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高三文科“立体几何”高效备考策略(东莞市第五高级中学陈卫明)(201405281652261093)



高三文科“立体几何”高效备考策略
东莞市第五高级中学 陈卫明 【摘要】 线、面间的平行与垂直、体积与距离、三视图这三部分所占比重最大,是核心内 容。尤其是广东高考文科数学卷,近五年只考察了这三部分内容!存在性和最值问题虽然在广东高 考中还没有出现过,但对学生空间思维能力和数学应用意识的培养有很大的帮助,有必要加强训练; 球和夹角不需要人为拔高难度,仅限于课本例题、习题即

可。 【关键词】 立体几何;高效备考;高效复习 文科学生对于立体几何的学习普遍存在:空间思维能力不足、文字语言和图形语言的表达以及 相互转化能力较差、对性质定理和判定定理的理解不到位,不能灵活运用定理解决实际问题、缺乏 信心和毅力、有一定的心理障碍。 因此,怎样克服学生的心理障碍、培养学生空间思维能力、达到考试大纲的目标要求,就成为 摆在每一位高三文科数学教师的一个现实而又迫切的任务!况且,立体几何计算题一般都位于第 18 题,此题的答题情况对后面第 19、20、21 题在心理层面上会有很大的影响。 本人经过多年高三教学后发现:对全国各地高考文科数学和广东高考文科数学试题中 “立体几 何”的知识点进行深入分析和总结,从而采取有针对性的备考策略是完全可以达到高效复习、实现 学生成绩的较大幅度提升。 2011—2013 年全国各地高考文科数学(18 份)试题中“立体几何”知识点分值汇总如下(下称 表 1): 线、 面间的平 分值 体积与距离 三视图 存在性 最值 球 夹角 其它 总计 行与垂直 2011 年 131 58 55 7 11 24 54 5 348 2012 年 122 105 50 7 6 16 54 7 355 2013 年 123 93 58 6 6 20 20 5 325 合计 376 256 163 20 23 60 128 17 1028 2009—2013 年广东高考文科数学试题中“立体几何”知识点分布如下(下称表 2) : 线、面间的平行与垂直 体积与距离 三视图 总分 2009 年 第 6 题、第 17 题(2) 第 17 题(3) 第 17 题(1) 19 2010 年 第 18 题(1) 第 18 题(2) 第9题 19 2011 年 第 18 题 第9题 19 2012 年 第 18 题(1) (3) 第 18 题(2) 第7题 19
2013 年 分值合计 第 8 题、第 18 题(1) (2) 第 18 题(3) 53 23 第6题 24 24 102

从表 1、表 2 发现:线、面间的平行与垂直、体积与距离、三视图这三部分分值所占比重最大、 是核心内容,尤其是近五年广东高考文科数学卷,只考察了这三部分内容;存在性和最值问题虽然 在广东高考中还没有出现过,但对学生空间思维能力和数学应用意识的培养有很大的帮助,有必要 加强训练;球和夹角问题不需要人为拔高难度,仅限于课本例题、习题即可。

1 线、面间的平行与垂直关系问题
从表 1、表 2 发现:这部分内容在分值上分别占立体几何部分的 36.5%和 53%。是整个立体几 何的核心内容,在备考中必须花最多的时间和精力进行复习。由于文科学生普遍存在着图形障碍、 思维能力障碍和语言障碍等不利因素,要克服以上障碍、实现高效备考,可以从以下三个方面进行 思考。

1.1 对性质定理和判定定理进行分解、对掌握较差定理加以引导
线线平行 线线垂直 线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直 对以上 9 个箭头要求学生从文字语言、符号语言、图形语言逐个表述,逐步克服学生的图形障碍、 思维能力障碍和语言障碍。 由于高三和高一在教学要求的不同,学生对于某些定理很熟悉,有些又显得比较陌生。比如: 学生对于线线平行 ?线面平行掌握得比较好,面面平行 ? 线面平行则基本上没有什么印象;线线

垂直 ?线面垂直和线面垂直 ?面面垂直掌握得比较好,面面垂直 ? 线面垂直掌握得比较差;这些 都要引起我们的重视并加以引导。

1.2 对所有定理都要一视同仁、不留死角、不要抱有侥幸心理
教师的倾向选择对学生的影响是很大的,我们要给学生一个完整的立体几何内容。缺少任何一 个定理都会对学生全面理解立体几何造成一定的影响。这就要求老师在复习备考中对 8 个定理不要 有所倾斜,不能因为某些定理在过去几年没有被考到就忽视它。比如 2011 年广东文科高考 18 题, 虽然这道题目出现的字母达 15 个之多, 对于空间想象能力和逻辑分析能力都相对教差的文科生有一 定的难度,但是全省平均得分之低(3.8 分)也暴露出学生对于第(1)问解答得很差,其实就是对 于公理 4 没有足够的重视。

