的坐标为(



) 。

24. (2011 浙江省嘉兴,19,8 分)如图,已知直线 y1 ? ?2 x 经过点 P( ?2 , a ) ,点 P 关 于 y 轴的对称点 P′在反比例函数 y2 ? (1)求点 P′的坐标; (2)求反比例函数的解析式,并直接写出当 y2<2 时自变量 x 的取值范围. y

k ( k ? 0 )的图象上. x

P
1

P?
P O 1

y2 ?
x

k x

y1 ? ?2 x

25.如图,双曲线 y=错误!未找到引用源。 (k>0,x>0)图象上有两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2) , 且 x1<x2,分别过 P1 和 P2 向 x 轴作垂线,垂足为 B、D.过 P1 和 P2 向 y 轴作垂线,垂足 为 A、C. (1)若记四边形 AP1BO 和四边形 CP2DO 的面积分别为 S1 和 S2,周长为 C1 和 C2,试比较 S1 和 S2,C1 和 C2 的大小; (2)若 P 是双曲线 y=错误!未找到引用源。 (k>0,x>0)的图象上一点,分别过 P 向 x 轴、y 轴垂线,垂足为 M、N.试问当 P 点落在何处时,四边形 PMON 的周长最小?

26. (2010?湛江)病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小时,每毫升血液中的含 药量达到最大值为 4 毫克,已知服药后,2 小时前每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间 x(小时)成正比例,2 小时后 y 与 x 成反比例(如图所示) .根据以上信息解答下列问题. (1)求当 0≤X≤2 时,y 与 x 的函数关系式; (2)求当 x>2 时,y 与 x 的函数关系式; (3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时 间是多长?

27. (2010?泰州)保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂 2009 年 1 月的利润为 200 万元.设 2009 年 1 月为第 1 个月,第 x 个月的利润为 y 万元.由于排 污超标,该从 2009 年 1 月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降, 从 1 月到 5 月,y 与 x 成反比例.到 5 月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月 的利润比前一个月增加 20 万元(如图) . (1)分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后 y 与 x 之间对应的函数关系式. (2)治污改造工程顺利完工后经过几个月,该厂利润才能达到 200 万元? (3)当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?

28. (2010?达州)近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成 分是 CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中 CO 的浓度达到 4mg/L, 此后浓度呈直线型增加,在第 7 小时达到最高值 46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的 CO 浓度成反比例下降.如图所示,根据题中相关信息回答下列问题: (1)求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围; (2)当空气中的 CO 浓度达到 34mg/L 时,井下 3km 的矿工接到自动报警信号,这时他们 至少要以多少 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生? (3)矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4mg/L 及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求 矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?

29. (2009?河池)为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物 释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成正比例;药物释 放完毕后,y 与 x 成反比例,如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)写出从药物释放开始,y 与 x 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.45 毫克以下时,学生方可进入教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?

30.(2007 江苏省盐城市) 如图所示,小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀 质的木杆中点 O 左侧固定位置 B 处悬挂重物 A ,在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉,改变 弹簧秤与点 O 的距离 x (cm) ,观察弹簧秤的示数 y (N)的变化情况.实验数据记录如下:

x (cm)
y (N)

10 30

15 20

20 15

25 12

30 10

y (牛顿) (1)把上表中 ( x,y ) 的各组对应值作为点的坐标,在坐标系 35 30 中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的 25 20 图象,猜测 y 与 x 之间的函数关系,并求出函数关系式; 15 10 5 (2)当弹簧杆的示数为 24N 时,弹簧秤与 O 点的距离 0 5 10 15 20 25 30 35 是多少 cm?随着弹簧秤与 O 点的距离不断减小,弹簧
秤上的示数将发生怎样的变化?

x(cm)

第十三讲课后自我检测试卷参考答案
A 类试题:
1.解:当 k<0 时,﹣k>0,反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象在二,四象限, 一次函数 y=kx﹣k 的图象过一、二、四象限,选项 C 符合; 当 k>0 时,﹣k<0,反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象在一、三象限,一次函数 y=kx﹣k 的图象过一、三、四象限,无符合选项.故选 C.

2. y1>y3>y2. 3.解: (1)由于两点关于 y 轴对称,纵坐标不变,横坐标互为相反数; 则点(3,6)关于 y 轴对称的点的坐标是(﹣3,6) ; (2)由于两反比例函数关于 y 轴对称,比例系数 k 互为相反数;则 k=﹣3, 即反比例函数 y ?

