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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4单元测评二 平面向量



高中·新课标 A 版·数学·必修 4

单元测评(二) 平面向量
(时间: 90 分钟 满分:120 分 ) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 1.下列等式恒成立的是( → +BA → =0 A.AB → -AC → =BC → B.AB C.(a· b)· c=a(b· c) D.(a+b)· c=a

· c+b· c 解析:由数量积满足分配律可知 D 正确. 答案:D 2.已知|a|=2 3,|b|=6,a· b=-18,则 a 与 b 的夹角 θ 是( A.120° C.60° B.150° D.30° ) )

a· b - 18 3 解析:∵cos θ= = =- , |a||b| 2 3×6 2 ∴ θ= 150° . 答案:B 3.已知 i =(1,0),j=(0,1),则与 2i +3j 垂直的向量是( A.3i +2j C.-3i +2j B.-2i +3j D.2i -3j )

解析:2i+ 3j= (2,3),C 中- 3i+ 2j= (- 3,2).因为 2×(- 3)+ 3×2= 0, 所以 2i+ 3j 与- 3i+ 2j 垂直. 答案:C
1

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 4. 已知 a, b 均为单位向量, 它们的夹角为 120° , 那么|a+3b|的值为( A. 7 C. 13 B. 10 D.4 )

解析:|a+ 3b|2= (a+ 3b)2= a2+ 6a· b+ 9b2= 1+ 9+ 6· |a|· |b|· cos120° = 10 + 6· cos120° = 7.所以 |a+ 3b|= 7. 答案:A 5.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(-3, -4),且 c=λ1a+λ2b, 则 λ1, λ2 的值分别为( A.-2,1 C.2,-1 ) B.1,-2 D.-1,2

解析: 因为 c= λ1a+ λ2b, 则有 (- 3, - 4)= λ1(1,2)+ λ2(2,3)= (λ1+ 2λ2,2λ1 + 3λ2),
? ?λ1+ 2λ2=- 3, 所以? 解得 λ1= 1, λ2=- 2. ?2λ1+ 3λ2=- 4, ?

答案:B 6.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a· b= 3, 则 b 等于( A.?
? 3 1? , ? ?2 2?

)
?1 3? B.? , ? ?2 2?

?1 3 3 ? ? C.? , ?4 4 ?
2

D.(1,0)
2

? ?x + y = 1, 解析:令 b= (x, y)(y≠0),则? ? ? 3x+ y= 3,

① ②

将②代入①得 x2+ ( 3- 3x)2= 1,即 2x2- 3x+ 1= 0, 1 3 ∴ x= 1(舍去,此时 y= 0)或 x= ?y= . 2 2
2

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 答案:B → =a+kb, → =la+b(k, → 与AC →共 7. 向量 a 与 b 不共线, AB AC l∈R), 且AB 线,则 k,l 应满足( A.k+l=0 C.kl+1=0 ) B.k-l=0 D.kl-1=0

→ 与AC → 共线,所以设AC → = λAB → (λ∈R),即 la+b= λ(a+ kb) 解析:因为AB = λa+ λkb,所以 (l- λ)a+ (1- λk)b= 0.因为 a 与 b 不共线,所以 l- λ= 0 且 1- λk= 0.消去 λ 得 1-lk= 0,所以 kl- 1= 0. 答案:D 8.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则 a 与 b 夹角的取值范围是(
? π? A.?0, ? ? 6? ?π 2π? C.? , ? ?3 3 ?

)
?π ? B.? ,π? ?3 ? ?π ? D.? ,π? ?6 ?

解析:设 a 与 b 的夹角为 θ, ∵ Δ= |a|2- 4a· b≥0, |a|2 ∴a· b≤ , 4 a· b |a|2 1 ∴cos θ= ≤ = . |a||b| 4|a||b| 2 ∵ θ∈ [0,π],
?π ? ∴ θ∈? ,π? . ?3 ?

答案:B 9.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 ( )
3

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A.P→ P→ 1P 2· 1P 3 B.P→ P→ 1P 2· 1P 4 C.P→ P→ 1P 2· 1P 5 D.P→ P→ 1P 2· 1P 6 → → → 解析:由于P→ 1P 2⊥P 1P 5,故其数量积是 0,可排除 C;P 1P 2与P 1P 6的夹 2π 角是 , 故其数量积小于零, 可排除 D; 设正六边形的边长是 a, 则P→ P→ 1P 2· 1P 3 3 3 → |P→ = |P→ |P→ cos30° = a2,P→ P→ cos60° =a2. 1P 2|· 1P 3|· 1P 2· 1P 4= |P 1P 2|· 1P 4|· 2 答案:A 10.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45° ,AB=2CD →· → =( =2,M 为腰 BC 的中点,则MA MD A.1 B.2 )

C.3 D.4 解析:由已知得 BC= 2,∠BCD= 135° , →· → = (MB → +BA → )· → +CD →) 所以MA MD (MC →· → +MB →· → +BA →· → +BA →· → =MB MC CD MC CD = = 2.
4

