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专题正弦、余弦函数的图像及性质



专题:正弦、 专题:正弦、余弦函数的图像及性质
一、教学目标
了解正弦曲线的画法,能利用描点法画出 y=sinx 的图像。 能由诱导公式 sin(

π
2

+ α ) = cos α ,利用正弦函数图像画出余弦函数的图像(五点法) 。

会利用正弦函数图像, 进一步研究和理解正弦函数的单调性、 奇偶性、 最大值和最小值、 图像与 X 轴的交点。通过类比正弦函数性质研究余弦函数性质的学习过程,体会类比 学习数学的思想方法。 通过利用函数图像研究正弦、 余弦函数性质的过程, 进一步体会画函数图像和研究函数 性质的相互依赖关系。

二、教学重难点:1.理解并掌握正弦、余弦函数的图像及性质;
2、会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会它是描述周期变化现象的重要函数模型。

知识预览 一、正弦函数 正弦函数y=sinx及余弦函数 函数 及余弦函数y=cosx在R上的图象 在 上
y

红线为正 红线为正弦曲线
1

?3π ? 5 π ?2π ? 3π ?π 2 2

? π 2
-1

π 2

π

3π 2



5π 2



x

y = cos x = sin( + x) 2

π

π
(余弦函数图像可通过正弦曲线向左平移

2

或向右平

3π 单个位长度而得到) 2



正弦、 正弦、余弦函数的性质

1:正弦函数的性质 定义域 值域 奇偶性 最小正周期 R [-1,1] 奇函数

2π π

单调性

π π? ? 在x ∈ ? 2kπ ? , 2kπ + ? (k ∈ Z )上是增函数; 2 2? ? π 3π ? ? 在x ∈ ? 2kπ + , 2kπ + ? (k ∈ Z )上是减函数; 2 2 ? ?

最值

当x = 2kπ + (k ∈ Z )时,ymax = 1 2 3π 当x = 2 k π + (k ∈ Z )时,ymin = ?1 2
R [-1,1] 偶函数

π

2 余弦函数的性质 定义域 值域 奇偶性 最小正周期



在x ∈ [ 2kπ , 2kπ + π ] (k ∈ Z )上是增函数;
单调性

在x ∈ [ 2kπ ? π , 2kπ ] (k ∈ Z )上是减函数;
当x = 2kπ 时,ymax = 1(k ∈ Z )

最值

当x = 2kπ + π 时,ymin = ?1(k ∈ Z )

对称坐标:正弦曲线是中心对称图形,对称坐标 ( kπ , 0)( k ∈ Z ) ,关于原点对称, 余弦曲线是中心对称图形,对称坐标 (kπ +

π
2

, 0)(k ∈ Z )

对 称 轴 方 程 : 正 弦 曲 线 是 轴 对 称 图 形 , 对 称 轴 方 程 x = kπ + (k ∈ Z) 2

π

( 余弦曲线是轴对称图形:对称轴方程 x = kπ k ∈ Z)
需要注意的问题:
在考察基础题时,要求几个知识点的综合运用,注意各知识点之间的联系。 加大联系力度,解决公式的综合运用问题,提高计算能力。 掌握好正弦、余弦函数和 y = A sin(ωt + ? ) 的图像和性质(定义域、值域、最值、周期 及单调性、奇偶性) ,它们也是新课改高考常考内容之一 掌握几种数学思想在三角函数问题中的应用:树形结合、整体思想,代换思想,化归思想 要注意知识外延和横向联系,特别是重视代数、不等式、函数、三角函数的综合运用。

三:应用举例 【例 1】请在下图分别画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]的图象。
y y

x

x

【例 2】正弦函数、余弦函数的主要性质: (1) 定义域:y=sinx y=cosx (2) 值 域:y=sinx y=cosx (3) 周期性:y=sinx y=cosx (4) 奇偶性:y=sinx y=cosx (5) 单调区间:y=sinx y=cosx (6) 最值(最大及最小值) :y=sinx y=cosx 【例 3】 、函数 y=Asin(ωx+ψ)(ω>0, x∈R)的周期是 T= 【例 4】 求下列函数的两域(定义域和值域) 1.y=1+sinx 解:定义域:R 变式训练: 变式训练 y = ,值域:Q sin x ∈ [?1,1]
1 1 + sin x 3π
2
∴ 1 + sin x ∈ [0, 2] ∴ y ∈ [0, 2 ]



