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第一轮总复习 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文



第 四 节

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
型的简单应用

知识要求 内容

考试 说明

了解 理解 掌握 (A) (B) (C) √ √

函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 三角函数模型的简单应用 13年(4考):新课标全国卷ⅡT16 四

川T6 福建T9 安徽T7 湖南T18

三年 考题

大纲版全国卷T9 12年(3考):浙江T6

11年(3考):辽宁T12

陕西T6

江苏T9

1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式 考情 播报 以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点

2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中,同时还考
查数形结合思想的理解和应用 3.题型以选择题、填空题为主,属中低档题

【知识梳理】 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0),x∈[0, +∞)表示一个振动 量时 振幅 周期
T= 2? ?

频率
f= 1 ? ? T 2?

相位 ωx+φ ______

初相

A

φ

2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的 一般步骤 (1)定点:如表.
? ?? 2 ? _____
? 2

x ωx+φ

? ? ? ___

??? ? _____

3? ?? 2 ?
3? 2

2? ? ? ?

0 0 __

π 0 __



y=Asin(ωx+φ)

A __

-A

0

(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连 接这些点,就得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ) 在R上的图象.

3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 图象的步骤
?>0 ?<0

缩短


伸长

1 ?

|?| ?
sin(?x ? ?)

A

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题:
? )在一个周期内的图象时,确定的五点是 6 (0,0),( ? ,1),(π,0),( 3? ,-1),(2π,0)这五个点; 2 2

①作函数y=sin(x-

②利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平 移”中平移的长度一致; ③将y=3sin 2x的图象左移 ? 个单位后所得图象的解析式是
? y ? 3sin(2x ? ); 4

4

④y=sin(x- ? )的图象是由y=sin(x+
4

? )的图象向右移 ? 个单位 4 2

得到的; ⑤由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图象中 的最高点的值与最低点的值确定的. 其中正确的是( A.①② ) C.⑤ D.④⑤

B.③④

【解析】选D.①错误.五点应为 ( ,0),(

? 6

2? 7? 5? 13? ,1),( ,0),( , ?1),( ,0). 3 6 3 6

②错误.“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先

伸缩,后平移”的平移单位长度为 ? .故当ω≠1时平移的长
?

度不相等.
? ? ? 个单位后解析式应为 y ? 3sin 2(x ? ) ? 3sin(2x ? ). 4 2 4 ? ④正确.将y=sin(x+ ? )的图象右移 个单位后得y=sin[(x2 4 ? )+ ? ]=sin(x- ? ). 4 2 4 ⑤正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的,其中A ? M ? m . 2

③错误.左移

2.已知简谐运动f(x)=2sin(

? ? x ? ? )(|φ|< )的图象经过点 3 2

(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(
A.T ? 6,? ? ? 6 ? 6 B.T ? 6,? ? ? 3

)

? 3 【解析】选A.最小正周期为 T ? 2? ? 6 ;由2sin φ=1,得 ? 1 ? 3 sin? ? ,? ? . 2 6 C.T ? 6?,? ? D.T ? 6?,? ?

3.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得 到函数y=sin(x- ? )的图象,则φ等于(
A. ? 6 B. 11? 6 6 C. 7? 6 D. 5? 6

)

【解析】选B.将函数y=sin x的图象向左平移φ个单位后,得
? 到y=sin(x+φ)的图象,所以φ=2kπ- (k∈Z),又0≤φ< 6 2π,所以 ? ? 11 ?. 6

? 4.函数y=sin(2x- ? )在区间[ ? ,π]上的简图是(

3

2

)

【解析】选A.令x=0得 y ? sin(? ) ? ? f(
? )=0,排除C. 6

? 3

3 排除B,D.由 f ( ? ? ) ? 0, , 2 3

5.(2014·长沙模拟)将函数y=sin x的图象上所有的点向右平

行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2
10

倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(
? A.y ? sin(2x ? ) 10 1 ? C.y ? sin( x ? ) 2 10 ? B.y ? sin(2x ? ) 5 1 ? D.y ? sin( x ? ) 2 20

)

【解析】选C.将y=sin x的图象向右平移 ? 个单位得到
y=sin(x- ? )的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原
10 10

来的2倍得到y=sin(

1 ? x ? )的图象. 2 10

6.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区 间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=______.

