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高中数学统计与概率



统计与概率
一、选择题 1、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图

频率 如图所示, 已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元, 组距
则 11 时到 12 时的销售额为( )
0.40

A

. 6 万元 B . 8 万元
C . 10 万元

0.25 0.10 0 9 10 11 12 13 14 时间

D . 12 万元

答案:C 2、 (珠海市 2014 届高三上学期期末)学校为了解学生课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50) (单位: 元) ,其中支出在[10,30) (单位:元)的同学有 33 人,其频率分 布直方图如右图所示,则支出在[40,50) (单位:元)的同学人数 是( ) A、100 B、120 C、30 D、300 答案:C 二、填空题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) )一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从 总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为

1 ,则总体中的个 9

体数为 答案:180 2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试)如图 3,设 D 是图中边长为 4 的正方形 区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点,则
2

y

4

该点落在 E 中的概率为 答案:

1 3

3、 (广东省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末)某学校高一、 高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 答案:15 名学生.

-2

O 图3

2 x

4、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试)图(2)是甲、乙两人在 5 次综合 测评中成绩的茎叶图,其中一个数字被污损;则甲的平均成绩超过乙的平 均成绩的概率为

答案:

4 5

5、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试)如图,一不规则区域内,有一边长为1 米的正方 形,向 区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界) 的黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形 的面积为 答案: 平方米.(用分数作答)

8 3

三、解答题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) ) 佛山某中学高三 (1) 班排球队和篮球队各有 10 名同学 , 现测得排球队 10 人的身高 ( 单 位: cm )分别是: 162 、170 、171 、182 、163 、158 、179 、168 、183 、168 ,篮球队10 人的身高(单位: cm )分别是: 170 、159 、162 、173 、181 、165 、176 、168 、178 、179 . (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较 小(无需计算); (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过 170 cm 的队员中各抽取一人 做代表,设抽取的两人中身高超过 178 cm 的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 排球队 篮球队

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ??4 分 (注:写对茎叶图 2 分,方差结论正确 2 分) (Ⅱ)排球队中超过 170 cm 的有 4 人,超过 178 cm 的有 3 人, 篮球队中超过 170 cm 的有 5 人,超过 178 cm 的有 2 人, (注:正确描述人数各 2 分,共计 4 分) 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2 则????????5 分 (注:正确写出 X 的值 1 分)
1 1 C1 C3 3 ? , 1 1 C 4 C 5 20

图4

排球队

篮球队

3 2 18
9 1 0 17

1
0 3 6 8 9

8 8 3 2 16 8 15

2 5 8 9

P ( X ? 0) ?

1 1 1 1 C1 C 2 ? C3 C3 11 P ? X ? 1? ? ? , 1 1 20 C 4 C5

1 1 C3 C 6 P ? X ? 2? ? 1 2 ? ,??????????????????????10 分 1 C 4 C 5 20

(注:正确写出概率表达式各 1 分,概率计算全部正确 1 分,共计 4 分,若概率计算错 误超过两个,扣 1,共计 3 分) 所以 X 的分布列为

X

P

0 3 20

1 11 20

2 6 20
????????11 分

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ?

3 11 6 23 .?????????12 分 ? 1? ? 2? ? 20 20 20 20
3

2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试) 空气质量指数 PM2.5 (单位:μg / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这 个值越高,代表空气污染越严重. PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:

PM2.5 日均浓度 0~35 35~75
空气质量类别 优 良

75~115 轻度污染

115~150 中度污染

150~250 重度污染

>250 严重污染

从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如 图 5 所示. (1)试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数; (2)在甲城市这 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良 的天数,求 X 的分布列及数学期望. 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

ks5u 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或 图 5 良的天数为 5 天.????????????????????1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.? 2分 (2) X 的取值为 0,1,2,?????????????????????3 分 因为 P ? X ? 0 ? ?
0 2 C5 C10 3 ? ,???????????????????5 分 2 C15 7

1 C1 10 5 C10 P ? X ? 1? ? ? ,??????????????????7 分 2 C15 21

P ? X ? 2? ?