定义域: x ≠ 2kπ + 值域:令 t=1+sinx

k ∈Z y=

t ∈ (0, 2]

1 t

(问题转化为:已知反比例函数 y = , t ∈ (0, 2] ,求其值域)

1 t

1 ∴ y ∈ [ , ∞) 2

【例 5】求函数 y = s in 2 x ? 2 c o s x 的值域 利用平方关系 sin 2 x = 1 ? cos 2 x 得,原式变为 y = 1 ? 2cos x ? cos 2 x ,令 t=cosx
t ∈ [?1,1]
2 2 所以: y = ? t ? 2 t + 1 = ? ( t + 1) + 2

(利用配方法,我们得到它有最大值,可是没有最小值?)
∴ 当 t = ?1时,y max = 2
2

当 t = 1时,y min = ?2

变形:求 y = sin x ? a cos x 的最大值 变形 思考: 思考 y = sin x ? a cos x
2

的最值

课堂练习: 课堂练习: 练习
1、要得到正弦曲线,只需要将余弦曲线( A、向右平移


B、向左平移

π

π
个单位
2

个单位

2 3π 个单位 C、向右平移 2

D、向左平移π个单位

2.正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象的一条对称轴是( A、y 轴
3.函数 y=sin(x+

) D、直线 x=π 。 。 。

B、x 轴

C、直线 x=

π

)的对称轴方程为 4 4.使 cosx=1-m 有意义的 m 的值为 5.函数 y= 1 + 2 sin x 的定义域是 6.函数 y=

π

2

2 + cos x (x∈R)的最大值是 。 2 ? cos x x 7.函数 y=2-cos 的最小值是 ,此时自变量 x 的集合是 3 8.在△ABC 中,下列选项中判断正确的是 ( ) 5 4 15 π B. tan π > tan(? ) A. sin π > sin π 7 7 8 7 5 π 3 9 C. sin(? π ) > sin(? ) D. cos(? π ) > cos(? π ) 7 6 5 4 9.

f (x ) 为奇函数, x > 0时, f ( x) = sin 2 x + cos x, 则x < 0时f ( x) =
nπ , 则 f (1) + f (3) + f (5) + LL + f (101) = 6

10.若 f ( n ) = sin

.

11.已知方程 cos 2 x + 4 sin x ? a = 0 有解,那么 a 的取值范围是 12. (选做)函数 y = lg sin x + 16 ? x 2 的定义域为 .

13.已知 α (0 < α < 2π ) 的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么 α 的值(
A.



π

3 或 π 4 4

B.

5π 7 或 π 4 4

C.

π

5 或 π 4 4

D.

π

7 或 π 4 4

14.函数 y= 2 sin2xcos2x 是周期为 15. (选做)方程 sin x = lg x 的实根有



(奇或偶) 函数。 (
D.无数个 ( )



A. 1 个 B.2 个 C .3 个 16.下列函数中,以π为周期的偶函数 A. y = | sin x | B. y = sin | x | C. y = sin(2 x +

π
3

) D. y = sin( x +

π
2

)

17.已知 y = cos x(0 ≤ x ≤ 2π ) 的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形,该图

形的面积是 A. 4 π

B.2π

C .8

( D. 4 ( )



18.下列四个函数中为周期函数的是 A.y=3 B. y = 3 x
o

C. y = sin | x |
19. (选做)比较 sin(cos

x∈R

D. y = sin

3π 3π )、sin(sin )的大小。 8 8

1 x

x ∈ R且 x ≠ 0

20 . (选做)设 f ( x) = a sin(πx + α ) + b cos(πx + β ) + 4
f (2000) = 5, 那么 f (2004) = A. 1 B.3 C. 5

(a, b,α , β 为常数) ,且
( )

D. 7
( )

21. (选做)如果 | cos x |= cos(? x + π ). 则 x 的取值范围是 A. [ ? C. [

π
2

+ 2kπ ,

π
2

+ 2kπ ](k ∈ Z )

B. (

π

3 + 2kπ , π + 2kπ )( k ∈ Z ) 2 2

3 + 2kπ , π + 2kπ ](k ∈ Z ) 2 2 课后作业: 课后作业: sin(θ ? 5π ) cos(? 1.化简(1) sin(θ ? 2.已知 0 ≤ x ≤

