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7.3(3)两直线的位置关系--交点


1. 复 习

定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直 线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线。

点集

一一对应

解集

解方程组:
3 x+4 y -2=0 , 2x+ y +2=0.
(1) (2)

并画出图象.

由 解: (1) ? ( 2 ) ? 4 得: ? 5 x ? 10 ? 0

即 x ? ?2

将它代入 ( 2)得 y ? 2

l2 l1
M

y

? 方程组的解是

?x ? ?2 ? ?y ? 2 .

说明: 几何意义 : 直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 与
直线 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 相交于点 M (? 2 , ) . 2

O

x

7.3 两条直线的位置关系(3)
——两条直线的交点

2. 交点
设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0,

l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点

方程组

A1x+B1 y +C1=0,
A2x+B2 y +C2=0. 是否有唯一解。

若方程组 有唯一解,则直线l1 与 l2 相交 ; 说明: 若方程组有无数解,则直线l1 与 l2 重合 ;

若方程组无解,则直线l1 与 l2 平行 。

设两条直线的方程是

l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0),
则 方程组有唯一解 ?l1与l2 相交
?
A1 A2 ? B1 B2

方程组有无数多解 ? l1与l2的重合
?
A1 A2 A2 ? B1 B2 B2 ? C1 C2 C2

方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C 1

设两条直线的方程是

l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0),
则 方程组有唯一解 ?l1与l2 相交
?
A1 A2 ? B1 B2

方程组有无数多解 ? l1与l2的重合
?
A1 A2 A2 ? B1 B2 B2 ? C1 C2 C2

方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C 1

例1 求经过原点且经过以下两条直线交点的直线方程: l1: x-2 y +2=0 , l2: 2x- y -2=0.
解:解方程组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,
得 ?x ? 2 , ? l1 与 l2 的交点 是 ( 2 , ) . 2 ? ?y ? 2 .
直线方程为
,得

由已知可设经过原点的
把交点 ( 2 , ) 代入此方程 2

y ? kx

k ?1

故所求直线方程为

y ? x.

例 2 判定下列各对直线的位置关系, 若相交 ,则求交点 .
(1)

l1 : 7 x ? 2 y ? 1 ? 0 l2 : 14 x ? 4 y ? 2 ? 0

( 2 ) l1 : ( 3 ?

2 )x ? y ? 7 2)y ? 6 ? 0

l2 : x ? ( 3 ?

( 3)

l1 : 3 x ? 5 y ? 1 ? 0 l2 : 4 x ? 3 y ? 5

解:) (1
(2)

7x ? 2 y ? 1 ? 0 ? l1 与 l2 重合 . 有无数解 ? 7x ? 2 y ? 1 ? 0 14 x ? 4 y ? 2 ? 0

7x ? 2 y ? 1 ? 0

?

3? 1

2

?

1 3? 2

?

?7 ?6

? l1 与 l2 平行 .

( 3)

l1 : 3 x ? 5 y ? 1 ? 0 l2 : 4 x ? 3 y ? 5

解: ?

3 4

?

5 3

? l1 与 l2 相交 .
3x ? 5 y ? 1 ? 0
4x ? 3y ? 5

?

?x ? 2 , ? ? y ? ?1 .

? l1 与 l2 的交点 是 ( 2 , 1) . ?

例3、等腰直角三角形ABC 的直角顶点C与顶点B 所在直线为2 x ? 3 y ? 6 ? 0, 顶点A(1,?2),求C点坐标。
y
解: AC ? BC ,且 l BC : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?
? 设 l AC : 3 x ? 2 y ? m ? 0
B

2
C 3

将 A 点坐标代入得

m ? ?7

所以 AC 方程为: 3 x ? 2 y ? 7 ? 0
?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 解方程组 ? 得 ?3 x ? 2 y ? 7 ? 0
30 ? ? x ? 13 ? ? ?y ? 6 ? 13 ?

0
A
?

B

x

? C 点坐标为 (

30

,

6

)

13 13

例 3 若三条直线

l1: x ? y ? 0 , l 2: x ? y ? 2 ? 0, l 3: x ? my ? 15 ? 0 5 m 的取值范围。

能构成一个三角形,求

解: ? x ? y ? 0

?x ? 1 ? ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 1

即 l1与 l2的交点为 P (1 ,) 1

若 l3 ∥ l1 , 则 5 ? 1 , 即 m ? 5 . m 若 l3 ∥ l 2 , 则 5 ? ? 1 , m ? ? 5 . 即 m
若 l3 经过点 P (1 ,) 则 5 ? 1 ? m ? 1 ? 15 ? 0 , m ? ? 10 . 1 , 即

显然以上任意一种情况

均不能构成三角形。

? l1、 l2、 l3能构成 ? 的 m 的取值范围是

m ? 5且 m ? ? 5且 m ? ? 10 .