【解析】观察函数图象可得周期 T ? 2? ,则 T ? 2? ? 2? ,
3 3 ?

所以ω=3. 答案:3

考点1

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【典例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)

(-π≤φ<π)的图象向右平移
3

y=sin(2x+ ? )的图象重合,则φ=_____.

? 个单位后,与函数 2

(2)已知函数 y ? 3sin( 1 x ? ? ).
2 4

①用五点法作出函数的图象; ②说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.

【解题视点】(1)平移可逆序考虑,即由y=sin(2x+ ? )的图象

向左平移
求解φ.

? 个单位得y=cos(2x+φ)的图象,借助于诱导公式可 2

3

(2)将

1 ? x ? 看成一个整体,列表得出五个关键点.图象变换 2 4

时先平移后伸缩.

【规范解答】(1)函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移
3 3

? 位,得到y=sin(2x+ ? )的图象,即y=sin(2x+ )的图象向左平

? 个单 2

移 ? 个单位得到函数y=cos(2x+φ)的图象.
? ? )的图象向左平移 个单位, 2 3 ? ? ? 得到 y ? sin[2(x ? ) ? ] ? sin(2x ? ? ? ) ? 2 3 3 ? ? ? 5? ?sin(2x ? ) ? cos( ? 2x ? ) ? cos(2x ? ), 3 2 3 6 5? 因为-π≤φ<π,所以 ? ? . 6 答案:5? 6 2

y=sin(2x+

(2)①列表: x
1 ? x? 2 4 1 ? 3sin( x ? ) 2 4

? 2

0 0

3 ? 2 ? 2

5 ? 2

π 0

7 ? 2 3 ? 2

9 ? 2

2π 0

3

-3

描点、连线,如图所示:

②先把y=sin x的图象上所有点向右平移 ? 个单位,得到
? )的图象;再把y=sin(x- ? )的图象上所有点的横坐 4 4 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin( 1 x ? ? )的图 2 4 1 ? 象,最后将y=sin( x ? )的图象上所有点的纵坐标伸长到原 2 4 来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin( 1 x ? ? )的图象. 2 4 4

y=sin(x-

【互动探究】在本例(2)①中,条件不变,作出函数在[0,4π] 上的图象. 【解析】因为0≤x≤4π,作出函数在[0,4π]上的图象, 所以 ? ? ? 1 x ? ? ? 7? .
4 2 4 4

列表如下:

x
1 ? x? 2 4 ?

0
? 4

? 2

0

3? 2 ? 2

5? 2

π

7? 2 3? 2


7? 4

1 ? 3sin( x ? ) ? 3 2 2 4 2

0

3

0

-3

?

3 2 2

描点,作出函数图象如图.

【规律方法】 1.在指定区间[a,b]上画函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法 (1)选取关键点:先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内选 取特殊点,连同区间的两端点一起列表. (2)确定凹凸趋势:令ωx+φ=0得x=x0,则点(x0,y0)两侧的变

化趋势与y=sin x中(0,0)两侧的变化趋势相同,可据此找准对
应点,以此把握凹凸趋势.

2.两种不同变换思路中平移单位的区别 由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的 区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平 移,平移的量是 | ? | (ω>0)个单位.
?

提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少 值,而不是依赖于ωx加减多少值.

【变式训练】(2014·衡阳模拟)将函数f(x)= sin(2x ? ? ) 的 图象向右平移 ? 个单位,那么所得的图象所对应的函数解析
6
6

式是(

)
B.y ? cos 2x 2? ) 3

A.y ? sin 2x C.y ? sin(2x ?

