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苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷



苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在

试卷 及答题卡的规定地方。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位 置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。

数学 I
1. 已知集合 A ? ??1,1, 2, 4? , B ? ??1, 0, 2? ,则 A ? B ? 2. 设复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 1 ? 2i (为虚数单位) ,则 z ? 3. 一组样本数据 8,12,10,11 ,9 的方差为 . . .

2013.1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上.

4. 有 5 个数成公差不为零的等差数列,这 5 个数的和为 15,若 从这 5 个数中随机抽取一个数, 则它小于 3 的概率是 5. 过坐标原点作函数 y ? ln x 图像的切线,则切线斜率为 . .

D1 A1 D B1

C1

6. 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm ,

C A B

AA1 ? 2cm ,则三棱锥 A ? B1 D1 D 的体积为

cm3 .

7. 某厂去年的产值为 1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10%,则从今年起到 第五年这五年内,这个厂的总产值约为 小数,取 1.15 ? 1.6 ) 8. 右边一段伪代码中, Int ( x) 表示不超过 x 的最大整数,若输入 . (保留一位

m ? 6, n ? 4 ,则最终输出的结果 n 为
9. 在 平 面 直 角 坐 标 系



xOy 中 , 双 曲 线

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A ,过双曲线 E 的右 a b
焦点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 B , C 两点,若

m,n m m ? Int ( ) While n n m c ? m ? n ? Int ( ) n m?n n ?c
Read End While Print n

?ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为



10.已知 f ( x) ? x x ? 1 ,则 f ( x ? ) ? f ( ) 的解集是 11.已知 ? 为锐角, sin(? ? 15? ) ?

1 4

1 2



4 ? ,则 cos(2? ? 15 ) ? 5



? 2x ? y ? 0 2x3 ? y 3 ? 12.已知实数 x ,y 满足不等式 ? x ? y ? 4 ? 0 , 则 的取值范围是 x2 y ? x?3 ?



13.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 交于 . A , B 两点,则直线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a , b ,满足 a ? 1 , (a ? b)? a ? 2b) ? 0 ,则 b 的最小值为 (



二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明, 计 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 上有一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图像

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,BC ? 平面 PAB . 已知 PA ? AB , D ,E 分别为 PB , 点 BC 的中点. (1)求证: AD ? 平面 PBC ; (2)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面

PEF ,求

AF 的值. FC

P

D A F E B C

17.(本小题满分 14 分) 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,且

?ABC ? 120? , 路 灯 C 采 用 锥形 灯罩 ,射 出 的光 线 如图 中阴 影部 分 所示 , 已知
路宽 AD ? 24 米, 设灯柱高 AB ? h(米) ?ACB ? ?( 30? ? ? ? 45? ) , ?ACD ? 60? , (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数 表达式,并求出 S 的最小值.

C B

A
18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆 E :

D

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦 a 2 b2

点, A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满足 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为

??? ??? ? ?

1 . 2
(1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最小值时,求点 P 的 坐标; (3)设点 M 为线段 BC (包括端点) 上的一个动点,射线 MF 交椭圆于点

??? ??? ? ?

y

???? ???? ? N ,若 NF ? ? FM ,求实数 ? 的取
值范围.

C M A O N B

x

19.(本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? An 2 ? Bn ? 1 ( A ? 0 ) .

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求 的值. A
(1)若 a1 ?

20.(本小题满分 16 分) 定义函数 ? ( x) ? ?

? 1 ( x ? 0), f ( x) ? x 2 ? 2 x( x 2 ? a )? ( x 2 ? a ) . ??1 ( x ? 0),

(1)解关于 a 的不等式: f (1) ? f (0) ; (2)已知函数 f ( x) 在 x ? ? 0,1? 的最小值为 f (1) ,求正实数 a 的取值范围.

苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试
数学 II(附加题)
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 4 个小题供选做,每位考 生在 4 个选做题中选答 2 题,3 题或 4 题均答的按选做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.本卷考试结束后,上交答 题卡. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆 珠笔. 21.【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ...... ......... 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 ... 骤. A.(选修 4-1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图,设直线切⊙ 于点 P ,AB 为⊙ 的任一条不与垂直的直径, AC ? l , BD ? l , O O l D 垂足分别为点 C , D .求证: PC ? PD ,且 AP 平分 ?CAB . P C A · O B

(第 21-A 题)

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ? ?

?1 x ? ? 的一个特征值为 ?1 ,求其另一个特征值. ?2 1  ?

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,上顶点为 B ,点 P 是第一 16 4

象限内在椭圆上的一个动点,求 ?PAB 面积 S 的最大值.

D.(选修 4—5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a , b , x , y 都是正数,且 a ? b ? 1 ,求证: (ax ? by )(bx ? ay ) ? xy .

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 设 10 件同类型的零件中有 2 件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出 3 件,以 X 表示取出的 3 件中不合格品的件数. (1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率; (2)求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) .

23.(本小题满分 10 分) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 在如图所示的空间直角坐标系中,已知 AB ? 2 , AC ? 4 ,

AA1 ? 3 . D 是 BC 的中点.
(1)求直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值;

(2)求二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的正弦值.

z
A1 B1
A B D

C1

C

y

x



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