1.3 采用一题多解和变式训练进行复习训练、规范学生解题过程
立体几何的复习要尽量采用一题多解和变式训练等方法来复习备考。 例题和习题的讲解能让学 生从不同角度去理解性质定理和判定定理;务必要规范学生的解答过程,在高考改卷中,我就发现 有很多学生就是因为不规范的写法而丢到很多不应该丢的分数,非常可惜。

PD ? AC 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中,AB ? BC ? 6 , 平面 PAC ? 平面 ABC , 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . P (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形 (1)略 (2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. A C D 因为 PD ? 2 , CD ? 3 ,

例 1.1

所以 PC ? PD ? CD ? 2 ? 3 ? 13 . 连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,
2 2 2 2
o 因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

B P

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .
E D B

由(1)知 PD ? 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90 , PD ? 2 , BD ? 3 ,
o

A

C

所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?
2 2

? 3?

2

? 7

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC ? PB ? PC . 所以 ?PBC 为直角三角形.
2

7 , PC ? 13 ,

o 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?
2 2

? 2?

2

? 12 ? 3 .

P

在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 , 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD . 由(1)知 PD ? 平面 ABC , E A 因为 BC ? 平面 ABC , C D 所以 BC ? PD . B 因为 BD PD ? D , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形. 对于例 1.1(2) ,其实就是证明线线垂直。证法 1 通过勾股定理去证明线线垂直;证法 2 通过线 面垂直去证明线线垂直。立体几何的复习备考,采用这种一题多解或者变式训练,对学生全面理解 性质定理和判定定理,增强运用定理解决实际问题的能力有很好的帮助。
2

2 三视图问题
从表 1、表 2 发现:这部分内容在分值上分别占立体几何部分的 15.8%和 24%,主要是对柱体、 椎体、台体、球体等组合体进行考察。难度不算太大,但很容易丢分。在复习备考中,应注意如下 几点:

2.1 师生亲自动手画图,在画图中加深对三视图的理解
在教学中,我们发现有很多学生一看就会、一画就错、眼高手低。对于三视图,老师要在黑板 上展示画图的过程,不能只是通过多媒体演示;学生一定要动手画图,不能只是看多媒体或只是看 老师画图。画图一定要规范,符合“长对正、宽相等、高平齐”的要求,实线、虚线的使用要符合 要求。 在课堂上,我曾经让学生独立去完成如下例 2.1、例 2.2、例 2.3. 例 2.1 画出底面为 2,高为 5 的正三棱锥的三视图(教材 32 页 A 组习题) 例 2.2 一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积(教材 33 页 B 组习题)

例 2.3 一个棱锥的三视图如图所示,求该棱锥的全面积。

结果只有 40%的人能比较准确、规范地完成例 2.1。错误主要出现在侧视图,一部分人化成底为 2 的等腰三角形, 一部分化成底为 3 的等腰三角形, 还有些主视图中的实线、 虚线画得不规范; 60% 的同学能正确完成例 2.2,错误原因是把 2 3 当做底面三角形的边长。只有 20%的学生能正确完成 例 2.3,错误原因是把几何体的高当做斜高。从学生的错误可以看出学生对三视图的“长对正,高 平齐,宽相等”认识不清,掌握不准,空间想象能力不高。这些错误的出现和学生平时很少作图和 老师对于作图的不够重视有直接的联系。

2.2 恰当使用模型,提高空间想象能力;加强记忆、增强考试能力
在进行三视图的复习过程时,先出示一个几何体,让学生从三个方向观察,然后按“长对正, 高平齐,宽相等”画出三视图。对于学生经常出现的错误,可以出示真实几何体,让学生观察体会。 针对高考中常考的三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱、四棱台、球等几何体的三视图也要加强记忆, 增强考试能力。

3 体积与距离问题
从表 1、表 2 发现:这部分内容在分值上分别占立体几何部分的 25%和 23%。对于体积和距离, 重点在于方法的总结。对于距离问题,主要包含等积法求距离和直接作高求距离;对于体积问题, 则可以采用如下的图表来进行复习备考:

? ?等积法 ?分隔成多个小几何体? ? ?直接作高法 ? ? ?等积法 ? 几何体体积问题? ?补全成一个大几何体? ? ?直接作高法 ? ? 等积法 ?不分割也不补全? ? ? ? ?直接作高法 ?

例 3.1 如图,已知 AB ? 面ACD , DE ∥ AB , AD ? AC ? DE ? 2 , , 且 F 是 CD 的中点, AF ? 3 (1)求证: AF ∥面 BCE (2)求证: 面BCE ? 面CDE
(3)求此多面体的体积

(1) (2)略 (3) 解法一: (把原多面体分割成三个小几何体) 取 CE 中点 M,ED 中点 N,则可将此多面体分割成三个小几何体,分别是四棱锥C ? ABMF , 三棱柱 BMN ? AFD 以及三棱锥 E ? BMN 通过证明和计算,可以得到: CD ? 面ABMF, BA ? 面ACD, EN ? 面BMN 则 V多面体 ? VC ? ABMF ? VBMN ? AFD ? VE ? BMN ?