2 2 2 2 × ×cos180° + ×1×cos135° + 2× ×cos45° + 2×1×cos0° 2 2 2 2

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. → 2=16, → +AC → 11. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC |AB → -AC → |,则|AM → |=__________. |=|AB → +AC → |= |AB → -AC → |, 解析:∵ |AB ∴△ ABC 是以 A 为直角顶点的三角形, 又 M 是 BC 的中点, → |= 1|BC → |=1×4= 2. 则 |AM 2 2 答案:2 →· → =BA →· → 12. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若AB AC BC =1,那么 c=__________. 解析:由题知 →· → +BA →· → = 2, AB AC BC →· → -AB →· → =AB →· → +CB → )=AB → 2= 2?c= |AB → |= 2. 即AB AC BC (AC 答案: 2 →· → 13. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ∠BAD=60° , E 为 CD 的中点, 则AE BD =__________.

5

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 解析:以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴,过 A 且垂直于 AB 的直线 为 y 轴建立平面直角坐标系. →· → = 1. 则由 A(0,0)、B(2,0)、E(2, 3)、 D(1, 3)、可得AE BD 答案:1

14.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直 → =mAM → ,AC → =nAN → ,则 m+n 的值 线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB 为__________ . → =1(AB → +AC →) 解析:AO 2 m → n→ = AM + AN, 2 2 → =AO → -AN → =mAM → +n- 2AN →, NO 2 2 → =AM → -AN →. NM ∵M、O、N 三点共线, n- 2 m ∴ =- , 2 2 ∴m+n= 2. 答案:2

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高中·新课标 A 版·数学·必修 4 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)不共线向量 a,b 的夹角为小于 120° 的角,且|a|=1,|b|=2, 已知向量 c=a+2b,求|c|的取值范围. 解:|c|2= |a+ 2b|2= |a|2+ 4a· b+ 4|b|2= 17+ 8cos θ(其中 θ 为 a 与 b 的夹 角 ). (6 分 ) ∵ 0° < θ< 120° . 1 ∴- <cos θ< 1, 2 ∴ 13 < |c|< 5, (10 分 ) ∴ |c|的取值范围为 ( 13 , 5). (12 分 ) 16.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC → = (3,5),AC → = (- 1,1), 解:(1)由题设知AB (2 分 ) → +AC → = (2,6),AB → -AC → = (4,4). (4 分 ) 则AB → +AC → |= 2 10 , 所以 |AB → -AC → |= 4 2. |AB 故所求的两条对角线长分别为 4 2, 2 10. (6 分 ) → = (- 2,- 1), (2)由题设知OC → - tOC → = (3+ 2t,5+ t). (8 分 ) AB

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高中·新课标 A 版·数学·必修 4 → - tOC → )· → = 0, 由 (AB OC 得 (3+ 2t,5+ t)· (- 2,- 1)= 0, 11 从而 5t=- 11,所以 t=- .(12 分 ) 5 17.(13 分)设平面内两向量 a 与 b 互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又 k 与 t 是两个不同时为零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b 与 y=-ka+tb 垂直, 试求 k 关于 t 的函数关系式 k =f(t); (2)求函数 k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a· b= 0, 又 x⊥ y,∴x· y= 0.(2 分 ) 即 [a+ (t- 3)b]· (- ka+ tb)= 0, - ka2- k(t- 3)a· b+ ta· b+ t(t- 3)b2= 0. (4 分 ) ∵ |a|= 2, |b|= 1, 1 ∴- 4k+ t2- 3t= 0,即 k= (t2- 3t). (8 分 ) 4 1 1? 3? 9 (2)由 (1)知 k= (t2- 3t)= ?t- ?2- , 4 4? 2? 16 9 即函数的最小值为- .(13 分 ) 16 → =λAD → (λ∈R), → |=|AD → |=2, 18. (13 分)如图, 在四边形 ABCD 中, BC |AB → -CD → |=2 3,且△BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形. |CB

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(1)求 λ 的值; →· → 的值. (2)求CB BA → = λAD →, 解:(1)因为BC 所以 BC∥ AD, → |= λ|AD → |. 且 |BC → |= |AD → |= 2, 因为 |AB → |= 2λ. 所以 |BC → -CD → |= 2 3, 又 |CB → |= 2 3.(4 分 ) 所以 |BD 作 AH⊥BD 交 BD 于 H, 则 H 为 BD 的中点. 在 Rt△ AHB 中,有 cos∠ ABH= BH 3 = , AB 2

于是∠ABH= 30° , 所以∠ADB=∠DBC= 30° . 而∠BDC= 90° , 3 所以 BD=BC· cos30° ,即 2 3= 2λ· , 2 解得 λ= 2.(8 分 )
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高中·新课标 A 版·数学·必修 4 (2)由 (1)知, → |= 4, ∠ ABC= 60° , |CB → 与BA → 的夹角为 120° 所以CB , →· → = |CB → |· → |cos120° 故CB BA |BA =- 4. (13 分 )

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