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天津市天津一中2014届高三上学期第一次月考 文科数学 Word版含答案



天津一中 2013—2014 学年高三数学(文科)一月考考试试卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. 设U ? R , 集合 A ? ? y | y ? x ? 1, x ? 1? ,B ? ?2, ?1,1, 2? , 则下列结论正确的是 ( A. A ? B ? ?2,

?1? C. A ? B ? (0, ??)
x 3

?



?

B. (CU A) ? B ? (??,0) D. (CU A) ? B ? ?? 2,?1? ) D.3 )

2.函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是( A.0 B.1 C.2

1 x ?1 3.设 p :| x ? 1|? 2; q : ( ) ? 1 ,则 p 是 q 的( 2
A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件 )

3 4.已知 sin ? ? , ? 为锐角,且 sin(? ? ? ) ? cos ? , 则 tan(? ? ? ) ? ( 5
A.1 B.

8 25

C. ?2

D. 2 )

5.数列 ?an ? 中 a3 ? 2 , a7 ? 1 ,如果数列 { A. 0 C.
2 3

1 } 是等差数列,那么 a11 ? ( an ? 1

B.

1 2

D. 1

6.已知向量 a ? ? sin x, cos x ? ,向量 b ? 1, 3 ,则 a ? b 的最大值为( A. 3 B.

?

?



3

C. 1

D. 9

7.已知{ an }是首项为 1 的等比数列,Sn 是{ an }的前 n 项和,且 9S3 ? S6 。则数列 ? 5 项和为( A. ) B.

?1? ? 的前 ?an ?

15 或5 8

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8

8 .函数 f ? x ? ? ( ) A. ? C. ?

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 3 2
8 3 B. ? ? a ? ? 5 16

6 3 ?a? 5 16

6 3 ?a?? 5 16

D. ?

8 1 ?a?? 5 16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上 9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 n 的值是 10.已知向量 a, b 满足 (a ? 2b)(a ? b) ? ?6 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则

a 与 b 的夹角为____________
11. 若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m , 且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a =_____________ 12. 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足

???? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? ???? CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? ____________ 6 3
13. 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

? , x ? R ) 的图象的一部分如下图所 2

示,当 x ? [ ?6, ? ] 时,则函数 y ? f ( x ) ? f ( x ? 2) 的最大值是____________

2 3

14 .设 a 为实数 , y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ,若 x

f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 恒成立,则 a 的取值范围为________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.已知△ ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? (I)求边长 a 的值;

2 sin A .

(II)若 S ?ABC ? 3sin A ,求 ?A 的正切值.

16.设平面向量 am =( m , 1), bn = ( 2 , n ),其中 m, n ? {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 am ? (am ? bn ) 成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率

17.已知向量 a ? (cos ?x ? sin ?x, sin ?x) , b ? (? cos ?x ? sin ?x,2 3 cos ?x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,
1 且 ? ? ( , 1) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
π 3π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 4 5

18 . 已 知 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ? 2n 2 ? n , n ? N * , 数 列 ?bn ? 满 足

a n ? 4 log 2 bn ? 3 , n ? N * .
(I)求 a n , bn (II)求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和 Tn

19.已知函数 f ( x) ? 4 x 3 ? 3 x 2 cos ? ?

1 ? , 其中 x ? R, ? 为参数,且 0 ? ? ? 32 2

(I)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ( x) 是否有极值; (II)要使函数 f ( x) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (III)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x) 在区间 (2a ? 1, a ) 内都是增 函数,求实数 a 的取值范围

20 .已知无穷数列 ?a n ? 中, a1 , a 2 , ? , a m 是以 10 为首项,以 -2 为公差的等差数列;

1 1 ? a m ?1 , a m ? 2 , ? a 2 m 是以 为首项, 以 为公比的等比数列 m ? 3, m ? N , 并对任意 n ? N ? , 2 2
均有 a n ? 2 m ? a n 成立. (Ⅰ)当 m ? 12 时,求 a 2010 ; (Ⅱ)若 a 52 ?

?

?

1 ,试求 m 的值; 128

(Ⅲ)判断是否存在 m ,使 S128 m ?3 ? 2010 成立,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明 理由.

参考答案: 一、选择题: 1.D 2.B 3.B 4.D 5 .B 6.A 7.C 8.C 二、填空题: 9.4 10.

?
3

11.

1 4

12.-2

13. 6 14. a ? ?

8 7

三、解答题: 15. (1)

由正弦定理, sin B ? sin C ? 2 sin A 可化为b ? c ? 2a ? ?a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ?a?4 ? ? ?b ? c ? 2a
(2)

S ?ABC ? 3 sin A 1 bc sin A ? 3 sin A 2 ? bc ? 6 又b ? c ? 4 2 b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? 2bc 2bc 3 ? tan A ? 2 2 ? cos A ?
16. (1) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 共 16 个

(2)由 am⊥(am-bn) 得 m2-2m+1-n=0 ∴n=(m-1)2 ∵m, n∈{1, 2, 3, 4} ∴A 包含(2, 1) (3,4)共 2 个 ∴ P ( A) ? 17.