设 例4: m ? R ,求证直线( 恒过一定点,并求出这

m ? 1) x ? 2 m ? 1) y ? 5 m ? 4 ? 0 ( 个定点的坐标。

得 3 解:取 m ? ? 1, l1: y ? 9 ? 0 即 y ? 3

取 m ? 1 , 得 l2: x ? y ? 1 ? 0 2

解方程组

?y ? 3 ? y ? 3, x ? 1 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0
( m ? 1) x ? 2 m ? 1) y ? 5m ? 4 ? 0 (

将点 P (1, 3)代入直线

( m ? 1) ? 1 ? 2 m ? 1) 3 ? 5m ? 4 ? m ? 1 ? 6 m ? 3 ? 5m ? 4 ? 0 ( ?
? 点 P (1, 3)在直线 ( m ? 1) x ? 2 m ? 1) y ? 5 m ? 4 ? 0 上, ( 即直线过定点,这个定 点坐标为( 1, 3)。

( ( 另解: m ? 1) x ? 2 m ? 1) y ? 5m ? 4 ? 0

? m ( x ? 2 y ? 5) ? x ? y ? 4 ? 0
? m?R, 上式恒成立

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x ? 1 ? ? ? ? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 3
? 直线 ( m ? 1) x ? 2 m ? 1) y ? 5m ? 4 ? 0 恒过定点( 1, ( 3)。

经过直线l1: A1x+B1 y +C1=0和l2: A2x+B2 y+C2=0
的交点的所有直线是

A1x+B1 y +C1+m( A2x+B2 y+C2)=0 (不包括A2x+B2 y+C2=0)

例1变式 求经过直线l1: x-2 y +2=0 与l2: 2x- y -2=0的交点且与直线 3x+y -1=0平行的直线l的方程.
解:解方程组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , . ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,
得 ?x ? 2 , ? l1 与 l2 的交点 是 ( 2 , ) . 2 ? ?y ? 2 .

设直线l的方程为3x-+y +c=0,
(2,2)代入上式,

可得所求直线方程为

3 x+ y ? 8 ? 0 .

例1变式 求经过直线l1: x-2 y +2=0 与l2: 2x- y -2=0的交点且与直线 3x+y -1=0平行的直线l的方程.
解:设经过这两条直线交点的直线方程为:

. x-2 y +2+m( 2x- y –2)=0.
(2m+1)x-(m+2)y+2-2m=0 (*)
? 因直线l与直线3x-+y -1=0平行, 2m ? 1 3 7
5

?

? (m ? 2) 1

故(2m+1)=-3(m+2)
代入(*)

得m=

?

可得所求直线方程为

3 x+ y ? 8 ? 0 .

练习、求经过直线2 x ? 3 y ? 1 ? 0和x ? 3 y ? 4 ? 0的交点, 并且垂直于3x ? 4 y ? 7 ? 0的直线方程。

解(方法一)

5 ? ?x ? ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? 方程组 ? 的解为 ? ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?y ? 7 ? 9 ?

设所求方程为

4x ? 3y ? m ? 0

5 7 点 ( ? , ) 在直线上得 3 9
所以所求直线方程为

m ?9
: 4x ? 3y ? 9 ? 0

练习、求经过直线2 x ? 3 y ? 1 ? 0和x ? 3 y ? 4 ? 0的交点, 并且垂直于3x ? 4 y ? 7 ? 0的直线方程。

解(方法二)
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是已知两直线的交点 则方程 ( 2 x ? 3 y ? 1) ? ? ( x ? 3 y ? 4 ) ? 0 表示过 P0点的直线

? ( 2 ? ? ) x ? (3 ? 3? ) y ? 1 ? 4 ? ? 0
? 所求直线斜率为 4 3

??

2?? 3 ? 3?

?

4 3

? ? ?2
: 4x ? 3y ? 9 ? 0

所以所求直线方程为

作业:
1. P55 练 习:1,2(书上) 2. P59 11 ,12. 3. 三维设计7.3 第三课时


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