? D.y ? sin(2x ? ) 6 【解析】选D.由 sin[2(x ? ? ) ? ? ] 6 6 ? ? sin(2x ? ) 可知D正确. 6

【加固训练】1.将函数y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象向左 平移
? 个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则φ的值是 6 ? 个单位后,得 6

________. 【解析】函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移 y=sin(2x+ ? +φ),则
?? ? . 6

3

? ? +φ=kπ+ ,k∈Z.又0≤φ<π,故 2 3

答案:?
6

2.(2014·潍坊模拟)已知函数f(x)= 2sin(2x ? ).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值.

? 4

(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象,并说明y=f(x)的图
象是由y=sin 2x的图象怎样变换得到的.

【解析】(1)f(x)= 2sin(2x ? ).
则f(x)的最小正周期 T ? 2? ? ?.
2

? 4

当 2x ? ? ? 2k? ? ? ? k ? Z ? ,
4 ? 8 2

即当x=kπ+ (k∈Z)时f(x)max=2.

(2)列表如下:
? 8 ? 2
3? 8 5? 8 3? 2 7? 8

x
2x ? ? 4

0
? 4

π
9? 4

π 0

2π 0

f(x)

2

2

-2

2

根据列表,描点、连线,作图如下.

y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象经过以下变换得到的: 先将y=sin 2x的图象向左平移
4 ? 个单位, 8

得到y=sin(2x+ ? )的图象,再将y=sin(2x+ ? )的图象上所有点
4

的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到y=2sin(2x+ ) 的图象.

? 4

考点2

由图象求解析式

【典例2】(1)(2013·四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)
(? ? 0, ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别 2 2

是(

)

? A.2, ? 3

? B.2, ? 6

? C.4, ? 6

? D.4, 3

(2)(2014·洛阳模拟)如图所示是函数y=f(x)=Asin(ωx+φ) +B(A>0,ω>0,|φ|∈(0, 式为_______.
? ))图象的一部分,则f(x)的解析 2

【解题视点】(1)根据周期求ω,根据最高点求φ. (2)根据最值求A,B,根据两个特殊点求ω,φ.

1 11? 5? 6? ? T? ? ? ? , 2 12 12 12 2 5? 所以函数的周期为π,可得ω=2,根据图象过( , 2 )代入解 12 ? ? ? 析式,结合 ? ? ? ? ,可得 ? ? ? , 故选A. 3 2 2

【规范解答】(1)选A.根据图示可知

(2)由于最大值和最小值分别等于3,-1,
A ? B ? 3, 故? ? ??A ? B ? ?1,

解得A=2,B=1.
? 6

把(0,2)代入y=f(x),得2=2sin φ+1,取 ? ? .

由图可知0<ω<1,令ω(-π)+φ= ?
得 ? ? 2.
3

? +2kπ,k∈Z, 2

所以函数的解析式是 f (x) ? 2sin( 2 x ? ? ) ? 1.
2 ? 答案: f (x) ? 2sin( x ? ) ? 1 3 6 3 6

【易错警示】关注ω或φ的取值范围
本例第(1)题在求解时容易忽略φ的取值范围而导致错解,在

求函数解析式时,要注意ω或φ的取值范围,否则容易造成错
解.

【规律方法】确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的

步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A ? M ? m ,
B? M?m . 2 2

(2)求ω,确定函数的周期T,则 ? ? 2? .
T

(3)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升 区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作

为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)
为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=
? ; 2

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四
点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= 2π.
3? ;“第五点”为ωx+φ= 2

【变式训练】(2014·长沙模拟)已知函 数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<
? )的图象如图所示,则它的解析 2

式为_____________.

