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二次函数压轴



1.如图,抛物线

的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C

点,已知 B 点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标.

2.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1),B(2,0),O(0, 0),将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到△A′B′O. (1)一抛物线经过点 A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点 P,使四边形 PB′A′B 的面积是 △A′B′O 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形?并写出四边形 PB′A′B 的两条性质.

3.如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐标 原点,A、B 两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线 y=x +bx+c 经过点 B,且顶 点在直线 x=上. (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE,点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当 四边形 ABCD 是菱形时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得△PBD 的周长最小,求出 P 点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重 合),过点 M 作∥BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t,△PMN 的面积为 S, 求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围,S 是否存在最大值?若存在,求出最 大值和此时 M 点的坐标;若不存在,说明理由.
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4.如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三 角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

5.如图,已知抛物线 y=x +bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B(5,0),另一个交点为 A, 且与 y 轴交于点 C(0,5). (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2) 若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点, 过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N, 求 MN 的最大值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点, 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1,△ABN 的面积为 S2, 且 S1=6S2,求点 P 的坐标.

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6.如图,已知抛物线 y=ax +bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C,其中 A 点的坐标是(1,0),C 点坐标是(4,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 D,使△BCD 的周长最小?若存在,求出点 D 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)若点 E 是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线 AC 的下方,试求△ACE 的最大面 积及 E 点的坐标.

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7.如图,已知抛物线 y=﹣x +bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,若已知 A 点的坐标为 A(﹣2,0). (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程; (2)求点 C 的坐标,连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ACQ 为等腰三角形?若存在,求出符合条件 的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由.

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8.如图,在坐标系 xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0, 2 2),抛物线 y=x +bx﹣2 的图象过 C 点. (1)求抛物线的解析式; (2)平移该抛物线的对称轴所在直线 l.当 l 移动到何处时,恰好将△ABC 的面积分为相等 的两部分? (3)点 P 是抛物线上一动点,是否存在点 P,使四边形 PACB 为平行四边形?若存在,求 出 P 点坐标;若不存在,说明理由.



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