3 关于 y 轴对称的函数的解析式为 y=﹣错误!未找到引用源。 ; x k (k≠0)关于 x 轴对称的函数的解析式为:y=﹣错误!未找到引用源。 . x

(3)由于两反比例函数关于 x 轴对称,比例系数 k 互为相反数; 则反比例函数 y ?

故答案为: (﹣3,6) 、y=﹣错误!未找到引用源。 . 4.解: (1)正确的结论:① ② ③ ; (2)错误理由:当 a>0 时,只有 x1>x2>0 或 x2<x1<0 时,y1<y2, 而 x2<0<x1 时,y1>y2; 改正:当 a>0 时,在同一象限内,函数 y ?

a ,y 随 x 增大而减小. x

5.解:设点 A 的坐标为(x,y) ,则点 B 坐标为(﹣x,﹣y) ,所以 AC=2y,BC=2x, 所 以 Rt△ ACB 的 面 积 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 AC?BC= 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ×2x?2y=2xy=2|k|=24. 6.解: (1)∵ 点 P(1,2)在反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象上,∴ 2=错误! 未找到引用源。 ,∴ k=2,∴ y=错误!未找到引用源。 , 当 x=﹣2 时, y ?

2 ? ?1 ; ?2

(2)∵ 当 x=1 时,y=2;当 x=4 时,y=错误!未找到引用源。 ; 又∵ 反比例函数 y=错误!未找到引用源。在 x>0 时,y 值随 x 的增大而减小, ∴ 当 1<x<4 时,y 的取值范围为错误!未找到引用源。<y<2. 7.解: (1)根据题意,易得若反比例函数 y=(m﹣3)x 必有 m﹣2=﹣1,解可得 m=1; (2)由(1)可得,反比例函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。 ; 根据题意,易得 y1=1,y2=2,y3=﹣2; 比较可得 y3<y1<y2. 8.解: (1)∵ y1 与(x﹣1)成正比例,y2 与(x+1)成反比例, ∴ y1=k1(x﹣1) ,y2=错误!未找到引用源。 ,
m﹣2

的图象是双曲线,

∵ y=y1+y2,当 x=0 时,y=﹣3,当 x=1 时,y=﹣1.

?? 3 ? ? k1 ? k 2 ? ∴? , 1 ? 1 ? k2 ? 2 ?
∴ k2=﹣2,k1=1, ∴ y=x﹣1﹣错误!未找到引用源。 ; (2)把 x=﹣错误!未找到引用源。代入(1)中函数关系式得,y=﹣错误!未找到引用源。 . 9.解: (1)∵ AB⊥ x 轴,AC⊥ y 轴,∴ A 点的坐标 x=OB,y=OC, 又∵ 正方形 OBAC 的面积=OB× OC=16,即 xy=k=16, ∴ 反比例函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。 . (2)由(1)可得 OC=4,设 P 点坐标为(x,y) , ∵ S△ PCO=6,∴ x=3, 代入反比例函数的解析式中得 y=错误!未找到引用源。 ,∴ P 点坐标为(3,错误!未找到引 用源。 ) . 10.解: (Ⅰ )∵ 反比例函数过点(2,2) ,∴2 ? ∴ 这个反比例函数的解析式为: y ?

5?k ,∴ k=1 2

4 ; x

(Ⅱ )∵ 5﹣k=4>0∴ y 随 x 的增大而减小. 当 x=﹣3 时, y ? ?

4 , 3

当 x=﹣1 时,y=﹣4. ∴ y 的取值范围为 ? 4<y< ?

4 ; 3

(Ⅲ )当 x1<0<x2 时,y1<y2.

B 类试题:
1 x ? 3) ?3 ?( ? 11.解:根据新定义运算可知, y ? 3 ? x ? ? 3 , ? (x<3,x ? 0) ? ? x
(1)当 x≥3 时,此函数解析式为 y=2,函数图象在第一象限,以(3,2)为端点平行于 x 轴的射线,故可排除 C、D; (2)当 x<3 时,此函数是反比例函数,图象在二、四象限,可排除 A.故选 B. 12.解:∵ AC=2BC,∴ A 点的横坐标是 B 点横坐标的两倍.

∵ 点 A、点 B 都在一次函数 y ?