【解析】由图象得A=2,
T 所以T=8. ? 3 ? ? ?1? ? 4, 2 2? 2? 1 ?? ? ? ?, T 8 4 1 ? 又 π×(-1)+φ=2kπ,k∈Z,且|φ|< , 4 2 ? 所以φ= , 4 ? ? y ? 2sin ( x ? ) . 所以 4 4 ? ? 答案: y ? 2sin( x ? ) 4 4

【加固训练】1.(2014·郑州模拟) 如图是函数y=Asin(ωx+φ)
5? (A>0,ω>0,x∈R)在区间 [? ? , ] 上的图象,为了得到这个 6 6

函数的图象,只要将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点(
? 个单位长度,再把所 3 得各点的横坐标缩短到原来的 1 倍, 2

)

A.向左平移

纵坐标不变 B.向左平移 ? 个单位长度,再把所
3

得各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变

C.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来
1 倍,纵坐标不变 2 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 6

6



的2倍,纵坐标不变

【解析】选A.由图象知 A ? 1,T ? 5? ? (? ? ) ? ?,
2? ? 2. 所以f(x)=sin(2x+φ), T ? 又图象过点 ( , 0), 3 ? 2? 由五点法知 +φ=π,所以 ? ? , 3 3 所以 y ? sin(2x ? ? ). 3 故将函数y=sin x的图象先向左平移 ? 个单位后,再把所得图 3 象上各点的横坐标缩短为原来的 1 (纵坐标不变),可得函数 2 y=sin(2x+ ? )的图象. 3

6

6

所以 ? ?

2.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f ( ? ) ? ? 2 ,
2 3

则f(0)=______.

【解析】由图象可得最小正周期为 2? .
7? 所以f(0)=f( 2 ? ),注意到 2 ? 与 ? 关于 对称, 3 3 3

故 f ( 2 ? ) ? ?f ( ? ) ? 2 .
3 2 3

2

12

答案:2
3

考点3

三角函数图象性质的应用

高频考点 通 关

【考情】三角函数的图象及性质是高考的热点.在高考中以选 择题、填空题或解答题的某一问的形式出现,考查函数的最值、 方程根的个数、不等式、由式选图及三角函数的实际应用等问 题.

【典例3】(1)(2014·芜湖模拟) 在同一平面直角坐标系中,

画出三个函数f(x)= 2 sin(2x+
6

h(x)=cos(x- ? )的部分图象(如图),则(

? ),g(x)=sin(2x+ ? ), 4 3

)

A.a为f(x),b为g(x),c为h(x)
B.a为h(x),b为f(x),c为g(x)

C.a为g(x),b为f(x),c为h(x)
D.a为h(x),b为g(x),c为f(x)

(2)(2014·湘潭模拟)函数f(x)= 3sin ? x ? log 1 x 的零点的个数
2
2

是(
A.2

)
B.3 C.4 D.5

【解题视点】(1)从振幅,最小正周期的特征检验排除.
(2)在同一个坐标系中,作出函数 y ? 3sin ? x 和 y ? log 1 x 的图
2
2

象,观察后得交点个数.

【规范解答】(1)选B.b的振幅最大,故b为f(x);a的最小正周 期最大,故a为h(x);从而c为g(x),故选B. (2)选D.函数 y ? 3sin ? x 的周期 T ? 2? ? 4,由 log 1 x ? 3 ,可得
2

x= 1 .由 log 1 x ? ?3,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作
8
2

? 2

2

出函数 y ? 3sin x 和 y ? log 1 x 的图象(如图所示),易知有5个交
2

? 2

点,故函数f(x)有5个零点.

【通关锦囊】
高考指数 重点题型 图象的识别 问题 破解策略 从图象的左右、上下分布范围、 变化趋势、对称性、周期性等方 面来获取图中所提供的信息进行 检验排除

◆◆◆

◆◆◆ ◆◆◆

方程根的个 转化为两个函数的交点个数问题, 数问题 通过数形结合求解
根据图象求 值问题 先根据图象求出函数解析式,再 求解

【关注题型】

三角函数在 ◆◇◇ 实际生活中

给定呈周期变化规律的三角函数模
型,或根据题目分析所呈现模型,根 据模型,结合三角函数的性质,解决 一些实际问题 根据数据作出散点图,通过拟合函数

的应用

◆◇◇

根据数据拟 图象,求出可以近似表示变化规律的 合函数 函数模型,进一步用函数模型来解决

问题

【通关题组】 1.(2012·浙江高考)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )

【解析】选A.y=cos2x+1通过伸缩、平移变换后得到 y=cos(x+1),对应图象为A项.