2 0 C5 C10 2 ? .??????????????9 分 2 C15 21

所以 X 的分布列为: 1 0 3 10 P 21 7 3 10 2 2 所以数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? . 7 21 21 3

X

2 2 21

????10 分

3、 (增城市 2014 届高三上学期调研) 在一个盒子里装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品,1 枝三等品. (1)从盒子里任取 3 枝恰有 1 枝三等品的概率多大?; (2)从盒子里任取 3 枝,设 ? 为取出的 3 枝里一等品的枝数,求 ? 的分布列及数学期望. 解.(1) P ?

C52 3 C6

2分

5? 4 1 ? 2 ?1 ? 6? 5? 4 2 3 ? 2 ?1
(2) ? =0,1,2,3,

4分

5分

P( ? =0) ?

3 1 1 C3 C3 ? C32 C32 ? C3 1 9 9 ? ? ? ? ? ? ? , P( =1) , P( =0) , 3 3 3 C6 20 C6 20 C6 20

P( ? =0) ?

3 C3 1 ? (各 1 分) 3 C6 20

9分

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

1 20

9 20

9 20
10 分

1 20

E( ? )=0×

1 9 9 1 3 +1× +2× +3× = 20 20 20 20 2

12 分

4、 (省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末) 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数 ?i, i, ? 2, 2, 其中 i 是虚 数单位.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数后并放回”为一次试验(设每次试验

的结果互不影响) . (1)求事件 A “在一次试验中,得到的数为虚数”的概率与事件 B “在四次试验中,至少 有两次得到虚数” 的概率; (2)在两次试验中,记两次得到的数分别为 a, b ,求随机变量 ? ? a ? b 的分布列与数学 期望 E? . 解: (1) P ( A) ?

2 1 ? , 4 2

……………………………………………………………2 分

5 11 ? 0 1 0 1 4 1 1 1 1 3? P( B) ? 1 ? P( B ) ? 1 ? ?C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? ? 1 ? ? . ………… 5 分 2 2 2 2 ? 16 16 ?
(2) a, b, ? 的可能取值如下左表所示:

?
b

a


?i

i 1 1 2 2

?2 2 2 4 4

2 2 2 4 4

?i i ?2 2

1 1 2 2

?
P

1
1 4

2
1 2

4
1 4

……………………………………………………………6 分 由表可知: P(? =1) ?

4 1 8 1 4 1 ? , P(? =2) ? ? , P(? =4) ? ? . 16 4 16 2 16 4

………………9 分

所以随机变量 X 的分布列为(如上右表) 所以 E (? ) = 1?

…………………………………… 10 分 ………………………………………………12 分

1 1 1 9 ? 2? ? 4? ? . 4 2 4 4

5、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对为本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , , 3 3 3 2

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (1)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3 ”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队 总得分”这一事件,求 P( AB) . 解: (1)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且 ????1 分

1 2 ? 2? 2 ? 2? 1 P (? ? 0) ? C ? ?1 ? ? ? , P (? ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? ,????3 分 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27
0 3 2 3

3

2

8 ?2? ? 2? 4 3 ?2? P(? ? 2) ? C32 ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P (? ? 3) ? C3 ?? ? ? .????5 分 ?3? ? 3? 9 ? 3 ? 27

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .????7 分 27 9 9 27
? ? 2? 3?

解法二:根据题设可知, ? ~ B ? 3, ? ,????3 分 因此 ? 的分布列为

?2? ? 2? P(? ? k ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ?3? ? 3?
k 3

k

3? k

2k ? C ? 3 k ? 01 , , 2, 3 .??5 分 3
k 3

因为 ? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ?

? ?

2? 3?