1 x ? b 的图象上, 2

∴ 可设 B(m,错误!未找到引用源。m+b) ,则 A(﹣2m,﹣m+b) . ∵ |x1﹣x2|=2,∴ m﹣(﹣2m)=2,∴ m=错误!未找到引用源。 . 又∵ 点 A、点 B 都在反比例函数 y ?

k (k>0)的图象上, x

∴ 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。+b)=(﹣错误!未找到引用源。 ) (﹣错误! 未找到引用源。+b) ,∴ b=错误!未找到引用源。 ; ∴ k=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 )=错误!未找 到引用源。 .故选 D. 13.解:由反比例函数系数 k 的几何意义判断各结论: ① △ ODB 与△ OCA 的面积相等;正确,由于 A、B 在同一反比例函数图象上,则两三角形面 积相等,都为错误!未找到引用源。 . ② 四边形 PAOB 的面积不会发生变化;正确,由于矩形 OCPD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值,则四边形 PAOB 的面积不会发生变化. ③ PA 与 PB 始终相等;错误,不一定,只有当四边形 OCPD 为正方形时满足 PA=PB. ④ 当点 A 是 PC 的中点时,点 B 一定是 PD 的中点.正确,当点 A 是 PC 的中点时,k=2, 则此时点 B 也一定是 PD 的中点.故一定正确的是① ② ④ . 14.解:根据已知给出的条件,连续代入便寻找出规律, 当 y 分别为 1, 3, 5, …2005 时, x1, x2, x3, …, x2005 分别为 6, 2, 错误! 未找到引用源。 , …, 错误!未找到引用源。 , 再将 x1,x2,x3,…,x2005 分别代入错误!未找到引用源。 得:y1,y2,y3,…,y2005 分别为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未 找到引用源。 ,…,错误!未找到引用源。 , 故 y2005=错误!未找到引用源。 . 15.解: (Ⅰ )这个反比例函数图象的另一支在第三象限. ∵ 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限, ∴ m﹣5>0,解得 m>5. (Ⅱ )如图,由第一象限内的点 A 在正比例函数 y=2x 的图象上, 设点 A 的坐标为(x0,2x0) (x0>0) ,则点 B 的坐标为(x0,0) ∵ S△ OAB=4,∴ 错误!未找到引用源。x0?2x0=4,解得 x0=2 或﹣2(负值舍去)

∴ 点 A 的坐标为(2,4) . 又∵ 点 A 在反比例函数 y=错误!未找到引用源。的图象上, ∴ 4=错误!未找到引用源。 ,即 m﹣5=8. ∴ 反比例函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。 . 16.解: (1)因为 Pn(x,y)是第一象限内的图象上点,且 x,y 都是整数. 所以 x 只能取 1,2,3,6. 当 x=1 时,y=6;当 x=2 时,y=3;当 x=3 时,y=2;当 x=6 时,y=1; 所以所有的点分别为 P1(1,6) ,P2(2,3) ,P3(3,2) ,P4(6,1) ; (2)当 P(m,y1)在第一象限时,均有 y1>y2,此时 m>0, 当 P(m,y1)在第三象限时,当 m<﹣3 时有 y1>y2, 所以实数 m 的取值范围为:m>0 或 m<﹣3. 17.解: (1)由于正方形 ABCD 绕其顶点 C 顺时针旋转 180° 得四边形 A′B′CD′, 则 DD'=2CD',BB'=2BC;又 A(﹣1,6) ,则 C(2,3) . 将 C 点坐标代入函数关系式求得 k=2× 3=6. (2)由(1)中正方形的性质可得 A'(5,0) ,则 xE=5, 代入函数关系式求得 yE=错误!未找到引用源。 ,即 A'E=错误!未找到引用源。 . 则 B'E=3﹣错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,BC=3,S△BCE=错误!未找到引 用源。× 3× 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2.7. 18.解: (1)由题意,得 3=1+m,解得:m=2.∴一次函数的解析式为 y1=x+2. 由题意,得 3=错误!未找到引用源。 ,解得:k=3. ∴反比例函数的解析式为 y2=错误!未找到引用源。 . 由题意,得 x+2=错误!未找到引用源。 ,解得 x1=1,x2=﹣3. 当 x2=﹣3 时,y1=y2=﹣1, ∴交点 B(﹣3,﹣1) . (2)由图象可知,当﹣3≤x<0 或 x≥1 时,函数值 y1≥y2.

19.解: (1)将点 A(﹣1,2)代入 y=错误!未找到引用源。中,2=错误!未找到引用源。 ; ∴ m=﹣2. ∴ 反比例函数解析式为 y=﹣错误!未找到引用源。 . 将 B(﹣4,n)代入 y=﹣错误!未找到引用源。中,n=﹣错误!未找到引用源。 ;∴ n=错误! 未找到引用源。 . ∴ B 点坐标为(﹣4,错误!未找到引用源。 ) . 将 A(﹣1,2) 、B(﹣4,错误!未找到引用源。 )的坐标分别代入 y=kx+b 中,

1 ? ?? k ? b ? 2 k? ? ? ? 2. 得? 1 ,解得 ? ? 4 k ? b ? 5 ? ?b ? 2 ? ? 2 ?
∴ 一次函数的解析式为 y=错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。 ; (2)当 y=0 时,错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。=0,x=﹣5; ∴ C 点坐标(﹣5,0) ,∴ OC=5. S△ AOC=错误!未找到引用源。?OC?|yA|=错误!未找到引用源。× 5× 2=5. S△ BOC=错误!未找到引用源。 ?OC?|yB|=错误!未找到引用源。× 5× 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 . S△ AOB=S△ AOC﹣S△BOC= 5 ?