2 1 ? 16 8

(1) f ( x) ? sin 2 ?x ? cos 2 ?x ? 2 3 sin ?x ? cos ?x ? ? ? 3 sin 2?x ? cos 2?x ? ? )?? 6 ? x ? ?是y ? f ( x)的一条对称轴 ? 2?? ? ?? ? ? 2 sin( 2?x ?

?

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k 1 ? 2 3 1 又? ? ( ,1) k ? Z 2 5 ?k ?1 , ? ? , 6

(2) y ? f ( x)过点( ,0) ? ? ? ? 2 4 5 ? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 2 3 6 3 ? 5 ? 5 ?0 ? x ? ? ?? ? x ? ? ? 5 6 3 6 6 1 5 ? ? ? ? sin( x ? ) ? 1 2 3 6 ? ?1 ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 2 ? [?1 ? 2 , 2 ? 2]

?

6 T? ? 5

18.

(1) S n ? 2n 2 ? n, n ? 1, ? 4n ? 1 ? a n ? 4n ? 1 又 ? a n ? 4 log 2 bn ? 3 ? bn ? 2 n ?1

a1 ? S1 ? 3

n ? 2, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? n ? [2(n ? 1) 2 ? (n ? 1)]

(2)a n bn ? (4n ? 1) ? 2 n ?1 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11 ? 2 2 ? ?? ? (4n ? 1) ? 2 n ?1 2Tn ? 3 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? 11 ? 2 3 ? ?? ? (4n ? 1) ? 2 n ? 2Tn ? Tn ? (4n ? 1) ? 2 n ? [3 ? 4(2 ? 2 2 ? ?? ? 2 n ?1 )] ? (4n ? 5) ? 2 n ? 5 ? Tn ? (4n ? 5) ? 2 n ? 5
19.

(1) cos ? ? 0时, f ( x) ? 4 x 3 ? ? f ( x)在(??,??)内 ? ? f ( x)无极值 (2) f / ( x) ? 12 x 2 ? 6 x cos ?

1 32

令f / ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? ?0 ? ? ? 及(1) 2 ? 只需考虑 cos ? ? 0的情况 x f / ( x) f ( x) (??,0) ? ? 0 0 极大值 f (0) ? 1 32

?

cos ? 2

(0,

cos ? ) 2 ? ?

cos ? 2 0 极小值 f(

(

cos ? ,??) 2 ? ?

cos ? 1 1 )? ? cos 3 ? 2 32 4 1 1 1 ? ? 由已知 ? cos 3 ? ? 0 ? 0 ? cos ? ? ? ?? ? 32 4 2 3 2 cos ? (3)由(2)已知,f ( x)在区间(??,0)和( ,??) ? 2
? f ( x)在(2a ? 1, a )内 ? ?2 a ? 1 ? a ?2 a ? 1 ? a ? ?? 或? 1 2a ? 1 ? cos ? ?a ? 0 ? 2 ? 5 5 ? a ? 0或 ? a ? 1 ? a ? (??,0] ? [ ,1) 8 8
20.

(1)a n ? 24 ? a n

? a 2010 ? a18

1 1 a18是以 为首项, 以 为公比的等比数列的第6项 2 2 1 1 ? a 2010 ? a18 ? ( ) 6 ? 2 64 1 1 1 (2) ? ( ) 7 , 所以m ? 7,? a52 ? 128 2 128 ? 2 Km ? m ? 7 ? (2 K ? 1)m ? 7 ? 52, 其中m ? 7, m ? N ? ? (2 K ? 1)m ? 45 ? K ? 0时,m ? 45 K ? 1时, m ? 15 K ? 2时,m ? 9 45 ? 7不成立 7 ? m可取9,15,45 K ? 3时,m ? (3) S128 m ?3 ? 64 S 2 m ? a1 ? a 2 ? a3

K?N

? S128 m ?3

1 1 [1 ? ( ) m ] m(m ? 1) 2 ] ? 10 ? 8 ? 6 ? 64[10m ? (?2) ? 2 1 2 1? 2 1 ? 704m ? 64m 2 ? 88 ? 64 ? ( ) m 2 ? 2010

1 1 ? 704m ? 64m 2 ? 2010 ? 88 ? 64 ? ( ) m ? 1922 ? 64( ) m 2 2 1 设f (m) ? 704m ? 64m 2 g (m) ? 1922 ? 64( ) m 2 2 f (m) ? ?64(m ? 11m) m ? 5或m ? 6时取 max ? 1920 ? f (m) ? 1920 又g (m) ? 1922 ? 不存在这样的m



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