1 1 ? S ABMF ? CF ? S ?AFD ? BA ? ? S ?BMN ? EN 3 3 E
B N

?

3 3 3 ? ? ? 3 3 2 6

M A

C 解法二: (把原多面体补全成一个大几何体) D F 把原几何体补全成一个新的几何体( 三棱柱 ACD ? A1C1 E )发现,此多面体的体积是三棱柱

ACD ? A1C1 E 体积的一半 1 1 1 V多面体 ? ? V ACD ? A1C1E ? ? ? CD ? AF ? AA1 ? 3 2 2 2

A1 C1 B E

解法三: (对原多面体既不分割也不补全) 把原多面体看成一个以 C 为顶点,四边形 ABED 为底面的四棱锥 过 C 作 CG ? AD ,通过证明可知: CG ? 面ABED 则 V多面体 ? VC ? ABDE

A

C

F

D

E

1 1 AB ? DE ? ? S 梯形ABED ? CG ? ? ? CG ? 3 3 3 2
C

B

A G D

4 存在性和最值问题

在复习备考中,对于成绩中等及以上的学生可以加强存在性问题的训练,这对于培养学生的空间 思维能力有很好的帮助。

例 4.1 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 600 , 面 A CF E ? 面A B C D ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 面 ACFE F
(2)当 EM 为何值时, AM ∥面 BDF ?证明你的结论; (1)略 (2)解:当 EM ?
M E

3 a 时, AM ∥面 BDF 3 C D N 在梯形 ABCD 中 , 设 AC ? BD ? N , 连 接 FN , ? AC ? BC , ?BAC ? 300 ,? AB ? 2a A CN CD a 1 ? CD ∥ AB ,? ? ? ? , NA AB 2a 2 3 EM ? a ,而 EF ? AC ? 3a ,? EM : MF ? 1 : 2 . 3 ? MF ∥ AN 且 MF ? AN ,则四边形 ANFM 是平行四边形,? AM ∥ NF . 又? NF ? 面BDF, AM ? 面BDF, AM ? 面BDF
? AM ∥面 BDF

B

存在性问题一般是采用执果索因进行分析和证明,然后用综合法的形式写出解题过程。例 4.1 的关键在于

CN CD a 1 ? ? ? 以及四边形 ANFM 是平行四边形。 NA AB 2a 2

在复习备考中,对最值问题的训练,有助于培养学生的应用意识。但在难度上要把握好度,主要 是和函数的最值问题相结合,内容包含二次函数、基本不等式、导数等等。 例 4.2 如图 ,已 知 ?ABC 内 接 于圆 O, AB 是 圆 O 的 直 径, 四 边形 DCBE 为 平 行四 边形 ,

DC ? 面ABC, AB ? 2, tan?EAB ?

(1)证明: 面ACD ? 面ADE (2) 记 AC ? x,V ( x) 表示三棱锥 A ? CBE 的体积,求 V ( x) 的表达式 (3)证明:当 V ( x) 取最大值时, AD ? CE (1)略 (2) V ( x) ? VC ? ABE ? VE ? ABC ? (3)对于 V ( x) ?

3 2

1 3 S ?ABC ? BE ? x 4 ? x 2 (0 ? x ? 2) 3 6

3 x 4 ? x 2 (0 ? x ? 2) 来说, 6
2

2 2 2 2 通过基本不等式: x ? (4 ? x ) ? 2 x (4 ? x ) 可以知道, x ? 4 ? x ? 2

3 3 (当且仅当 x ? 2 时) ?2 ? 6 3 而 AC ? 2 时,可以计算得到 BC ? 2 ,再通过 Rt ?DCA ? Rt ?DCB 可以得到 AD ? BD ,而在 矩形 BCDE 中, BD ? CE 。从而得到 AD ? CE 。
即 V ( x) ?

5 球和夹角问题
从表 1、表 2 发现:这部分内容在分值上分别占立体几何部分的 18.2%和 0%。由于广东文科数 学高考对于这两部分内容的要求和全国其它省份有很大的不同。因此在复习中,不要人为的拔高难 度,仅限于课本的例题、习题即可。对于球,主要是掌握好表面积、体积、以及在三视图的简单运 用即可;对于夹角问题,只要掌握异面直线所成的角和直线与平面所成的角在定义层面上的要求即 可,而二面角在文科中并无特别要求,不必引申过多。

【参考文献】
刘雪明《落实三视图教学 培养空间想象能力》 北京市房山区教师进修学校 邹海彬《高中立体几何学习障碍及对策》 《考试周刊》 2012 年 27 期 《普通高中数学课程标准(试验) 》 人民教育出版社,2003.7



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