5 =错误!未找到引用源。 . 4

20.解: (1)x=错误!未找到引用源。时,y1=﹣错误!未找到引用源。 ,x=﹣错误!未找 到引用源。+1=﹣错误!未找到引用源。 ; x=﹣错误!未找到引用源。时,y2=3,x=3+1=4; x=4 时,y3=﹣错误!未找到引用源。 ,x=﹣错误!未找到引用源。+1=错误!未找到引用源。 ; x=错误!未找到引用源。时,y4=﹣错误!未找到引用源。 ,x=﹣错误!未找到引用源。+1= ﹣错误!未找到引用源。 ; x=﹣错误!未找到引用源。时,y5=3; (2)按照(1)的规律,我们发现,y 的值三个一循环 2011÷ 3=607.33,y2011=y1=﹣错误! 未找到引用源。 .故答案为: (1) y1 y2 y3 ﹣错 误!未 找到引 用源。 y4 ﹣错 误!未 找到引 用源。 y5

? 4 3

4 3

3

3

(2) ?

C 类试题:
21.解:分别过 P1、P2、P3 作 x 轴的垂线,垂足为 H1、H2、H3, 则△ OP1H1,△ A1P2H2,△ A2P3H3 为等腰直角三角形, 设 OH1=P1H1=a,则 a =4,解得 a=2(舍去负值) , 即 P1 的横坐标为 2,设 A1H2=P2H2=b,则(4+b)b=4, 解得 b ? 2 ? 1 ? 2 (舍去负值) ,
2

?

?

即 P2 的横坐标为 4 ? b ? 2 1 ? 2 , 设 A2H3=P3H3=c,则(2a+2b+c)c=4, 即 4 2 ?c c?4, 解得 c ? 2 ? 2 ? 3 (舍去负值) , 即 P3 的横坐标为 2a ? 2b ? c ? 2 2 ? 3 , …P2011 的横坐标为 2 2010 ? 2011 .

?

?

?

?

?

?

?

?

22.解: (1)由于点 A 位于反比例函数的图象上,所以 S△ AOP=错误!未找到引用源。|k|= 错误!未找到引用源。 . 故当点 P 在 x 轴的正方向上运动时,Rt△ AOP 的面积不变,值总等于错误!未找到引用源。 . (2)由(1)知 S△ AOP=S△BOD,而 S 梯形 BCPD<S△BOD,所以 S1>S2. 23.解:作 P1⊥ y 轴于 C,P2⊥ x 轴于 D,P3⊥ x 轴于 E,P3⊥ P2D 于 F,如图, 设 P1(a,错误!未找到引用源。 ) ,则 CP1=a,OC=错误!未找到引用源。 , ∵ 四边形 A1B1P1P2 为正方形, ∴ Rt△ P1B1C≌ Rt△ B1A1O≌ Rt△ A1P2D, ∴ OB1=P1C=A1D=a, ∴ OA1=B1C=P2D=错误!未找到引用源。﹣a, ∴ OD=a+错误!未找到引用源。﹣a=错误!未找到引用源。 , ∴ P2 的坐标为(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。﹣a) , 把 P2 的坐标代入 y=错误!未找到引用源。 (x>0) ,得到(错误!未找到引用源。﹣a)?错 误!未找到引用源。=2,解得 a=﹣1(舍)或 a=1, ∴ P2(2,1) , 设 P3 的坐标为(b,错误!未找到引用源。 ) , 又∵ 四边形 P2P3A2B2 为正方形,

∴ Rt△ P2P3F≌ Rt△ A2P3E, ∴ P3E=P3F=DE=错误!未找到引用源。 , ∴ OE=OD+DE=2+错误!未找到引用源。 , ∴ 2+错误!未找到引用源。=b,解得 b ? 1 ? 3 (舍) , b ?1? 3 ,

2 2 ? 3 ?1, ∴ ? b 1? 3
∴ 点 P3 的坐标为

? 3 ? 1,

3 ?1 .

?