π

D. (?π + 2kπ , π + 2kπ )(k ∈ Z )

π
2

? θ ) cos(8π ? θ )
( 2)

1 ? 2 sin 10° cos 10° sin 170° ? 1 ? sin 2 170°

π
2

3π ) sin(?θ ? 4π ) 2

, 求函数y = cos 2 x ? 2a cos x 的最大值 M(a)与最小值 m(a)

1 ? (x < ) ?cos π x, ( x < 0) ?sin π x, ? 2 3.设 f ( x) = ? 和 g ( x) = ? ( x ≥ 0) 1 ? f ( x ? 1) + 1, ? g ( x ? 1) + 1, (x ≥ ) ? ? 2 1 1 5 3 求 g ( ) + f ( ) + g ( ) + f ( ) 的值. 4 3 6 4 π 1 11 4.已知 α、β ∈ 0, ) ( ,且 cos α = , sin(α + β) = ,求 cos β 2 7 14

(已知 sin(α + β ) = sin α ? cos β + cos α ? sin β )
5.求函数 y = 4 sin(

π
4

? 3 x) 的单调区间,最大值及取得最大值时的 x 的集合。

6.求函数 y = log 0.2 [1 ? 2 sin( 2 x +

π
3

)] 的定义域、值域、单调性、周期性、最值。

7. (选做) .如图,某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数

y = A sin(ωx + ? ) + b
(1) 求这段时间最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

8. (选做)已知 f ( x) =| sin kx | + | cos kx |

(k ∈ N + )

(1) 求 f(x)的最小正周期; (2) 求 f(x)的最值; (3) 试求最小正整数 k,使自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变 化时,函数 f(x)至少有一个最大值,一个最小值. 课后巩固: 课后巩固: 1.函数 y = sin( x +
3 π A. [? π , ] 4 4

π
4

) 在闭区间( B. [?π ,0]

)上为增函数.
C. [ ?


D. [ ?



π 3

, π] 4 4

π π

, ] 2 2

2. (选做)函数 y = log 1 sin( 2 x +
2

π
4

) 的单调减区间为
B. (kπ ?


, kπ +



A. (kπ ?

π

4 3 π C. (kπ ? π , kπ + ] 8 8

, kπ ]

(k ∈ Z ) (k ∈ Z )

] (k ∈ Z ) 8 π 3 D. (kπ + , kπ + π ] (k ∈ Z ) 8 8 8

π

π

3. (选做)设 a 为常数且 a > 1,0 ≤ x ≤ 2π ,则函数 f ( x) = cos 2 x + 2a sin x ? 1 的最

大值
A. 2 a + 1
B. 2a ? 1 C. ? 2 a ? 1


D. a 2



3 π 4、已知 cos θ = ? ,则 sin(θ + ) = 5 3

.
5 ,则顶角的正弦值为 13

5、已知等腰三角形底角的正弦值为

6、使得 2 +2cosx≥0, x∈R)成立的 x 的取值集合是 ( )的单调区间是 4 8、y=2cosx+1(x∈R)是 函数,y=-3sinx 是 9.若 f (cos x ) = cos 3 x, 那么 f (sin 30°) 的值为 A .0 B.1 C.-1 7、y=3sin(x-

π

函数(奇或偶) ( )
3 2

D.

5 10.函数 y = sin(2 x + π ) 的图象的一条对称轴方程是 2





4 8 3 11.已知 sin α + cos α = ,那么 sin 3 α ? cos 3 α 的值为 4 25 25 B. A. 23 23 128 128 25 25 C. D.以上全错 23 或- 23 128 128 12 函数 y = sin(2 x + ) 图像的对称轴方程可能是 3 A. x = ?

A. x = ?

π
2

B. x = ?

π

C. x =

π

5 D. x = π 4





π


D. x =



π

6

B. x = ?

π

12

C. x =

π

π
12

6

α 13.已知 sinα ? cos = ,且 < α < , 则 cos α
4 2

1 8

π

π

? sin α =

14.求函数 y =

36 ? x 2 + lg cos x 的定义域

15、求函数 y=-3cos(x+

π
4

)的单调区间

16 . 选 做 )已 知 函数 y = a cos x + b 的 最 大 值 为 1 , 最小 值 为 - 3 ,试 确 定 (
f ( x) = b sin( ax +

π
3

) 的单调区间



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