2.(2011·辽宁高考)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,
? ? |φ|< ),y=f(x)的部分图象如图,则f( )=( 2 24

)

A.2 ? 3

B. 3

C.

3 3

D. 2? 3

【解析】选B.由题中的图象可知:T ? 2( 3? ? ? ) ? ? ,
8 8 2

所以ω=2, 所以 2 ? ? ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ?.
8 2 ? 又|φ|< ? ,所以 ? ? . 4 2 又f(0)=1,所以Atan ? =1,得A=1, 4 所以 f ? x ? ? tan(2x ? ? ), 4 所以 f ( ? ) ? tan( ? ? ? ) ? tan ? ? 3. 24 12 4 3

3.(2014·武汉模拟)已知方程

? 2sin(x ? ) ? k ? 0 在0≤x≤π 4

上有两解,则k的取值范围为______. 【解析】方程 2sin(x ? ? ) ? k ? 0 可化为 2sin(x ? ? ) ? k, 在同一 坐标系内作函数 y1 ? 2sin(x ? ? ) 与y2=k的图象.
4 4 4

对于y1=

? ,令x=0,得y =1.所以当k∈[1, )时, 2sin(x ? ) 1 2 4

观察知两曲线在[0,π]上有两交点,即方程有两解.

答案:[1, 2 )

【加固训练】 1.(2014·石家庄模拟)甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一 条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动,已知 甲的速度是乙的速度的两倍,直到乙绕池一周为止,若用θ表示 乙在某时刻旋转角的弧度数,l表示甲、乙两人的直线距离,则

l=f(θ)的大致图象是(

)

【解析】选B.由题意知,θ=π时,两人相遇,排除A,C;两人的直
线距离不可能为负,排除D.

2.(2014·郑州模拟)下表所示是某地从1983年到2013年的月平
均气温(华氏) 月份 1 2 3 4 5 6

平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12

平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份减1为x,平均气温为y,

以下四个函数模型中哪一个最适合这些数据(
? A.y ? Acos x 6 ? C.y ? ?Acos x ? 46 6 ? B.y ? Acos x ? 46 6 ? D.y ? Asin x ? 26 6

)

【解析】选C.最高气温73.0,最低气温21.4,故2A=73.021.4=51.6,A=25.8.x=2时,分别代入A,B,C,D,与y=36.0相比

较,只有C最接近,所以选C.

3.(2014·安庆模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的 关系可近似地用函数y=a+Acos[ ? (x-6)](x=1,2,3,?,12)来
6

表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均 气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为______℃.

【解析】因为当x=6时,y=a+A=28; 当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5, 所以y=f(x)=23+5cos[ (x-6)], 所以当x=10时,f(10)=23+5cos( ? ×4) =23-5× 1 =20.5.
2

? 6

6

答案:20.5

【易错误区9】三角函数平移变换问题的易错点

【典例】(2014·济南模拟)把函数y=sin(3x- ? )的图象向左平
移 ? 个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的
3 4

2倍(纵坐标不变),则所得函数的解析式为(
? ) 12 3 ? C.y ? sin( x ? ) 2 12 A.y ? sin(3x ? B.y ? sin(6x ? 3? ) 4 3 3? D.y ? sin( x ? ) 2 4

)

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

【类题试解】(2014·西安模拟)把函数 y ? sin(5x ? ? ) 的图象向
右平移 ? 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原
2 3? A.y ? sin(10x ? ) 4 3? C.y ? sin(10x ? ) 2 2

来的 1 ,所得的函数解析式为(

4

)

7? B.y ? sin(10x ? ) 2 7? D.y ? sin(10x ? ) 4 ? 【解析】选D.将原函数的图象向右平移 个单位,得到函数 4 ? ? 7 y ? sin[5(x ? ) ? ] ? sin(5x ? ?) 的图象;再把所得函数图象上 4 2 4 7? 各点的横坐标缩短为原来的 1 ,得到函数 y ? sin(10x ? ) 的图 4 2

象.



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