24.解: (1)将 P(-2,a)代入 y ? ?2 x 得 a=-2×(-2)=4,∴P′(2,4) . (2) 将 P′(2,4)代入 y ?

k 8 k 得 4= ,解得 k=8,∴反比例函数的解析式为 y ? . x 2 x

自变量 x 的取值范围 x<0 或 x>4. 25.解: (1)根据反比例函数系数 k 的几何意义可知 S1=S2=k; 当 y1﹣y2=x2﹣x1 即 AC=BD 时 C1=C2; 当 y1﹣y2<x2﹣x1 即 AC<BD 时 C1<C2; 当 y1﹣y2>x2﹣x1 即 AC>BD 时 C1>C2. (2)设 P(x,y) ,即(x,错误!未找到引用源。 ) , 四边形 PMON 的周长=2(x+y)=2(x+错误!未找到引用源。 ) , 因为面积相等的四边形中正方形的周长最小, 所以 x=错误!未找到引用源。 ,解得 x ? k , 故四边形 PMON 的周长最小= ( 2 x ? y) ?4 k. 26.解: (1)根据图象,正比例函数图象经过点(2,4) ,设函数解析式为 y=kx, 则 2k=4,解得 k=2,所以函数关系为 y=2x(0≤x≤2) ; (2)根据图象,反比例函数图象经过点(2,4) , 设函数解析式为 y=错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。=4,解得 k=8, 所以,函数关系为 y=错误!未找到引用源。 (x>2) ; (3)当 y=2 时,2x=2,解得 x=1,错误!未找到引用源。=2,解得 x=4, ∴ 服药一次,治疗疾病的有效时间是 4﹣1=3 小时. 27.解: (1)根据图象,反比例函数图象经过(1,200) ,设反比例函数为 y=错误!未找到 引用源。 ,则错误!未找到引用源。=200,

解得 k=200,∴ 反比例函数为 y=错误!未找到引用源。 (x≤5) , 当 x=5 时,y=40, 设改造工程完工后函数解析式为 y=20x+b, 则 20× 5+b=40,解得 b=﹣60, ∴ 改造工程完工后函数解析式为 y=20x﹣60; (2)当 y=200 时,20x﹣60=200,解得 x=13. 13﹣5=8. ∴ 经过 8 个月,该厂利润才能达到 200 万元; (3)当 y=100 时,错误!未找到引用源。=100,解得 x=2, 20x﹣60=100,解得 x=8, ∴ 资金紧张期共有 8﹣2﹣1=5 个月. 故该厂资金紧张期共有 5 个月. 28.解: (1)因为爆炸前浓度呈直线型增加,所以可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k1x+b, 由图象知 y=k1x+b 过点(0,4)与(7,46) , ∴?

?b ? 4 ?k1 ? 6 ,解得 ? , ?b ? 4 ?7 k1 ? b ? 46

∴ y=6x+4,自变量 x 的取值范围是 0≤x≤7. (不取 x=0 不扣分,x=7 可放在第二段函数中) 因为爆炸后浓度成反比例下降,所以可设 y 与 x 的函数关系式为 y ? 由图象知 y ? ∴

k2 . x

k2 过点(7,46) , x

k2 k2=322, ? 46 ,∴ 7 322 ∴y ? ,此时自变量 x 的取值范围是 x>7. x
(2)当 y=34 时,由 y=6x+4 得,6x+4=34,x=5. ∴ 撤离的最长时间为 7﹣5=2(小时) . ∴ 撤离的最小速度为 3÷ 2=1.5(km/h) . (3)当 y=4 时,由 y ?

322 得,x=80.5,80.5﹣7=73.5(小时) . x

∴ 矿工至少在爆炸后 73.5 小时能才下井. 29.解: (1)药物释放过程中 y 与 x 的函数关系式为 y=错误!未找到引用源。x(0≤x≤12) 药物释放完毕后 y 与 x 的函数关系式为 y=错误!未找到引用源。 (x≥12) .

(2)错误!未找到引用源。=0.45 解之得 x=240(分钟)=4(小时) 答:从药物释放开始,至少需要经过 4 小时后,学生才能进入教室. 30.解: (1)画图略 由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数
k ∴设 y ? (k ? 0) x

把 x ? 10,y ? 30 代入得: k ? 300 ,∴ y ? 将其余各点代入验证均适合
∴ y 与 x 的函数关系式为: y ?

300 x

(不交代其余各点是否符合扣 1 分)
300 x

(2)把 y ? 24 代入 y ?

300 得: x ? 12.5 x

∴当弹簧秤的示数为 24N 时,弹簧秤与 O 点的距离是 12.5cm
随着弹簧秤与 O 点的距离不断减小,弹簧秤上的示数不断增大.



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