2 ? 2 .????7 分 3

(2)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分 乙得 0 分”这一事件,所以 AB ? C ? D ,且 C,D 互斥,又????8 分

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ,?10 分 ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?1 1 1? 4 3 ?2? P ( D ) ? C3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ,????11 分 ?3? ?3 3 2? 3
由互斥事件的概率公式得 P( AB) ? P(C ) ? P( D) ? 12 分 6、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试) 根据空气质量指数 AQI (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

3

10 4 34 34 . ??? ? ? ? 34 35 35 243

AQI (数值)
空气质量级别 空气质量类别

0 ? 50

51 ? 100

101 ? 150

151 ? 200

201 ? 300

? 300

一级 二级 三级 四级 五级 六级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市 2013 年 10 月 1 日—10 月 30 日,对空气质量指数 AQI 进行监测,获得数据后得到 如图(4)的条形图:

(1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ? 为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求 ? 的分布列.解: (1)由 条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, -------------1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率

天数
10 8 6 4 2 0

6 1 P? ? .---------------------4 分 30 5 (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,-----------------------------------------------5 分
则 P ?? ? 0 ? ?

空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

图(4)

2 C26 65 ? ,-----------------------------------------------------------7 分 2 C30 87

P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ?

1 1 C4 C26 104 ? ,----------------------------------------------------------9 分 2 C30 435 2 C4 2 ? -------------------------------------------------------11 分 2 C30 145

所以 ? 的分布列为:

?
P

0 65 87

1 104 435

2 2 145

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 分 7、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测) 2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称 “国五条” ). 为此, 记者对 某城市的工薪阶层关于 “国五条” 态度进行了调查, 随机抽取了60人,作出了他们的月收 入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计 表(如下表): 月收入(百 元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 赞成人 数 8 7 10 6 2 1

(I)试根据频率分布直方图估计这 60 人的平均月收入; (Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取 3 人进行追踪调 查,记选中的 6 人中不赞成 “国五条” 的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望.解: (Ⅰ) 这 60 人的月平均收入为: (5 分) (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ? 60 ? 0.01) ? 10 ? 43.5 (百元)

(Ⅱ)根据频率分布直方图可知道:

??????(7 分)

?? (12 分) (每算对一个一分,正确给出 x 的取值 1 分,共 5 分)

??????(14 分) (正确写出分布列 1 分,正确算出期望值 1 分) 8、 (肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估) 一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文( x 分) 英语( y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91 89

S4
92 92

S5
95 94

(1) 根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2) 要从 4 名语文成绩在 90 分 (含 90 分) 以上的同学中选出 2 名参加一项活动, 以? 表 示选中的同学的英语成绩高于 90 分的人数, 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

? ?a ? 中, b ? y ? bx (附:线性回归方程 ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? ? y ? bx ? , 其中 x , y 为样本平 ,a

2

?, a ? 的值的结果保留二位小数.) 均值, b
【解析】(1) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, (1 分) 5 8 6? 8 9 ? 8? 9 9? 2 94 y? ? 9 0 , (2 分) 5

? ( xi ? x ) ? (?4)2 ? (?1)2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,
i ?1

5

2

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,
i ?1 i i

5

? ? 35 ? 1.03, b 34

? ? y ?? b x ? a 9 0 ?1 . 0 3? 9 1 ? 3.73
(6 分)

y ? 1.03x ? 3.73 故回归直线方程为 ?
(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.

P (? ? 0) ?

2 C2 1 ? ; 2 C4 6

(7 分)

P(? ? 1) ?

1 1 C2 C2 2 ? ; (8 分) 2 C4 3

2 C2 1 P(? ? 2) ? 2 ? . (9 分) C4 6

故 X 的分布列为

?
P

0

1

2

1 2 1 6 3 6 1 2 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1. 6 3 6

(12 分)

9、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试) 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数) 的频率分布直方图如图所示. (I)估计这次测试数学成绩的平均分;ks5u (II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超 过 94 分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从 95, 96,97,98,99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回地抽取 了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ? , 求 ? 的分布列及数学期望 E? . 解: (I)利用中值估算抽样学生的平均分: 45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………(3 分) ……………(5 分) ……………(6 分) 众数的估计值为 75 分 所以,估计这次考试的平均分是 72 分.

(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)
2 ? 15 , (II)从 95, 96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 C6

有 15 种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是 0.005×10×80=4(人) ,

2 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 C4 ? 6,

6 2 ? . 15 5 随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,则有.
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P ?

……………(8 分)

2 3 ∴ P(? ? k ) ? C3k ( )k ( )3?k , k ? 0,1,2,3 5 5
∴变量 ? 的分布列为:
?

0

1

2

3

P

8 125

36 125

54 125

27 125
…………(10 分)

E? ? 0 ?

8 36 54 54 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

…………(12 分)

2 解法二. 随机变量 ? 满足独立重复试验,所以为二项分布, 即 ? ~ B(3, ) ………(10 分) 5
E? ? np ? 3 ? 2 6 ? 5 5
…………(12 分)11、 (珠海市 2014 届高三上学期期末)

答案: 10、 (珠海市 2014 届高三上学期期末) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方米以上空气质量 为超标。某试点城市环保局从该市市区 2013 年上半年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如右 下图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) 。 (1)在这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,求其中位数; (2)从这 15 天的数据中任取 2 天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监 测数 据超标的天数,求 ? 的分布列及数学期望; (3)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则 一年 (按 360 天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 解:(1)由茎叶图可得中位数是 45 (2) 依据条件, ? 服从超几何分布: 其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2 由 p (? ? k ) ?
2? k C5k ? C10 , 2 C15

得 p (? ? 0) ?

2 C50 ? C10 3 ? , 2 C15 7 1 1 0 C5 ? C10 C52 ? C10 10 2 , ? p ( ? ? 2) ? ? , 2 2 C15 21 C15 21

p (? ? 1) ?

所以 ? 的分布

列为:

?

0

1

2
2 21 10 2 ? 15 3

3 10 3 P10 7 2 21 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(360, )

2 3

2 ? E? ? 360 ? ? 240 3

?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级
11、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考) 平安汽车租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为:

3600 ? 3000 =12, 50

所以这时租出了 88 辆车.??????????????????????????4 分 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,???????????????????????5 分 则租赁公司的月收益为:f(x)=(100- x ? 3000 ) (x-150)- x ? 3000 ×50,??8
50 50



1 x2 整理得:f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050. 50 50
所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050. ?????????11 分 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元.?12 分 12、 (东莞市 2014 届高三上学期期末调研测试) 某校有甲、乙两个研究性学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法,从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行展示交流。 (1)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (2)记 X 为抽取的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望。 解: (1)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (5 ? 7) : (3 ? 3) ? 2 :1 , 所以,按照分层抽样的方法,从甲组抽取的学生人数为 学生人数为 ? 3 ? 1 . 设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P ( A) ?
1 1 C7 ? C5 35 ? , 2 C12 66

???1 分

2 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的 3
???2 分 ???3 分

1 3

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 (2)随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .

35 . 66

????5 分 ????6 分

P( X ? 0) ?

1 1 1 1 1 C52 ? C3 C7 ? C5 ? C3 C52C3 5 15 ? , P ( X ? 1) ? ? ? , 2 1 2 1 2 1 C12 ? C6 66 C12 ? C6 C12C6 44

1 1 1 1 1 C7 ? C5 ? C3 C72C3 C72 ? C3 14 7 P( X ? 2) ? ? 2 1 ? , P( X ? 3) ? 2 1 ? , 2 1 C12 ? C6 C12C6 33 C12 ? C6 44

???9

分 所以,随机变量 X 的分布列为:

X P

0
5 66

1

2
14 33

3
7 44
????10

15 44

分 数学期望 E ( X ) ? 0 ?

5 15 14 7 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 66 44 33 44 3

???12 分



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